Wegintegral 2

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14.09.2012, 23:47	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral 2 Meine Frage: Leider muss ich euch gleich mit einer weiteren Aufgabe nerven die ich nicht hin bekomme. Berechnen sie das Wegintegral der folgenden Funktion: h(x,y) = ( x^2 +y^2 , x^2 -y^2 ) längs des Weges r: y = 1 -\|1-x\|, x element [ 0 , 2] Parametisieren sie zuerst den Weg r mit t element [ 0, 2] dann zerlegen sie das Integral bezüglich der zwei teile des Weges. Ich bin mir nicht so sicher wie ich das parametrisieren soll. Meine Ideen: Ich habs mal versucht zu parametrisieren: ( r , -r )
14.09.2012, 23:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegral 2 Hallo, die Parametrisierung ergibt keinen Sinn. $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist ja der Weg, keine Variable. Du hast vielmehr $\begin{eqnarray} r(x)=(x,y) \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} r(t)=\dotso \end{eqnarray}$ ), wobei $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ angegeben bzw. anzugeben ist. Hier mal der Weg als Plot, falls es helfen sollte:
14.09.2012, 23:58	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie parametrisiere ich das denn genau . Ich habe bei so etwas sau schwierigkeiten.
15.09.2012, 00:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal eine allgemeine Parametrisierung: Wenn eine Kurve $\begin{eqnarray} \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} y=y(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in[a,b] \end{eqnarray}$ gegeben ist, dann ist die Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma(t)=(t,y(t)) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ . Bei Angaben mit $\begin{eqnarray} y=\dotso \end{eqnarray}$ kannst du dir die Kurve als Funktionsgraphen vorstellen; die Punkte darauf haben ja auch die Form $\begin{eqnarray} (x,y(x)) \end{eqnarray}$ .
15.09.2012, 00:05	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann wäre ja der erste wert ( t , ... ) [ 0 ,2 ] Wie kriegt man genau den zweiten wert raus? Das verstehe ich nicht so genau.
15.09.2012, 00:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der angegebene. Wenn $\begin{eqnarray} y=1-\lvert 1-x\rvert \end{eqnarray}$ , was ist dann $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ ? Zur Parametrisierung ersetzt man dann $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nur noch üblicherweise durch $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ .
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15.09.2012, 00:10	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok . DAnn wäre das: ( t , 1-\| 1-t \| ) Und jetzt muss ich das INtegral berechnen mit der Skalarprduktformel?
15.09.2012, 00:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und vorher solltest du das Integral zerlegen. Ist klar, in welche Teile?
15.09.2012, 00:16	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mach ich eigentlich mit dem 2 wert der Parametrisierung mit dem y wert da steht doch dieses betrag zeichen drin. Das erste Integral müsste doch von 0 bis 1 und das zweite von 1 bis 2 gehen oder?
15.09.2012, 00:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Aufteilung stimmt. Um nun sinnvoll weiter zu rechnen, stelle die parametrisierte Kurve nochmals für diese Einteilungen auf. Danach kannst du ganz normal weiterintegrieren. (mit zwei Integralen, die du addierst)
15.09.2012, 00:19	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie stelle ich das richtige auf für die bereiche ? Soll ich bei 0 bis 1 für t= 1 einsetzen oder wie?
15.09.2012, 00:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache eine Fallunterscheidung, um damit den Betrag aufzulösen. Dann hast du eine Parametrisierung auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ , die ohne Beträge auskommt und eine auf $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ .
15.09.2012, 00:24	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
1-\| 1-t \| Wie mache ich denn genau hier eine fallunterscheidung ?
15.09.2012, 00:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} t<1 \end{eqnarray}$ , wie kannst du dann $\begin{eqnarray} 1-\lvert 1-t\rvert \end{eqnarray}$ anders schreiben?
15.09.2012, 00:29	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
1-\| 1-t \| 1-\|1-0\| t< 1 Ist es 0 oder?
15.09.2012, 00:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} t<1 \end{eqnarray}$ heißt nicht $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ . Sieh dir zur Not die Definition des Betrages an. Bzw. welches Vorzeichen hat in diesem Fall $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ ?
15.09.2012, 00:34	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei kleiner 1 hat t ein positves Vorzeichen . Bei größer 1 = -t Also Parametrisierung: ( t , t ) von 0 bis 1 ( t , -t ) von 1 bis 2 Richtig?
15.09.2012, 00:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste stimmt, die zweite solltest du dir nochmal ansehen. Was soll denn $\begin{eqnarray} 1=-t \end{eqnarray}$ ?
15.09.2012, 00:43	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert den wenn t> 1 ist ? Da hat doch t ein negatives vorzeichen oder ? Oder es ist es so ( t , t - 1)
15.09.2012, 00:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ , dann hat $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ein negatives Vorzeichen? Die Parametrisierung verstehe ich auch nicht. Was wird denn aus $\begin{eqnarray} 1-\lvert 1-t\rvert \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ ? Fange da mal mit dem Betrag an. Der entspricht schon dem Term aus deiner Parametrisierung, aber das war's ja noch nicht.
15.09.2012, 00:50	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch den betrag bleibt ja alles positiv . meinst du das?
15.09.2012, 00:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} \lvert 1-t\rvert \end{eqnarray}$ ist positiv oder zumindest nichtnegativ. Und wie kannst du $\begin{eqnarray} \lvert 1-t\rvert \end{eqnarray}$ dann also für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ schreiben?
15.09.2012, 00:54	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es so ( t , t+1) ?
15.09.2012, 00:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn jetzt darauf? Beantworte doch erst einmal die Frage: Wie kannst du $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ schreiben?
15.09.2012, 00:57	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
\|1-t\| > 1 Wie gehe ich weiter vor?
15.09.2012, 00:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht größer als Eins. Im Intervall $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ ist es sogar nie größer als Eins. Forme einfach $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ um und verwende dabei $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ . Welches Vorzeichen hat dann der Term im Betrag und wie kann man diesen Betrag dann also schreiben?
15.09.2012, 01:02	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Das vorzeichen wäre : -t < 1 t> -1 So?
15.09.2012, 01:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben: $\begin{eqnarray} t>1\,. \end{eqnarray}$ Zu Bestimmen: Das Vorzeichen von $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ . Nächster Schritt: Schreibe dementsprechend $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ ohne Betragsstriche. Nächster Schritt: Was ergibt sich dann für $\begin{eqnarray} 1-\lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ ?
15.09.2012, 01:05	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja Che Netzer, harter Fall, aber du bleibst geduldig Manchmal versteh' ich nicht, wie das in den Hochschulbereich kommt.
15.09.2012, 01:07	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
1-\| 1-t \| 1-1 = 0 Also bleibt \|-t \| übrig oder ?
15.09.2012, 01:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du kannst den Betrag nicht einfach auseinander ziehen: $\begin{eqnarray} 0=\lvert0\rvert=\lvert-1+1\rvert\neq\lvert-1\rvert+\lvert1\rvert=1+1=2\,. \end{eqnarray}$ Dabei wird ja der gesamte Ausdruck $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ betrachtet. Also: Bestimme erst einmal das Vorzeichen von $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ . Ist in diesem Fall $\begin{eqnarray} 1-t>0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ . Stelle dazu die Ungleichung um. @Dopap: Tja... Ich merke auch recht oft, dass es hier Probleme mit Beträgen oder Potenzgesetzen/binomischen Formeln gibt... Da scheinen einige Grundlagen vernachlässigt zu werden...
15.09.2012, 01:17	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
1 - t < 0 Soll ich diese Gleichung nach t umstellen oder wie?
15.09.2012, 01:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich meinte: Stelle die Ungleichung $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ so um, dass du das Vorzeichen von $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ ablesen kannst, d.h. so dass du entweder $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1-t>0 \end{eqnarray}$ erhältst. Oder war die von dir angegebene Ungleichung schon deine Antwort?
15.09.2012, 01:22	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenn mich leider mit sowas nicht aus . Kannst du mir sagen wie es richtig lautet , weil ich komme einfach nicht drauf .
15.09.2012, 01:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich möchte ich das nicht vorsagen. Es ist zwar nicht zentraler Bestandteil der Aufgabe, aber diese Umformung solltest du beherrschen. Forme die Ungleichung $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ so um, dass auf einer Seite nur die Null steht und auf der anderen $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ . Dazu subtrahierst du einen bestimmten Term von beiden Seiten der Ungleichung. Wenn du dir unsicher bist: Nimm dir eine Zahl $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ größer als Eins, z.B. Zwei, und rechne $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ aus. Ist das dann positiv oder negativ?
15.09.2012, 01:27	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist natürlich negativ. 1 - 2 = -1 Aber was mache ich jetzt genau?
15.09.2012, 01:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist ja schonmal was. Kannst du dann auch nachvollziehen, wieso bzw. dass der Term $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ negativ ist? Wenn ja: Da $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ negativ ist, wie kann man dann $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ ohne Betragsstriche schreiben.
15.09.2012, 01:31	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
KAnn man das so schreiben : 1 - t < 1
15.09.2012, 01:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein. Wenn $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ negativ (kleiner Null) ist, dann heißt das in Formelschreibweise $\begin{eqnarray} 1-t<0\,. \end{eqnarray}$ Dann ist natürlich auch $\begin{eqnarray} 1-t<1 \end{eqnarray}$ , aber das interessiert hier nicht. Wichtig ist jetzt, dass $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ negativ ist, also $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ . Und was macht der Betrag mit negativen Ausdrücken? D.h. was ist $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ für negatives $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ ?
15.09.2012, 01:35	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dann wohl das : \|t-1\| > 0

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