Beweis: Ganzzahlige Matrix mit entsprechender Inversen

15.09.2012, 17:17

PeterMcCoy

Beweis: Ganzzahlige Matrix mit entsprechender Inversen

Hallo zusammen,

versuche mich gerade an folgender Aufgabe aus einem derzeitigen Mathe-Vorkurs:

"Begründen Sie, warum ganzzahlige Matrizen $\begin{eqnarray*} A \in ~\mathbb Z^{n x n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} det(A) = 1 \end{eqnarray*}$ ganzzahlige Inversen haben. Gilt auch die Umkehrung?"

Mein Ansatz wäre zunächst zu sagen $\begin{eqnarray*} A \cdot B = E \end{eqnarray*}$ , sprich Matrix A mal (die inverse) Matrix B ergebe die Einheitsmatrix.

=> $\begin{eqnarray*} det(A \cdot B) = det(E) = 1 = det(A) \cdot det(B) \end{eqnarray*}$ , aus der Aufgabenstellung folgt $\begin{eqnarray*} det(A) = 1 => det(B) = 1 \end{eqnarray*}$ . Somit ist die Determinante der inversen Matrix ebenfalls gleich 1. Da muss es sich also um Dreiecksmatrizen handeln, die ganzzahlig sind.

Meiner Meinung nach reicht dies jedoch nicht als Beweis und für die Umkehrung fehlt mir der Ansatz in der Ausgangsbehauptung. Würde mich über eure Ratschläge freuen Augenzwinkern

Grüße
Peter

15.09.2012, 17:23

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis: Ganzzahlige Matrix mit entsprechender Inversen

Zitat:

Somit ist die Determinante der inversen Matrix ebenfalls gleich 1. Da muss es sich also um Dreiecksmatrizen handeln, die ganzzahlig sind.

Wie begründest du dies? Also den letzten Satz? verwirrt

15.09.2012, 17:25

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis: Ganzzahlige Matrix mit entsprechender Inversen
Wenn ich mich nicht vertue folgt es sofort daraus, dass man die Inverse über die Cramersche Regel angeben kann. Oder mit der Kofaktormatrix/Adjunkten.

15.09.2012, 17:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht klar, was hier überhaupt mit "Umkehrung" gemeint sein soll. verwirrt

15.09.2012, 17:30

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Mir ist nicht klar, was hier überhaupt mit "Umkehrung" gemeint sein soll. verwirrt

Gemeint ist vermutlich die Frage, ob aus einer ganzzahligen Inversen $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \det A = 1 \end{eqnarray*}$ folgt.

15.09.2012, 17:30

PeterMcCoy

Auf diesen Beitrag antworten »

@Math1986

Den letzten Satz kann ich nicht begründen, ist eher so eine generelle Feststellung und Vereinfachung meinerseits um mir die Vorstellung zu vereinfachen - ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung und versuche wenigstens etwas herzuleiten Big Laugh

@IfindU

Würdest du mir zeigen, wie es mit der Cramerschen Regel geht, denn Adjunkte/Kofaktormatrix hört sich eher nach Studienstoff an und diesen kenne ich daher im Vorkurs (noch) nicht.

Cramersche Regel ist daher für mich nur:

Ist A invertierbar, so kann man die Lösung $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray*} x_{j} = \frac{det(A_{j})}{det(A)} \end{eqnarray*}$

Darüber kann ich mir recht wenig herleiten verwirrt

15.09.2012, 17:37

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PeterMcCoy
@Math1986

Den letzten Satz kann ich nicht begründen, ist eher so eine generelle Feststellung und Vereinfachung meinerseits um mir die Vorstellung zu vereinfachen - ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung und versuche wenigstens etwas herzuleiten Big Laugh

Das stimmt so aber nicht. Nur weil die Determinate Eins ist muss es sich nicht um eine Dreiecksmatrix handeln.

15.09.2012, 18:10

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PeterMcCoy
@IfindU

Würdest du mir zeigen, wie es mit der Cramerschen Regel geht, denn Adjunkte/Kofaktormatrix hört sich eher nach Studienstoff an und diesen kenne ich daher im Vorkurs (noch) nicht.

Cramersche Regel ist daher für mich nur:

Ist A invertierbar, so kann man die Lösung $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray*} x_{j} = \frac{det(A_{j})}{det(A)} \end{eqnarray*}$

Darüber kann ich mir recht wenig herleiten verwirrt

Das ist eigentlich alles was du wissen musst. Die Idee ist eine Matrix B zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} A B = E \end{eqnarray*}$ ist. Nun kann man sich die Matrixmultiplikation ansehen und einen "Spaltenvergleich" durchführen. Die erste Spalte der Matrix E hängt nur von der ersten Spalte von B ab. Damit kann man die Spalte über $\begin{eqnarray*} A x = e_1 \end{eqnarray*}$ explizit suchen, wobei $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ die erste Spalte der Einheitsmatrix ist. So kann man sich das b zusammenbauen und bei der Konstruktion kann man sich leicht überlegen, warum die Einträge alle ganzzahlig sein müssen.

15.09.2012, 18:46

PeterMcCoy

Auf diesen Beitrag antworten »

@Math1986

Stimmt natürlich deine Aussage, Dreiecksmatrix ist in dem Fall murks. Es ginge ja auch bsp: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@IfindU

Dein Ansatz klingt verständlich, aber wie soll ich mit einer allgemeinen Matrix, die mir nicht bekannt ist eine passende Inverse suchen? Im Grunde wäre die 1 oben links in E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} \\b_{21} \\\vdots \\b_{n1}\end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$ Ich weiß, dass alle Elemente in A aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kommen, wie kann ich jedoch belegen, dass die Elemente in B ebenfalls aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kommen?
Ich blicke da immer noch nicht richtig durch. Der Groschen muss erst noch fallen Big Laugh

15.09.2012, 19:01

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier kommt Cramer ins Spiel - du weißt damit wie die Vektoren bzw. die ganze Matrix aussieht. Damit hast du es schon ziemlich explizit stehen - wenn du noch det A = 1 setzt, hast du nur noch $\begin{eqnarray*} x_j = \det (A_j) \end{eqnarray*}$ . Du musst also nur begründen, warum $\begin{eqnarray*} \det(A_j) \end{eqnarray*}$ ganz ist.

Edit: Es ist praktischer dafür die ganze Matrix A dazulassen. Schon alleine, weil du gerade n-1 Freiheitsgrade ist, heißt du bekommst keine eindeutige Lösung, ohne alle n^2 mal zu machen.

15.09.2012, 19:55

PeterMcCoy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich verstehe gar nichts verwirrt

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} det(A) = det(B) = 1 \end{eqnarray*}$ , das habe ich im oberen Teil des Threads mit meinem ersten Ansatz rausbekommen.

Würden wir jetzt wir jetzt eine Spalte von A durch einen Einheitsvektor ersetzen, nach dem oberen Ansatz von dir (für die $\begin{eqnarray*} det(A_j) \end{eqnarray*}$ ) würde selbstverständlich eine ganze Zahl herauskommen, da die restlichen Elemente von A ganzzahlig sind und die Zahlen 1 und 0 aus dem Einheitsvektor auch. Produkte und Summen aus ganzen Zahlen sind und bleiben ganze Zahlen Augenzwinkern

Da $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ in dem Fall ein Matrixelement aus B wäre, muss es eine ganze Zahl sein, da eine ganze Zahl durch 1 $\begin{eqnarray*} x_j = \frac{det(A_j)}{1} \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl ist.

Würde das ausreichen? Meinst du mit Freiheitsgraden nicht den Rang der Matrix? Warum ist dieser n-1?

15.09.2012, 20:05

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Freiheitsgraden meinte ich nur, dass du n verschiedene Variablen hast, aber nur eine Gleichung. Damit kannst du bis zu n-1 Variablen frei wählen und kannst eine so wählen, dass du eine Lösung bekommst. [Ist nicht so wichtig, es bietet sich bloss deswegen an die Matrix A nicht in Zeilen zu zerlegen.]

Und die Argumentation stimmt. Die Determinante ist nur die Summe von Produkten von ganzen Zahlen, und insbesondere auch ganz. Und weil das für jeden Eintrag der Inversen zutrifft, hast du also eine ganze Matrix.

Edit: Je nachdem was mit Umkehrung gemeint ist, reicht schon ein Beispiel mit n = 1.

15.09.2012, 21:22

PeterMcCoy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir IfindU für den mir nötigen Ansatz - sonst wäre ich immer noch am Grübeln bei dieser Aufgabe Augenzwinkern

Ich weiß auch nicht wirklich was unter der Umkehrung zu verstehen ist, entweder das was Math1986 denkt oder einfach $\begin{eqnarray*} A^{-1} \in \mathbb Z^{n x n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} det(A^{-1}) = 1 \end{eqnarray*}$ , gilt dann auch $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb Z^{n x n} \end{eqnarray*}$ . Wenn das der Fall wäre könnte man doch einfach sagen, siehe oben Big Laugh

Wenn das was Math1986 sagt - $\begin{eqnarray*} A^{-1} \in \mathbb Z^{n x n} => det(A) = 1 \end{eqnarray*}$ also die Umkehrung ist, dann könnte man einfach ein Gegenbeispiel formulieren oder? Denn ich glaube kaum, dass das gilt.

15.09.2012, 21:47

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt, das Gegenbeispiel ist sogar so leicht, dass man keine echte Matrix braucht. Dafür war der Kommentar mit n = 1 gewesen.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis: Ganzzahlige Matrix mit entsprechender Inversen

Verwandte Themen