Konvergenz von Reihen

03.02.2007, 11:54

donvito

Konvergenz von Reihen

Hallo ihr Lieben,

folgende Aufgabe:
Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty }~(-1)^n \frac{n}{(2n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur, dass es irgendwie mir dem Leibnitz-Kriterium gehen muss, bloß WIE das weiß ich ned!

03.02.2007, 11:56

tigerbine

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RE: Konvergenz von Reihen
Was sagt denn das Leibnizkriterium über alternierende Reihen?

Sind die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge?

03.02.2007, 11:58

tigerbine

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RE: Konvergenz von Reihen
Link

By the way LEIBNIZ, der hat nichts mit dem Keks oder der Stadt zu tun Augenzwinkern

03.02.2007, 11:59

therisen

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Monoton fallend muss sie auch sein Augenzwinkern

03.02.2007, 12:01

tigerbine

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Stimmt, da war ich nicht exakt genug! traurig

Aber im Link steht das Augenzwinkern

03.02.2007, 12:48

donvito

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Das Leibniskriterium sagt ja eigentlich nix anderes als dass eine Nullfolge a, die monoton fällt, zu einer unendlichen alternierenden Reihe führt. Soweit so gut. Was ist eigentlich der Unterschied zwischen Folgen und Reihen, das kapier ich ned so recht.

Und was bedeutet eigentlich
$\begin{eqnarray*} (-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ Wird da multipliziert?

03.02.2007, 13:28

tigerbine

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Ich würde das Kriterium nochmals durchlesen. Du hast es nicht verstanden.

$\begin{eqnarray*} a_0, a_1, a_2, ..., a_n \end{eqnarray*}$ Folge

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ Reihe

03.02.2007, 13:42

Lazarus

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Zitat:

Original von donvito
Und was bedeutet eigentlich
$\begin{eqnarray*} (-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ Wird da multipliziert?

Ja.
Eine Alternierende Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ kann man in zwei Teilfolgen zerlegen:
$\begin{eqnarray*} \left(b_n\right) = \left(-1\right)^n\cdot \left(a_n\right) \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende nullfolge bildet.
Das leibnizkriterium besagt nun das die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{n=0}^k b_n \end{eqnarray*}$ auch einem grenzwert zustrebt, also die unendliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

03.02.2007, 16:45

donvito

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Danke!

Ich habe jetzt mal folgendes geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(2n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$
ist eine monoton fallende, reelle Nullfolge. Dann ist nach dem Leibnis-Kriterium $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty%20}~(-1)^n%20\frac{n}{(2n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ eine unendliche alternierende Reihe. Der Grenzwert ist 0

Mehr muss ich nicht machen? Kann doch nicht sein? Und was hat es mit der absoluten Konvergenz auf sich?

03.02.2007, 16:51

therisen

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Nein, der Grenzwert ist nicht gleich Null. Du weißt jetzt nur, dass sie konvergiert. Leibniz-Reihen sind nicht notwendigerweise absolut konvergent.

Gruß, therisen

PS: Lispelst du? Es heißt Leibniz und nicht Leibnis Big Laugh

03.02.2007, 16:53

Lazarus

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Das Leibniz-Kriterium sagt nichts darüber aus, ob die Reihe absolut konvergent ist oder nicht.
Siehe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
Oben bekannterweise divergent, unten konvergent.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

03.02.2007, 17:09

donvito

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Wieso ist der Grenzwert nicht 0? der Zähler wächst doch langsamer als der Nenner, somit wird die Zahl immer kleiner und kleiner. wie stelle ich denn fest, ob die Folge absolut konvergiert? absolute Konvergenz heißt ja, dass der Betrag der Reihe konvergiert. Die Folgeist ja alternierend, wenn ich also den Betrag davon bilde, dann ist sie nicht mehr alternierend, die Werte werden aber dennoch immer kleiner?

Nein ich lispele nicht, war nur ein Tippfehler, zur Strafe schriebe ich 10x
Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz

03.02.2007, 17:18

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Wieso ist der Grenzwert nicht 0? der Zähler wächst doch langsamer als der Nenner, somit wird die Zahl immer kleiner und kleiner. wie stelle ich denn fest, ob die Folge absolut konvergiert? absolute Konvergenz heißt ja, dass der Betrag der Reihe konvergiert. Die Folgeist ja alternierend, wenn ich also den Betrag davon bilde, dann ist sie nicht mehr alternierend, die Werte werden aber dennoch immer kleiner?

Für Folgen gibt es den Begriff der absoluten Konvergenz i.a. nicht. Die Folge der Glieder $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist natürlich eine Nullfolge, aber der Reihenwert ist deshalb noch lange nicht Null! Sonst hätte ja jede Reihe den Wert 0.

Zitat:

Original von donvito
Nein ich lispele nicht, war nur ein Tippfehler, zur Strafe schriebe ich 10x
Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz Leibniz

So ist's brav Big Laugh

03.02.2007, 17:32

donvito

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Achsoo, die FOLGE geht als gegen Null, die Reihe aber gegen eine feste Zahl nehm ich mal an? Denn die Reihe besteht ja aus der Summe aller Folgenglieder, diese werden immer kleiner, also nähert sich die Reihe einer bestimmten Zahl an. Welche das ist braucht mich bei der Aufgabenstellung aber eigentlich nicht interessieren.

Muss jetzt nur noch rausfinden, was passiert wenn ich den Betrag nehme. Dann liegt der Grenzwert vermutlich höher oder ist sogar unendlich, denn es wird ja nicht jedes 2. Folgenglied abgezogen.

Stimmt meine Schlussfolgerung soweit?

03.02.2007, 17:34

Lazarus

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Ja.

04.02.2007, 18:50

donvito

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Muss man das noc in eine Formelö fassen oder geht das auch so?

Wie finde ich raus, ob der Betrag gegen einen festen Wert oder gegen unendlich geht? Wenn sie gegen unendelich geht, ist sie ja nicht absolut konvergent sondern absolut divergent.

Habe noch ne Frage zu ner anderen Aufgabe, dort soll ich das Majorantenkriterium einsetzen. Habe das soeben in der Wikipedia nachgelasen und ich verstehe nicht ganz, was der Unterschied zwischen T und S ist bzw. wie die beiden überhaupt zusammenhängen. Es darf ja wohl nicht eine beliebige Reihe sein, sondern sioe muss ähnlich der sein die ich habe.

Majorantenkriterium

Meine neue Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Dazu gibts noch folgenden Hinweis:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = ? \end{eqnarray*}$

Ich habe da rausbekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{n + 1 - n}{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Doch was fange ich damit nun an?

05.02.2007, 09:03

klarsoweit

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Also mit dem Hinweis kann ich nichts anfangen. Wie man aber leicht sieht, ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} + 1 = \sqrt{1+\frac 1 n} + 1 \end{eqnarray*}$

Und das ist keine Nullfolge.

05.02.2007, 09:21

piloan

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hi
du kannst hier das minorantenkriterium benutzen ...steht unter dem oben genannten link bei wikipedia.

1/n ist immer kleiner als der andere term ..musst ma anschauen ..gruß smile

05.02.2007, 09:23

klarsoweit

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Was soll jetzt dieser Hinweis? verwirrt

05.02.2007, 09:30

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Dem Hinweis nach zu urteilen, den der Pate da oben erwähnt hat, geht es eher um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~ \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ ,

und darauf hat sich piloan wohl schon bezogen. Das sollte natürlich klar erwähnt werden.

05.02.2007, 09:36

piloan

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mein hinweis bezog sich auf die Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und man weiss ,dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert

05.02.2007, 10:01

klarsoweit

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OK. Jetzt wissen wir, daß $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$ divergiert. Daraus folgt aber noch keine Aussage für

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Natürlich weiß ich, wie ich mit dieser Reihe umgehen muß. Mich stört aber der Tipp, mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.

05.02.2007, 10:29

piloan

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sorry

05.02.2007, 10:47

piloan

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Ok ...ich wuerde dann auch anders erweitern Augenzwinkern

Wenn ich 2 unendliche Reihen habe.

$\begin{eqnarray*} S=\sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T=\sum_{n=1}^\infty~b_n \end{eqnarray*}$ und nun muss gelten
Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden an bzw. bn, und gilt $\begin{eqnarray*} a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$

für fast alle n, dann folgt: Ist S divergent, dann ist auch T divergent.

nun ist $\begin{eqnarray*} b_n =\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}*\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n}*(\sqrt{n^2+n}+n)\geq\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

nun setz ich
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und benutze die Divergenz der Reihe .

gruß

05.02.2007, 11:29

klarsoweit

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Das ist schon klar. Nur kann man sich das ganze Theater sparen, da - wie ich oben schon sagte - die Folge $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ gar nicht gegen Null konvergiert.

Womit wir wieder bei dem Thema sind, daß es vermutlich eher um die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ geht.

05.02.2007, 12:47

donvito

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Ohjeh, da hat mein Tippfehler ja eine gewaltige Diskussion ausgelöst, sorry! Gott

Danke für eure Hilfe, ist mir jetzt soweit klar!

05.02.2007, 15:48

donvito

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also ich muss nur
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}= a_n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
setzen und dann zeigen:

$\begin{eqnarray*} b_n \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Damit gilt dann das Majorantenkriterium also ist die Reihe absolut konvergent.

Stimmt das?

05.02.2007, 15:59

klarsoweit

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Also wir sind jetzt erstmal so weit, daß es um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

geht. Das einzige, was hier meiner Meinung nach Sinn macht, ist die Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

05.02.2007, 16:11

donvito

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Das würde dann gegen 1 konvergieren. Das ist dann also die konvergente Reihe mit positiven Summanden,
jetzt muss gelten

$\begin{eqnarray*} \mid x_k\mid \leq a_k \end{eqnarray*}$ füe alle k € N

Mir ist nur noch unklar, was denn nun a_k ist.

ich nehme mal an die ursprüngliche Folge, oder?

06.02.2007, 08:25

klarsoweit

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Was würde gegen 1 konvergieren? Was hast du denn jetzt gerechnet? Und vor allem, was soll das:

Zitat:

Original von donvito
$\begin{eqnarray*} \mid x_k\mid \leq a_k \end{eqnarray*}$ füe alle k € N

06.02.2007, 16:25

donvito

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Das was du da zuletzt gepostet hast geht ja gegen 1, da im Zähler und im Nenner dasselbe steht. Was ich da gepostet habe ich das Majorantenkriterium aus dem Repetirorium der höheren Mathematik Augenzwinkern

Seid ihr jetzt mal so lieb und sagt mir wies weitergeht? Freude

Also die Folge ist posiutiv und geht gegen 0. Damit hätte ich schonmal den ersten Teil des Majorantenkriteriums. Jetzt fehlt bloß noch der andere Teil,.. Ich kapiere nicht, wie ich das in Formeln hinschreibe soll. In Worten hab ichs ja schon, die Reihe ist absolut konvergent, weil die Folge gegen 0 konvergiert und alle Folgeglieder positiv sind.

06.02.2007, 16:31

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Zitat:

Original von donvito
In Worten hab ichs ja schon, die Reihe ist absolut konvergent, weil die Folge gegen 0 konvergiert und alle Folgeglieder positiv sind.

Ein solches Konvergenzkriterium gibt es nicht, wie das Gegenbeispiel der harmonischen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ deutlich zeigt. unglücklich

Harmonische Reihe ist übrigens das passende Stichwort zur vorliegenden Aufgabe, aber nicht als konvergente Majorante, sondern als divergente Minorante.

06.02.2007, 16:39

donvito

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Was sollte dann der Hinweis? also kann ich das garnicht methematisch berechnen, dass dieses Ding absolut konvergiert bzw. überhaupt konvergiert?

Und das mit der Majorante sagte unser geliebter Tutor...

06.02.2007, 16:49

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Zitat:

Original von donvito
Was sollte dann der Hinweis?

Frag das nicht uns, sondern deinen Tutor.

06.02.2007, 18:18

klarsoweit

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Muß man denn alles vorrechnen?

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \frac{1}{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \geq \frac{1}{\sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1})} = \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Und damit haben wir eine divergente Minorante.

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