Inkreismittelpunkt - Koordinatengeometrie

12.07.2004, 12:43

Mathespezialschüler

Inkreismittelpunkt - Koordinatengeometrie

Hallo,

ich hab da folgendes "Problem":

Ich möchte für ein Dreieck mit den drei Punkten $\begin{eqnarray*} A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2)\ und\ C(x_3;y_3) \end{eqnarray*}$ den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden allgemein berechnen.
Ich hab das ganze schon mit Höhen, Mittelsenkrechten und Seitenhalbierenden gemacht. Bei den Höhen z.B. kam da raus:

$\begin{eqnarray*} x_H = \frac{(y_1 - y_2)(y_1y_2 + x_1x_2) + (y_2 - y_3)(y_2y_3 + x_2x_3) + (y_3 - y_1)(y_1y_3 + x_1x_3)}{x_1(y_3 - y_2) + x_2(y_1 - y_3) + x_3(y_2 - y_1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H = \frac{(x_1 - x_2)(y_1y_2 + x_1x_2) + (x_2 - x_3)(y_2y_3 + x_2x_3) + (x_3 - x_1)(y_1y_3 + x_1x_3)}{x_1(y_3 - y_2) + x_2(y_1 - y_3) + x_3(y_2 - y_1)} \end{eqnarray*}$

Allerdings hab ich davor viel Ausmultiplizieren und dann zu 0 addieren müssen. Von der "Größe" her kam bei den Mittelsenkrechten etwas ähnliches raus.

Ich glaub aber, dass das bei den Winkelhalbierenden noch komplizierter wird. Bei den Höhen z.B. habe ich für die Höhe $\begin{eqnarray*} h_{BC} \end{eqnarray*}$ die Steigung von BC bestimmt und daraus die Steigung der Höhe $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{m(BC)}) \end{eqnarray*}$ und dann mit Punktrichtungsgleichung die Höhengleichung bestimmt. Ähnlich bei den Mittelsenkrechten.

Bei den Winkelhalbierenden habe ich zwar schon zwei Ideen, allerdings sehr kompliziert:

1. Hier seht ihr dazu was. Unter 3. bzw. Satz 4 wird gesagt, der Abstand kann positiv und negativ sein. Dann wird in dem Buch folgendes gesagt:

Zitat:

Definition: Seien $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ zwei sich in S schneidende Geraden und denkt man sich $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ um S im Uhrzeigersinn so gedreht, dass $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ zur Deckung kommt, dann heißt der von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ überstrichene Teil der Zeichenebene positiver Winkelraum.

Und dann der Satz 5:

Zitat:

Satz 5 : Seien $\begin{eqnarray*} g_1(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2(x,y) \end{eqnarray*}$ die linken Seiten der HNF der [nicht parallelen] Geraden $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {S} = g_1\ [Schnittmenge]\ g_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S \neq O (0;0) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g_1(x,y) - g_2(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung der Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ , die in dem Winkelraum liegt, der den Ursprung enthält. $\begin{eqnarray*} g_1(x,y) + g_2(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung der anderen Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ , die also in dem Winkelraum liegt, der den ursprung nicht entählt.

Hier ist mein Problem, dass ich nicht weiß, welche der beiden Winkelhalbierenden denn die ist, die auch innerhalb des Dreiecks liegt. Und außerdem wäre es mMn sehr kompliziert, allgemein aus den drei Punkten die Gleichungen zweier Dreiecksseiten in der HNF und dann die Winkelhalbierende zu bestimmen. Und wenn ich dann noch eine zweite Winkelhalbierende bestimme und dann den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bestimmen soll (mit der Cramerschen Formel) dann wird das ziemlich kompliziert. Geht das auch einfacher auf diesem Weg?

2. Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein Dreieckswinkel. Die anliegenden Dreieckseiten haben die Steigungswinkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ . Der Steigungswinkel der Winkelhalbierenden ist $\begin{eqnarray*} \frac{\beta + \gamma}{2} \end{eqnarray*}$
Jetzt müsste ich aber noch diese Steigung in Abhängigkeit der drei Punkte bestimmen. Also wenn ich das sehe, kommt da ja ziemlich was mit arctan und ähnlichem raus. Kann ich das relativ einfach machen?Wenn ich das hätte und die Steigung nicht zu kompliziert ist, kann ich mit der Punktrichtungsgleichung arbeiten und die Gleichung der Winkelhalbierenden bestimmen. Und dann so wie bei den Höhen auch den Schnittpunkt bestimmen.

Also wenn ihr mir bei 1. oder 2. helfen könnt, wär ich euch sehr dankbar. Vielleicht hat ja jemand auch noch eine andere Idee??

12.07.2004, 17:02

Leopold

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Man kann den Inkreismittelpunkt zwar mit kartesischen Koordinaten bestimmen, aber das ist ein ziemlicher Rechenaufwand. Schneller geht es mit baryzentrischen Koordinaten. Es würde aber jetzt zu weit führen, dies hier aufzuschreiben - es ist zu umfangreich. Vielleicht googlest du einmal zu diesem Thema.

Ich möchte dir nur das (recht einfache) Ergebnis mitteilen. Ich verwende deine Bezeichnungen und zusätzlich a,b,c für die Länge der Strecken BC,AC,AB. a,b,c können mit Pythagoras leicht aus den Koordinaten von A,B,C ermittelt werden. Der Inkreismittelpunkt W hat dann die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} x_W \ = \ \frac{a}{a+b+c} x_1 + \frac{b}{a+b+c} x_2 + \frac{c}{a+b+c} x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_W \ = \ \frac{a}{a+b+c} y_1 + \frac{b}{a+b+c} y_2 + \frac{c}{a+b+c} y_3 \end{eqnarray*}$

Aber nachdem du jetzt das Ergebnis kennst, kannst du es ja verifizieren. Die Winkelhalbierende von A hat die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} (b(y_2-y_1)+c(y_3-y_1)) \cdot (x-x_1)-(b(x_2-x_1)+c(x_3-x_1)) \cdot (y-y_1) \ = \ 0 \end{eqnarray*}$

Und die anderen bekommst du durch Analogiebildung.

12.07.2004, 20:05

Mathespezialschüler

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Vielen Dank Leopold! Hab mal gegoogelt, aber ich glaub, das is mir noch n bisschen kompliziert. Hab da was gefunden mit a + b + c = 1 und dann noch was mit Schwerpunkt oder so, aber is ja auch egal. Ich probiers einfach auf dem anderen Weg. Aber wie bist du denn jetzt auf die Gleichung für die Winkelhalbierende gekommen? Mit Punktrichtungsgleichung? Oder hast du es aus den Koordinaten hergeleitet mit Zweipunktegleichung?

12.07.2004, 23:05

mYthos

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Hi,

die baryzentrischen Koordinaten sind - obgleich zweifelsohne sehr interessant - meines Wissens nicht Schulstoff.

Wie schon in meiner Antwort auf dein anderes Thema angeschnitten, berechne beispielsweise die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{AC} \end{eqnarray*}$ , und normiere diese (dividiere sie durch ihre Länge).

$\begin{eqnarray*} \vec{b_0} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{c_0} = \frac{\vec{c}}{| \vec{c} |} \end{eqnarray*}$

Dann ist der Richtungsvektor der Winkelhalbierenden von alpha

$\begin{eqnarray*} \vec{w_a} = \vec{b_0} + \vec{c_0} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung von $\begin{eqnarray*} w_a \end{eqnarray*}$ lautet dann einfach

$\begin{eqnarray*} \vec{X} = \vec{A} + t \cdot \vec{w_a} \end{eqnarray*}$

Analog bei den anderen Eckpunkten verfahren, dann zwei der Winkelhalbierenden schneiden -> Inkreismittelpunkt.

Gr
mYthos

12.07.2004, 23:07

Mathespezialschüler

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Danke für deinen Beitrag mythos, aber wie auch schon bei meiner Antwort im anderen Beitrag gesagt:
Vektorrechnung kann ich noch nich. traurig

Hab ja grad erst angefangen mit analytischer Geometrie.

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