Gleichmäßige Konvergenz

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15.09.2012, 22:56	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz Meine Frage: Hallo kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Untersuche die folgende Funktionenfolge auf punktweise und gleichmässige Konvergenz $\begin{eqnarray} fn = \sqrt[n]{n^2x^3} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ x element [ 0 , 5 ] Meine Ideen:* leider keine
15.09.2012, 23:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz Hallo, zur punktweisen Konvergenz musst du ja $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2x^3} \end{eqnarray}$ betrachten. Existiert dieser Grenzwert für $\begin{eqnarray} x\in[0,5] \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, wie sieht er aus? Bzw. kennst du Grenzwerte, in denen eine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Wurzel auftaucht? mfg, Ché Netzer
15.09.2012, 23:22	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die nte wurzel aus unendlich geht doch gegen 1 oder?
15.09.2012, 23:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Wurzel aus Unendlich? Was bitte meinst du? Grenzwert Eins passt aber schon eher...
15.09.2012, 23:25	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert eigentlich mit x^3 ? Vernachlässigt man das ?
15.09.2012, 23:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir brauchen den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n^2} \end{eqnarray}$ und den von $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{x^3} \end{eqnarray}$ . Nach beiden hatte ich eigentlich gefragt; für den zweiten brauchst du übrigens eine Fallunterscheidung.
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15.09.2012, 23:33	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich bei der Fallunterscheidung den Betrag von x^3 betrachten?
15.09.2012, 23:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Aber fangen wir doch mal mit $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n^2} \end{eqnarray}$ an. Wogegen konvergiert das?
15.09.2012, 23:37	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen gegen 1.
15.09.2012, 23:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und jetzt können wir $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{x^3} \end{eqnarray}$ betrachten. Hast du zum Grenzwert davon irgendwelche Vermutungen?
15.09.2012, 23:53	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt habe ich dazu keine vermutungen. Wie untersuche ich das?
15.09.2012, 23:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ihr schon den Grenzwert $\begin{eqnarray} \sqrt[n]n \end{eqnarray}$ kennt, hattet ihr dann auch solche der Form $\begin{eqnarray} \sqrt[n]a \end{eqnarray}$ ?
16.09.2012, 00:01	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es x ?
16.09.2012, 00:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wie kommst du darauf? Was würdest du denn für $\begin{eqnarray} \sqrt[n]a \end{eqnarray}$ als Grenzwert für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ erhalten?
16.09.2012, 00:41	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch 1 oder ?
16.09.2012, 11:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Was ist dann also $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f_n(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ?
16.09.2012, 11:27	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch auch 1 oder? Wie gehe ich weiter vor?
16.09.2012, 11:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt weißt du, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray} (0,5] \end{eqnarray}$ gegen Eins konvergiert. Die Null bleibt zu untersuchen.
16.09.2012, 11:55	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich in die Funktion 0 einsetze kommt 0 raus. Bei der 5 vielleicht wurzel aus5 ? gruß goofy is the best
16.09.2012, 12:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Null stimmt schonmal. Aber da $\begin{eqnarray} 5>0 \end{eqnarray}$ , sollte hier auch 1 rauskommen. Wie sieht nun also die Grenzfunktion auf $\begin{eqnarray} [0,5] \end{eqnarray}$ aus?
16.09.2012, 12:02	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die grenzfunktion sieht dann so aus: [ 0, 1] Muss ich die punktweise konvergenz immer so untersuchen oder wie? Gruß Goofy( Baby)
16.09.2012, 12:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Oho. Die Grenzfunktion ist also ein Intervall? Und ja, zur punktweisen Konvergenz eine Folge von Funktionen $\begin{eqnarray} f_n\colon A\to B \end{eqnarray}$ untersuchst du immer $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f_n(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ und machst gegebenenfalls eine Fallunterscheidung.
16.09.2012, 12:07	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann sage ich also die grenzfunktion liegt bei 0 und 2 oder? Wie untersuche ich jetzt die gleichmäßige konvergenz. DAs empfinde ich immer als sehr schwer.
16.09.2012, 12:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das heißen, die Grenzfunktion liegt bei 0 und 2? Du musst eine Funktion $\begin{eqnarray} f\colon[0,5]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ angeben. Und zur gleichmäßigen Konvergenz kann man danach noch kommen, die wird in diesem Fall recht einfach.
16.09.2012, 12:32	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung hatte mich verschrieben . Die funktion liegt einmal bei 0 und einmal bei 1. Jetzt müsste es etimmen oder ?
16.09.2012, 12:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, aber damit hast du noch keine Funktion angegeben. Dazu musst du noch angeben, wann die Funktion Null und wann sie Eins ist.
16.09.2012, 12:38	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
für x > 0 fn(x) = 1 für x= 0 f(x) = 0 So?
16.09.2012, 12:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn du noch auf das n verzichtet. Jetzt hattet ihr doch sicher Aussagen zur gleichmäßigen Konvergenz in Bezug auf Stetigkeit?
16.09.2012, 12:45	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab diese formel im Skript stehen: \| fn(x) - f(x) \| < Epsilon Meinst du das?
16.09.2012, 12:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt aber noch ein Zusammenhang. Für welche $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ soll das gelten? Und mit Stetigkeit hat das nichts zu tun.
16.09.2012, 13:02	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
\| fn(x) - f(x) \| < 1 So?
16.09.2012, 13:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was soll diese Formel nun aussagen? Ich kann dir genauso gut $\begin{eqnarray} f_n(x)+x\neq\pi \end{eqnarray}$ kommentarlos aufschreiben. Habt ihr denn irgendwo ein Kriterium aufgeschrieben, dass etwas über die Stetigkeit der Grenzfunktion aussagt? Oder etwas ähnliches?
16.09.2012, 13:08	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub leider nicht. Vielleicht kannst du es mir erklären welches man benutzt? Ich hab sowieso probleme bei diesem Thema.
16.09.2012, 13:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Für gleichmäßig konvergente Folgen stetiger Funktionen ist auch die Grenzfunktion stetig. Hattet ihr das wirklich nicht?
16.09.2012, 13:12	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
EIn bisschen was sagt mir das . Wie muss ich den eigentlich weiter vorgehen?
16.09.2012, 13:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass ihr das anscheinend doch hattet. Ist denn die Grenzfunktion stetig? Und sind die Funktionen aus der Folge stetig?
16.09.2012, 13:18	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir ncht sicher , woran erkenne ich das die funktion stetig ist?
16.09.2012, 13:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit der Verkettung stetiger Funktionen?
16.09.2012, 13:25	goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denk mal das sie stetig ist oder ?
16.09.2012, 13:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig. Sind die $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ also stetig? Und die Grenzfunktion?

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