Extremwertaufgabe: Rechteckiges Fenster mit aufgesetztem Rundbogen

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L.A. Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Rechteckiges Fenster mit aufgesetztem Rundbogen
an die Mathegenies: Extremwertaufgabe: rechteckiges Fenster mit aufgesetztem Rundbogen.
Fläche soll möglichst groß sein und U=6m. Gefragt: Maße des Fensters und die größe der Fläche.

ok. Ich habe erst mal die Gleichungen aufgeschrieben ,-)
---------------

A1= PI/2 * r² = PI/2 * a²/4
A2=a*b

A1*A2 = a*b + PI/2 * a²/4

-----------------

Dann nach b umgestellt:

6 = a + 2b + PI * a/2
b = (6-a-PI*a/2)/2
b = 3 - a/2 - PI * a/4

Jetzt das b in die Gleichung eingesetzt, damit a alleine ist:

A = a[3 - a/2 - PI * a/4] + PI/2 * a²/4
A = 3a + a² [-PI/4 - 1/2]

Abgeleitet und Ergebnis für a.

A ' = 3 + 2 [-PI/4 - 1/2]a = 0
=> a = 6 / PI+2

Jetzt b ausgerechnet:

b = 6 - 6/PI+2 - PI/8 * 36/(PI+2)²
= 3 - 3/PI+2 - PI/8 * 18/(PI+2)²

Soweit richtig? Und jetzt?? Wie krieg ich die Fläche raus und für was brauche ich noch gleich
die zweite Ableitung?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
Hier habe ich einen Fehler gefunden:

Zitat:
A = a[3 - a/2 - PI * a/4] + PI/2 * a²/4
A = 3a + a² [-PI/4 - 1/2]

Die Umformung stimmt nicht.
Weiter habe ich dann nicht geschaut, weil der Rest dann ja auch nicht stimmen kann.

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
also das a mit dem Klammerausdruck multiplizieren kommt raus:

A = a[3 - a/2 - PI * a/4] + PI/2 * a²/4
A = 3a + a²/2 - PI * a²/4 + PI/2 * a²/4
A = eh? da fällt mir jetzt nur spontan mal 2 ein..

6a + a² - PI * a²/2 + PI * a²/2

hm und PI * a²/2 kann man noch zusammenfassen zu

6a + a² - 2(PI * a²/2)

also wäre A = 6a + a² - 2(PI * a²/2)

edit von sulo: Vollzitat entfernt.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
Zitat:
Original von L.A.
A = a[3 - a/2 - PI * a/4] + PI/2 * a²/4
A = 3a + a²/2 - PI * a²/4 + PI/2 * a²/4

Wo kommt das rotmarkierte + her? verwirrt
Und warum multiplizierst du die Gleichung dann auf der rechten Seite mit 2?

Schau lieber, wie du die - Pi * a²/4 + Pi/2 * a²/4 zusammenfassen kannst. Augenzwinkern

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte das a/2 ausklammern

a/2 [-PI * a/2 + PI/2 * 1/2]
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Und was hindert dich daran, die Klammer weiter zusammenzufassen? Engel

edit: Das a gehört auch nicht mehr in die Klammer, ich denke mal, es ist ein Tippfehler.
edit 2: Da sind mehr als nur ein Tippfehler, siehe die Latex-Darstellung weiter unten.
 
 
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

a/4 [3PI/2]
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider nicht richtig. Ich werde mal Latex bemühen, weil es sonst ein übles Kuddelmuddel ist, bei dem du anscheinend auch keinen Überblick mehr hast.

Du hast Deinen Term so dargestellt:

Schöner und vor allem richtiger ist dieses:

Und was erhält man nun, wenn man die Klammer zusammenfasst?
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Freude

Unsere Zielfunktion lautet demnach vollständig:

Du siehst, ich habe den Term von eben ein bisschen umgestellt, ich hoffe, es verwirrt dich nicht.

Kannst du jetzt ableiten?

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

also erst wollte ich nochmal nachfragen, ob ich es richtig hingeschrieben habe:









Ableitung:

sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das ist aber nicht alles die Umformung der Zielfunktion... verwirrt

Ich kann sie dir mal hinschreiben, weil deine Darstellung, bis auf den Schluss, eher unzusammenhängend und teilweise auch falsch ist.

Das hier war noch richtig: A = a[3 - a/2 - PI * a/4] + PI/2 * a²/4

In Latex:

Zusammengefasst und die Klammer aufgelöst:

Weiter zusammengefasst:

Umgestellt:

Ableitung: Die hast du richtig gemacht. Freude

Kannst du jetzt a ermitteln? smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung: | 1/4PI



hm da ist ja noch immer das a drin, dann *a



dann Wurzel ziehen.. wobei dann steht der rechte Term unter der Wurzel mit negativ Vorzeichen?!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wir brauchen keine Wurzel zu ziehen. Du hast da leider ein paar Fehler drin. So hast du die Gleichung nicht nachvollziehbar = 0 gesetzt.

Zunächst würde ich die Terme mit a zusammen lassen:

Null setzen und die 3 auf die andere Seite der Gleichung bringen, dann mit -1 multiplizieren:

Ich klammere a aus:

Und jetzt? smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »



sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war so frei einen Tippfehler, den du von mir übernommen hast, in deinem Beiträg zu ändern: es muss +1 und nicht -1 in der Klammer heißen.

Und dann stimmt dein a. Freude
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte grad deswegen nachfragen. Kei Scherz den habe ich aber auch erst beim Aufschreiben auf dem Zettel bemerkt :-)

Ok das a setze ich dann jetzt in die Nebenrechnung U ein, oder war es in die Fläche?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde erst b ausrechnen. Augenzwinkern
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau aber in welcher Formel setze ich jetzt das a rein, um b zu bekommen

Fläche

in A(a,b) = a*b + PI/2 * a²/4

oder

Umfang

b = (6-a - PI * a/2) / 2

Ich würde jetzt in die Fläche Formel sagen.. wäre ja logisch weil ich auch letztendlich die Fläche berechnen muss. Doch verwirrt mich das bei diesen Aufgaben immer.. warum es eine Haupt- und Nebenrechnung gibt :-P
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm die Umfangsformel: b = (6-a - PI * a/2) / 2

Vielleicht solltest du sie erst ein bisschen umstellen:

b = 3 - a/2 - Pi· a/4

b = 3 - a·(1/2 + Pi/4)

smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von L.A.
Genau aber in welcher Formel setze ich jetzt das a rein, um b zu bekommen
...
Ich würde jetzt in die Fläche Formel sagen.. wäre ja logisch weil ich auch letztendlich die Fläche berechnen muss. Doch verwirrt mich das bei diesen Aufgaben immer.. warum es eine Haupt- und Nebenrechnung gibt :-P


Zur Wahl der Gleichung zum Berechnen von b:
Es muss immer die NB sein, weil du bei der HB zu viele Unbekannte hast.
Die HB soll doch erst abschließend berechnet werden. Augenzwinkern

Zur HB und NB:
Die HB ist die Zielfunktion, sie beschreibt die Größe, die den Extremwert annehmen soll (Hier: maximale Fläche).
Eine (oder mehrere) NB(s) brauchst du, wenn du mehr als eine Variable in der HB hast.
Mit Hilfe der NB kannst du eine Variable in der HB eliminieren, indem du die NB nach dieser Variablen umstellst und den umgestellten Ausdruck in die HB einsetzt.

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »



also da weiß ich gar nicht, wie ich am besten vorgehen soll. * (1/4PI + 1) vereinfacht es auch nicht oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man nicht wirklich vereinfachen.

Du kannst es natürlich ausrechnen, dann erhältst du b = 0,84 ....
Und wenn du a ausrechnest, erhältst du a= 1,68 ....

Es ist also: a = 2b.

Übrigens wäre die Rechnerei leichter gewesen, wenn du nicht mit a sondern mit r gerechnet hättest.
Die Viertel und Achtel hättest du nicht gehabt und a und b wären etwas leichter zu formulieren gewesen. Augenzwinkern
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

also soll ich b so als Ergebniss stehen lassen? Dürfen nicht mit Taschenrechner rechnen ,-)

aber die Aufgabe ist noch nicht vorbei..

Welche Maße sind für das Fenster zu wählen und wie groß ist die Fläche.

Ich habe ja dann a und b vom Rechteck ne? Oder warte ich rechne ja den Rundbogen die ganze Zeit mit. Muss ich jetzt nur noch a * b rechnen für die Fläche??

Benötige ich die zweite Ableitung nicht auch noch??
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ohne TR rechnest du dir bei a und b ja einen Wolf... unglücklich

a und b hätten wir ja bestimmt, der Radius war ja a/2, also r = b.

Die Fläche kannst du mit A(a) ermitteln. Aber wie gesagt: Ohne TR ist das ziemlich mühselig, der Ersteller der Aufgabe hat mit Sicherheit die Benutzung des TR vorgesehen. Augenzwinkern

Die zweite Ableitung kannst du verwenden, um zu überprüfen, ob du ein Min oder Max mit deinem Extremwert ermittelt hast.

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

hm wir rechnen aber immer mit a oder b.
Vielleicht geht es nicht um exakte Werte sondern nur um zu schauen ob man es kappiert hat und die Rechengesetze anwenden kann ,-)
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht noch unter der Aufgabe Explizite Lösung , weiß aber nicht was damit gemeint ist :-P
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
leider warst du gestern Abend längere Zeit off, da habe ich dann auch das Board verlassen.

Explizite Lösung bedeutet, dass du die Fläche für das maximal große Fenster errechnest.
Ich verrate mal, dass die Lösung zwischen 2 und 3 m² liegt.

Und ja, dazu brauchst du die errechneten Werte für a und b (und r, was aber leicht ist).

Ich vermute mal, dass mit "Maße des Fensters" die Breite (a) und die (größte) Höhe (b + r) gemeint sind.

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe b doch noch weiter vereinfacht:



Setze ich a und b in die Formel und Kürze dann kommt raus:



richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vereinfachung für b ist insofern richtig, als der richtige Wert rauskommt. Freude

Die Fläche des Fensters wird mit 11,65... m² allerdings zu gro´ß, ich hatte ja gesagt, dass das Ergebnis zwischen 2 und 3 m² liegt.

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

hm aber dann weiß ich nicht wo ich den Fehler jetz für die Fläche gemacht habe verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es jetzt mal wie du gemacht und mit den Ausdrücken gerechnet.

Du kannst a vereinfachen zu

Die Fläche ist somit:

Versuche mal, das zu vereinfachen. smile

edit: Vergessenes Pi eingefügt.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Mal schauen, ob ich jetzt keine Rechenregel verletze, wenn ich sage:















15/~24 sind 0,625 .. "Ergebnis zwischen 2 und 3 m² liegt."

hm also Falsch .
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich mache die Prioritäten noch mal deutlicher, denn schon dein erster Schritte ist nicht nachvollziehbar für mich. Du solltest dich noch einmal mit dem Distributivgesetz auseinandersetzen. Augenzwinkern



Vereinfache zunächst die Inhalte der eckigen Klammern getrennt, so dass du in jeder Klammer einen Bruch hast.
Anschließend kannst du dann die Brüche addieren.

Ich muss leider erst mal weg und kann heute Abend nur sehr unregelmäßig reinschauen.

Wink


edit: Vergessenes Pi eingefügt.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »



beim zweiten Bruch nicht ganz sicher.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Klammer: Was ist denn Nenner * Nenner?

Zweite Klammer: Ich würde den Nenner nicht ausmultiplizieren. Augenzwinkern

Der Witz ist doch, dass du in beiden eckigen Klammern den gleichen Nenner erhältst.
Lass ihn als Binom stehen, multipliziere nicht aus.
So bleibt die Sache einigermaßen überschaubar.

smile
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

so?



sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von L.A.
so?



Da fehlt nur das Pi hinter der 18. smile

edit: Ich sah gerade, dass ich das Pi selbst vergessen hatte und mir es leider bisher nicht aufgefallen war. Habe es jetzt in die Flächenformel reineditiert.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

also:


also ist es das Ergebniss`? Die 18 und 72 kann man ja dann doch nicht zusammenfassen
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

NAja, man kann schreiben. smile

Nochmal sorry wegen des Pi, es kam ja von der Fläche des Halbkreises (1/2 * Pi * a²).

Jetzt ist die Aufgabe gelöst und ich muss auch erst mal verschwinden.

smile
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