Punkt eines Dreiecks bestimmen, sodass Winkel Beta ein stumpfer Winkel ist [Vektorrechnung]

13.09.2012, 18:42

Fish77

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Punkt eines Dreiecks bestimmen, sodass Winkel Beta ein stumpfer Winkel ist [Vektorrechnung]

Meine Frage:
Hallo ! Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Habe auch meinen Freund gefragt, aber der ist zu doof für sowas.

Es geht um folgende Aufgabe:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 1 | -2 | 2 ) und B ( -1 | 2 | 0 ), und die Gerade g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben. $\begin{eqnarray*} C_{\lambda } \end{eqnarray*}$ sei ein beliebiger Punkt auf der Geraden g.
a) Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hat das Dreieck AB $\begin{eqnarray*} C_{\lambda } \end{eqnarray*}$ bei B (Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ) einen stumpfen Winkel.

Meine Ideen:
Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich vorgehen soll, wär nett wenn ihr mir zu mindest einen Ansatz geben könntet.

Vielen Dank im voraus!

Lg

13.09.2012, 19:50

opi

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Bilde das Skalarprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$
Welches Vorzeichen muß das Skalarprodukt haben, damit ein stumpfer Winkel vorliegt?

13.09.2012, 19:51

Leopold

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RE: Punkt eines Dreiecks bestimmen, sodass Winkel Beta ein stumpfer Winkel ist [Vektorrechnung]

Zitat:

Original von Fish77
Habe auch meinen Freund gefragt, aber der ist zu doof für sowas.

Charmant!

$\begin{eqnarray*} \cos \beta_{\lambda} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC_{\lambda}}}{\left| \overrightarrow{BA} \right| \cdot \left| \overrightarrow{BC_{\lambda}} \right|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta_{\lambda} \end{eqnarray*}$ ist genau dann stumpf, wenn sein Cosinus negativ ist. Da im Bruch rechts der Nenner immer positiv ist, kommt es also nur auf den Zähler an.

13.09.2012, 20:33

Fish77

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Danke euch beiden !

Zitat:

"Habe auch meinen Freund gefragt, aber der ist zu doof für sowas."

Das war ein kleiner Spaß, mein Freund liest hier auch mit Big Laugh

Big Laugh

Der Ansatz von opi hat mir sehr geholfen ! Ich glaube ich hab' jetzt das Ergebnis raus.

Das Vorzeichen muss negativ sein, damit ein stumpfer Winkel vorliegt. Das heißt also:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA}*\overrightarrow{BC} = k \end{eqnarray*}$
( Es gilt k < 0 )
Jetzt einfach alles einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ umformen:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{k}{10} + 3,8 \end{eqnarray*}$

Alles richtig?

13.09.2012, 20:56

opi

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Leider nein. Um den Rechenfehler zu finden, mußt Du den Rechenweg aufschreiben.

Und: Verzichte auf k. Löse die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA}*\overrightarrow{BC} < 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auf. Leopolds Ansatz ist derselbe.

13.09.2012, 21:11

Fish77

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Müsste das nicht auch mit meiner Methode klappen?

Hier meine komplette Rechnung:

1. Schritt - Bedingung aufstellen:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA} * \overrightarrow{BC} = k \end{eqnarray*}$

2. Schritt - Ausrechnen der beiden Vektoren
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} = \left(\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda *\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) - \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Schritt - Eingesetzt
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} = \left(\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda *\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) * \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = k \end{eqnarray*}$

4. Schritt umgeformt nach lambda
$\begin{eqnarray*} -40+\lambda *8 + 2*\lambda = k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \lambda = \frac{k}{10} +4 \end{eqnarray*}$

( Beim rot markierten 4. Schritt, hatte ich zuvor ein Fehler gemacht. Das ist jetzt meine neue Lösung )

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13.09.2012, 21:14

Fish77

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Schon wieder ein Fehler beim 4. Schritt entdeckt:
Die (meiner Meinung nach) richtige Lösung ist:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{k}{-40} \end{eqnarray*}$

13.09.2012, 21:19

opi

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Zunächst: Überprüfe bitte die Angaben in Deinem Eingangspost. Entweder hast Du Dich dort verschrieben, oder jede Menge Vorzeichenfehler in der Rechnung gemacht.

13.09.2012, 21:53

Fish77

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Am Eingangspost ist nichts falsch. Aber ich habe gerade bemerkt, dass ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$ falsch berechnet habe. Der Rest ist dann auch falsch...
Ich habe jetzt nochmal alles so ausführlich wie ich nur konnte neu berechnet.

1. Bedingung aufstellen
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BA}* \overrightarrow {BC} = k \end{eqnarray*}$

Es gilt ( k < 0 )

2. Vektoren berechnen
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BC} = \begin{pmatrix} -1 \\ -12 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Einsetzen in die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} * \left(\begin{pmatrix} -1 \\ -12 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) = k \end{eqnarray*}$

4. Nach lambda auflösen
$\begin{eqnarray*} k = (\lambda *(-1)-1)*2 + (-4*(-12+\lambda *2))+(2*(5-\lambda )) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \lambda = \frac{k}{-12} + \frac{14}{3} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass die Rechnung diesmal richtig ist...

13.09.2012, 22:17

opi

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Leider ein Vorzeichenfehler, richtig ist
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BC} = \begin{pmatrix} {\color{red}+}1 \\ -12 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für ein rechtwinkliges Dreieck sollte (bei k=0) $\begin{eqnarray*} \lambda=5 \end{eqnarray*}$ gelten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2012, 22:25

Fish77

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$\begin{eqnarray*} \frac{k}{-8}+7 = \lambda \end{eqnarray*}$
So vielleicht? Tränen

Tränen

13.09.2012, 22:35

opi

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Nein.

$\begin{eqnarray*} 0>(1-\lambda)\cdot 2+(-12+2\lambda)\cdot (-4)+(5-\lambda)\cdot 2 \end{eqnarray*}$
Und dieses völlig überflüssige k lassen wir weg! Es genügt, die Ungleichung nach lambda aufzulösen. smile

smile

14.09.2012, 01:17

andyrue

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ich hab die aufgabe grad durchgerechnet und bin auf die ungleichung
$\begin{eqnarray*} 5-\lambda < 0 \end{eqnarray*}$ gekommen
damit
$\begin{eqnarray*} \cos(\beta) \end{eqnarray*}$
negativ ist und somit beta stumpf

was mich irritiert ist die frage: was genau meint man mit stumpf? in unserem matheunterricht ist
von 0 bis 90 grad ein spitzer winkel,
90 grad ein rechter winkel,
von 90 bis 180 grad ein stumpfer winkel
180 grad ein gestreckter winkel
von 180 bis 360 grad ein überstumpfer winkel ..

da der cos aber von 90 bis 270 grad negativ ist, ist er dies in einem bereich sowohl stumpf als auch überstumpf. und vor allem: zwischen 270 und 360 grad ist der cos wieder positiv und gleichzeitig überstumpf. somit ist es mit der obigen ungleichung nicht ganz getan

ich bin dann zum schluss gekommen dass man zum endgültigen nachweis (beta ist stumpf im sinne der definiton oben) den wert in die 1. ableitung der cosinusfunktion einsetzen muss - es muss eine negative steigung vorliegen - nur im bereich zwischen 90 und 180 grad ist die cosinusfunktion negativ und hat auch eine negative steigung.

der gefundene winkel beta muss als auch noch -sin(beta)<0 erfüllen

dazu würde ich gern meinungen hören, andy

14.09.2012, 01:56

opi

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Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°. Damit wäre das Problem der überstumpfen Winkel gelöst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2012, 22:37

Fish77

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$\begin{eqnarray*} \lambda > 5 \end{eqnarray*}$
Das ist meine Lösung. Sieht doch schon besser aus, oder?

15.09.2012, 22:52

opi

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Ich könnte es kaum schöner schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.09.2012, 19:41

Fish77

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Endlich

Hammer

Vielen vielen Dank für deine Hilfe !

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