Weglänge

15.09.2012, 02:11

Julia1

Weglänge

Meine Frage:
Berechnen sie die länge des Weges:

q(t) = (e^(-t) *cost, e^(-t) * sint, e^(-t) )

Muss ich eigentlich produktregel anwenden beim ableiten?

danke

Meine Ideen:
keine

15.09.2012, 02:18

Che Netzer

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RE: Weglänge
Hallo,

ich habe zwar gerade genug mit Wegen zu tun (und entwickle gerade eine Phobie davor), aber ja, beim Ableiten brauchst du die Produktregel in den ersten beiden Komponenten.
Zur Berechnung der Weglänge brauchst du dann aber auch noch die Grenzen.

mfg,
Ché Netzer

15.09.2012, 02:22

Dopap

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RE: Weglänge

Zitat:

Original von Julia1

$\begin{eqnarray*} q(t) = (e^{-t} \cos(t), e^{-t} \sin (t), e^{-t}) \end{eqnarray*}$

Muss ich eigentlich produktregel anwenden beim ableiten?

sieht so hoffentlich besser aus.

Hier gilt wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Willst du den Gradienten bestimmen?

Und davon unabhängig, wenn eine Funktion das Produkt aus 2 ( echten ) Funktionen ist , dann ist die Produktregel anzuwenden. Warum sonst sollte diese Regel den Namen tragen?

edit-----------------------------------

@CheNetzer: du kannst ja auch mal einen Thread auslassen. Augenzwinkern

15.09.2012, 02:25

Che Netzer

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RE: Weglänge
@Dopap:
Der Gradient ist doch aber nur für Skalarfelder definiert, also für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Hier wäre es eher die Jacobi-Matrix.

Ist für die Rechnung aber auch egal smile

15.09.2012, 02:27

Dopap

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ja richtig !

15.09.2012, 02:36

Julia1

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Ich habe den ersten term nach produktregel abgeleitet:

- e^-t *cos t + sin t * e^-t

Stimmt die Ableitung?

15.09.2012, 02:49

Che Netzer

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Na dann mache ich mal weiter:
Nein, da ist noch ein Vorzeichenfehler. Die Ableitung vom Cosinus ist ja nicht einfach nur der Sinus.

15.09.2012, 02:50

Julia1

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Ich glaube die Ableitung müsste so stimmen oder ?

- e^-t *cos t - sin t * e^-t

Zweiter term:

-e^-t *sint + cos t * e^-t

dritter term:

-e^-t

Stimmen die Ableitungen?

15.09.2012, 02:51

Che Netzer

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Ja, jetzt stimmen sie alle.

15.09.2012, 03:00

Julia1

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$\begin{eqnarray*} \int_0^a \! \sqrt{(- e^-t *cos t - sin t * e^-t)^2 +(-e^-t *sint + cos t * e^-t)^2+(-e^-t)^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Wie muss ich hier weiter vorgehen ?

Das ist ja ein sehr schweres Integral.

15.09.2012, 03:03

Che Netzer

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Erstmal ein kurzer $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Hinweis:
Mehrere Zeichen im Exponenten schafft man mit e^{-t}.
Und es gibt übrigens auch die Befehle \sin und \cos. (danach eine Leerstelle vor dem t lassen)

Naja, jetzt kannst du das $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-t} \end{eqnarray*}$ ausklammern, danach wendest du die binomischen Formeln an, kürzt und dann benutzt du den trigonometrischen Pythagoras. Dann sieht das Integral gar nicht mehr so schwer aus Augenzwinkern

15.09.2012, 03:15

Julia1

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$\begin{eqnarray*} \int_0^a \sqrt{(-e^{-t}*(cos t - sint)^2+(-e^{-t}*(sint -cos t))^2 + (-e^{-t})^2} dt \<br /> \end{eqnarray*}$

Wie vereinfache ich das genau?

15.09.2012, 03:16

Che Netzer

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Sagte ich doch:
Als erstes Klammerst du $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-t} \end{eqnarray*}$ (ggf. quadriert) aus und ziehst es aus der Wurzel.
Danach wendest du die binomischen Formel auf die "Überreste" unter der Wurzel an.

Edit: Da ist übrigens noch ein Vorzeichenfehler passiert.

15.09.2012, 03:27

Julia1

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Ok ich habs mal ein wenig korrigiert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^a \sqrt{(e^{-2t}*(-cos t + sint)^2+e^{-2t}*(-sint +cos t)^2 + e^{-2t}} dt \<br /> \end{eqnarray*}$

Aber wie vereinfache ich das -cos t +sint ?

15.09.2012, 03:29

Che Netzer

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Zunächst einmal gar nicht. (und es gibt wieder einen Vorzeichenfehler; im ersten Term sollten Sinus und Cosinus dasselbe Vorzeichen haben)
Erst ziehst du wie gesagt das $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2t} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel. Danach bleiben zwei Quadrate und ein +1 zurück. Auf die Quadrate wendest du die binomische Formel an.

15.09.2012, 03:33

Julia1

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Wieso ist beim ersten term ein vorzeichenfehler drin .

Das musst du mir bitte erklären?

15.09.2012, 03:35

Che Netzer

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Die Ableitung war ja $\begin{eqnarray*} -\mathrm e^{-t}(\sin t+\cos t) \end{eqnarray*}$ . Reicht das?

15.09.2012, 03:42

Julia1

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Ja aber ich hab ja e^-2t vor der klammer stehen dann geht ja ein minus in die klammer rein oder?

15.09.2012, 03:43

Che Netzer

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Welches Minus denn? Wenn du das Minus in die Klammer ziehst, sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} -(\sin t+\cos t)=-\sin t{\color{red}-}\cos t\,. \end{eqnarray*}$
In jedem Fall haben Sinus und Cosinus dort dasselbe Vorzeichen.

15.09.2012, 12:07

Julia1

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Ich hab ein wenig vereinfacht und hab das stehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{-2t} +e^{-2t}*(sin^2 t-2sint cos t +cos^2 t) +e^{-2t}}dt \end{eqnarray*}$

Falls das richtig ist hätte jemand einen tipp für mich wie ich weiter vorgehen kann?

15.09.2012, 12:38

Che Netzer

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So, ausgeschlafen und gefrühstuckt geht es weiter:
Die Umformung stimmt schonmal nicht.
$\begin{eqnarray*} (\sin t+\cos t)^2\neq1\,. \end{eqnarray*}$
Warum klammerst du nicht wie vorgeschlagen erst einmal das $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2t} \end{eqnarray*}$ aus, damit du es dann aus der Wurzel ziehen kannst?

15.09.2012, 12:57

Julia1

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Morgen chenetzer , weiter gehts .
Und gut geschlafen?

Ausgeklammer hatte ich das stehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{-2t}*(cost+sint)^2 +e^{-2t}*(-sin t +cos t)^2 +e^{-2t}} \end{eqnarray*}$

Und das ist doch gleich 1 oder ?

(cost +sint )^2 = 1

additionstheorem

15.09.2012, 13:00

Che Netzer

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Ich meinte, dass du auch noch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2t} \end{eqnarray*}$ aus den drei Summanden ausklammern solltest.

Und es ist $\begin{eqnarray*} \sin^2t+\cos^2t=1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (\sin t+\cos t)^2=\cos^2t+2\sin t\cos t+\cos^2t \end{eqnarray*}$ .

15.09.2012, 13:10

Julia1

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Ich bekomm das jetzt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{-2t}*(2*cos^2 t +1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich bestimmt irgendein additionstheorem anwenden oder was mir immer wieder schwierigkeiten macht.

Ich kenn das theorem :

sin (t/2 ) = Wurzel aus 1-cos^2 t

Aber wie wende ich das genau hier an.

15.09.2012, 13:21

Che Netzer

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Zeige mir doch mal deinen Rechenweg zu diesem Ausdruck.
Und ich sagte doch, du solltest das $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2t} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel ziehen.

15.09.2012, 13:38

Julia1

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Ich hatte diesen Ausdruck stehen nachdem ich die Binome ausmultipliziert hatte.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{-2t}*(cos^2t +2*sint cos t +cos^2 t +sin^2 t -2sintcos t +cos^2 t +1)} \end{eqnarray*}$

Chenetzer wie ziehe ich eigentlich die Wurzel aus e^{-2t}.
Was passiert mit dem Ausdruck nachdem ich die Wurzel gezogen hab?

15.09.2012, 13:56

Che Netzer

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Das ist schonmal richtig. In der rechten Klammer kannst du jetzt noch einiges zusammenfassen.
Und für die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2t} \end{eqnarray*}$ kannst du die Potenzgesetze verwenden.

15.09.2012, 15:21

Julia1

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Ich hab dann diesen Ausdruck stehen:

$\begin{eqnarray*} e^{-t}* \end{eqnarray*}$

Den ausdruck unter der wurzel hatte ich ja schon vereinfacht.

Aber was habe ich da falsch gemacht?

cos^2 t +cos^2 t = 2cos^2 t

cos

15.09.2012, 15:26

Che Netzer

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Ja, jetzt bist du bei
$\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-t}\sqrt{\cos^2t+2\sin t\cos t+\sin^2t+\cos^2t-2\sin t\cos t+\sin^2t+1} \end{eqnarray*}$
als Integranden. Da kannst du jetzt kürzen und dann zweimal den trigonometrischen Pythagoras anwenden.

15.09.2012, 15:31

Julia1

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Ja und dann habe ich das unter der Wurzel stehen:

2*(cos^2 t +1)

Was ist daran falsch?

15.09.2012, 15:35

Che Netzer

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Wie bist du denn darauf gekommen? Und wieso steht $\begin{eqnarray*} \cos^2 \end{eqnarray*}$ noch da?
Zunächst einmal kannst du zwei Terme kürzen. Dann bleiben nur noch Quadrate übrig. Jeweils zwei davon kannst du zusammenfassen.

15.09.2012, 15:43

Julia1

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Ok ich schreibe mal auf wie ich kürze:

cos^2 t +sin^2 t = 1

2sin t cos t - 2sint cost = 0

Ich glaube ich habe meinen fehler gefunden bleibt das unter der wurzel übrig?

cos^2 t +3 ?

15.09.2012, 15:54

Che Netzer

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Woher kommt denn da das $\begin{eqnarray*} \cos^2t \end{eqnarray*}$ ?
Schreibe doch ganz sauber den Rechenweg auf und erläutere, welche der Summanden du mit welchen wozu verrechnet hast.

15.09.2012, 16:01

Julia1

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Das steht unter der Wurzel:

cos^2 t +sin^2 t +cos^2 t +sin^2t +2sint cost -2sint cost +1

Jetzt habe ich es glaub ich:

cos^2 t +sin^2 t = 1

cos^2 t +sin^2 t = 1

+2sint cost -2sint cost = 0

1+1+1 = 3

e^-t * Wurzel aus 3

In ordnung?

15.09.2012, 16:02

Che Netzer

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Ja, das ist schon besser. Das zu integrieren sollte auch zu schaffen sein, wenn die Grenzen vorhanden sind.

15.09.2012, 16:10

Julia1

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e^-t integriert ist = e^-t

Aber wie integriere ich wurzel aus 3 ?

15.09.2012, 16:13

Che Netzer

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Die Integration von $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-t} \end{eqnarray*}$ stimmt noch nicht. Beachte die Kettenregel.

Und Konstanten kannst du doch einfach aus dem Integral ziehen geschockt

15.09.2012, 16:32

Julia1

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Ah ja hast recht:

$\begin{eqnarray*} e^{-t} * \int_0^a \! \sqrt{3} f(x) \, dt \end{eqnarray*}$

Wie integriere ich das jetzt?

15.09.2012, 16:39

Che Netzer

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1. Wieso hast du $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-t} \end{eqnarray*}$ rausgezogen?
2. Wieso hast du $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ nicht rausgezgen?
3. Was zur Hölle ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ??

15.09.2012, 17:03

Julia1

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Ich hatte mich leider nur verschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} * \int_0^a \! e^{-t} \, dt<br /> <br /> e^-t integriert = e^{-t+1} \end{eqnarray*}$

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