Wieviel Wurzeln hat x^4,5=1?

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Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
Wieviel Wurzeln hat x^4,5=1?
Meine Frage:
Liebes Forum,

mich hat schon immer das Newton-Verfahren gereizt, um die Wurzeln komplexer Gleichungen zu untersuchen. Dabei durchlaufe ich die komplexe Ebene, nehme die jeweilige Zahl als Startwert und schaue, wohin der Algorithmus konvergiert.

Nehmen wir x^4=1 mit den bekannten vier Wurzeln. Ist der Startwert in der Nähe der Wurzeln, konvergiert das Verfahren natürlich schnell dorthin. Interessant wird's, wenn der Startwert an der "Grenze" zwischen den Wurzeln liegt, hier also in der Nähe der Diagonalen. Dort können auch mal die zwei anderen Wurzeln "angefahren" werden! So, wie wenn sich zwei streiten. Zu sehen ist das in der beigelegten Konvergenzkarte_4.

Dasselbe gilt auch für x^5=1 (siehe Konvergenzkarte_5). An den Grenzen zweier Wurzeln kommen immer wieder mal die drei anderen zum Zug.

Nun habe ich schauen wollen, was "dazwischen" passiert, also die Konvergenzkarte für x^4,5=1 berechnet. Konvergenzkarte_4,5 zeigt das erwartete "Morphing": links zieht sich's bereits deutlich auseinander. Das geht dann bei steigendem Exponenten immer weiter, bis die 5 erreicht ist und wieder alles symmetrisch aussieht.

Was mich nun irritiert: hier gibt es ja bereits fünf Wurzeln. 360° durch 4,5 sind 80°, und da ist auch der (sagen wir mal) Grundwert. Und nun haben wir doch mal gelernt, daß man den immer weiterdreht, um auf die anderen Wurzeln zu kommen. Gut, die zweite ist dann bei 160°, das sieht man auch. Die dritte wäre bei 240° - aber da ist nichts! Aber 240° mal 4,5 sind 1080°=0°. Genauso die vierte bei 320° und so weiter.

Mein Programm findet stattdessen -80° und -160°, was in der Tat auch Wurzeln sind. Somit wären die fünf gefundenen Wurzeln die komplexen Zahlen mit Betrag 1 und den Winkeln -160°, -80°, 0°, 80°, 160°.

Aber was sind denn jetzt tatsächlich die Wurzeln von x^4,5=1? Darf ich nicht einfach so "weiterdrehen"? Die fünfte Wurzel, die ich nach obigem Schema erhalte, hat den Winkel 400°. In der Tat sind 400°*4,5=1800°=0°, andererseits sind 400° dasselbe wie 40°, und das mal 4,5 sind 180°.

Wo liegt mein Denkfehler?

Meine Ideen:
Wahrscheinlich darf man dieses Weiterdrehen des Grundwertes nur bei ganzzahligen Exponenten machen, und bei nicht ganzzahligen gilt eine andere Regel. Aber wie heißt die?

Viele Grüße
Steffen
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieviel Wurzeln hat x^4,5=1?
Hallo Steffen,

schreibe
, hierbei ist k eine beliebige ganze Zahl.
Jetzt wende die Potenzgesetze, die auch beim Wurzelziehen gelten, an.
Für jedes k erhälst du eine neue Lösung, wovon die meisten sich um ein Vielfaches von 360° von anderen unterscheiden. Diese müssen nicht als eigenständige Lösung ausgewiesen werden.
Dass das Newton-Verfahren manche Lösungen nicht findet, kann an numerischen Problemen liegen, da z.B. usw.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast grundsätzlich ein Problem, wenn du für nichtganzzahlige genauso behandeln willst wie für ganze :

Es ist dann eben nicht mehr so, dass da alle



für Lösungen von sind! Dazu musst du ganz streng auf die Definition



zurückgehen, wobei hier ausschließlich den Hauptwert des Logarithmus bedeutet, und dir überlegen, was für "krumme" so passiert. Hab mich damit auch noch nicht so befasst, aber wenn ich mich nicht irre, dann bedeutet das für (*),
dass nur die mit wirkliche Lösungen sind. Womit dies hier

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Die dritte wäre bei 240° - aber da ist nichts! Aber 240° mal 4,5 sind 1080°=0°.

geklärt wäre, denn tatsächlich musst du hier rechnen

-120° * 4.5 = -540° = 180°
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
...dass nur die mit wirkliche Lösungen sind.


Das war auch mein Verdacht, nur kam ich nicht drauf, daß der Grund dafür in den Eigenschaften der komplexen Logarithmusfunktion liegt. Ich werde in der nächsten Zeit mal mehr darüber nachdenken. Auf jeden Fall vielen Dank für den Schubs in diese Richtung!

Viele Grüße
Steffen
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