Funktionsuntersuchung

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matheflop Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsuntersuchung
Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe folgende Funktionen die ich Untersuchen soll als Übung. a) ist am leichtesten -> c)am schwersten.

a) fa(x)=ax³-ax² | a > 0
b) fa(x)=x^4-a²x² | a > 0
c) fa(x)=x³-ax²-a²x | a > 0

Ich fange mal mit a) an. Leider habe ich keinerlei Vorwissen und muss eigentlich bei 0 anfangen. Ich versuche erstmal bis wie weit ich alleine komme.

Meine Ideen:
0) Ableitungen
a)
fa(x)=ax³-ax² | i a > 0
fa`(x)=3ax²-2a
fa``(x)=6ax
fa```(x)=6a

Dann weiter mit der Untersuchung nach einer Symmetrie:

1) Symmetrie
Die Funktion ist nicht symetrisch weil Gerade sowie Ungerade Exponenten vorhanden sind.

2) Schnittpunkte
a) y-Achse x=0
fa(0)= a0³-a0²
fa(0)= a³-a²=0
Schnittpunkt y-Achse (0/0)
--> Ist das hier richtig. Und falls ja kann mir einer erklären wieso a³-a² gleich 0 ist?

b) x-Achse -> Ich weiß nicht weiter.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

zu deinen Ableitung bei a)

Die erste ist bereits leider falsch.



Die verringerst ja den Exponenten nur um 1 und nicht gleich um 2.

Das nicht symmetrische Verhalten hast du richtig erkannt. Freude


Schnittpunkte:

Zitat:
y-Achse x=0
fa(0)= a0³-a0²
fa(0)= a³-a²=0


Die Bedingung ist richtig und dein Ergebnis später auch, aber du rechnest hier falsch.
Du setzt x=0



Alles was du mit Null multiplizierst ist Null. Du hast jedoch die Null in der 3ten Zeile einfach weggelassen und deinen Parameter nicht. Warum auch immer.



Also noch mal Ableitungen korrigieren und diesen Fehler beim y-Achsenabschnitt ausbessern.

Die Bedingung für den Schnittpunkt mit der x-Achse ist

f(x)=0

Kommst du damit weiter?

smile
aendue Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, also die erste Ableitung is nicht korrekt. Da fehlt beim 2 Summanden das X.

"
fa(0)= a0³-a0²
fa(0)= a³-a²=0
"
Stimmt auch leider nicht, da etwas mal Null immer Null ist.

Zum Beispiel 0*2=0 nicht 2. Das a ist ja auch nur eine Variable.

Um die Schnittpunkte mit der X-Achse zu bestimmen, musst du die Gleichung gleich 0 setzen und dann mit Hilfe der pq-Formel oder der Quadratischen Ergänzung die Nullstellen bestimmen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aendue
...... und dann mit Hilfe der pq-Formel oder der Quadratischen Ergänzung die Nullstellen bestimmen.


Diese Verfahren wären hier eher unglücklich gewählt. Augenzwinkern
aendue Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt. Ausklammern wäre sinnvoller^^

Danke für denn Tipp....
matheflop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
zu deinen Ableitung bei a)

Die erste ist bereits leider falsch.



Die verringerst ja den Exponenten nur um 1 und nicht gleich um 2.

Das nicht symmetrische Verhalten hast du richtig erkannt. Freude


Ups Schreibfehler:

0) Ableitungen
a)
fa(x)=ax³-ax² | i a > 0
fa`(x)=3ax²-2ax
fa``(x)=6ax-2a
fa```(x)=6a

So richtig?

Und wegen den Schnittpunkten. Alles klar habe verstanden wo mein Fehler lag.

1) Symmetrie
Die Funktion ist nicht symetrisch weil Gerade sowie Ungerade Exponenten vorhanden sind.

2) Schnittpunkte
a) y-Achse x=0
fa(0)= a0³-a0²
fa(0)=0
Schnittpunkt y-Achse (0/0)

b)x-Achse y=0
fa(x)=ax³-ax²=0
Ausklammern??? -> Falls ja, kommt hier immer ein Ausklammern hin oder muss ich das von Fall zu Fall entscheiden? Habs jetzt aus dem Unterricht so entnommen.
x²(ax-a)=0 --> Richtig?
x=0 oder ax-a=0 --> Wieso hier ein oder kommt kann mir das jemand mal erklären?
ax-a=0 /+a
ax=a /:a
x=1
Schnittpunkt x1 (0/0) (siehe x=0)
Schnittpunkt x2 (1/0) (siehe x=1)

Richtig soweit?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig ausgeklammert. Du musst jedoch darauf achten, dass es sich um eine doppelte Nullstelle bei x=0 handelt.

Also

Du klammerst ja auch aus.

Ausklammern kannst du immer wenn jedem Teil der Funktion ein x vorhanden ist.

Wie hier zum Beispiel



Überall steht ein x dran und deshalb kannst du ausklammern.

Wenn nicht überall ein x steht



so macht ausklammern keinen Sinn.

Klar?

Das oder kommt durch den Satz vom Nullprodukt zustande.

Ein Produkt ist Null wenn einer der beiden Faktoren Null ist.
Es darf also

sein, oder

Ansonsten ist es richtig.
smile
matheflop Auf diesen Beitrag antworten »

Okay es müsste also korrekterweise lauten:

x(ax²-ax)=0

So richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Immerhin ist es nicht falsch, aber unnötig. Das ausklammern von x^2 ist vollkommen korrekt.

Hast du etwas falsch verstanden was ich oben versucht habe zu erläutern? Wenn ja, kann ich diesen Punkt vielleicht noch einmal versuchen besser zu erklären.
smile

Brauchst du noch Extrempunkte und Wendepunkte?
matheflop Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gerne weil mein neuer Lösungsvorschlag das einzige war was mir zu deinem Text einfiel unglücklich
Genau es fehlt noch: Extrempunkte, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen und der Graph. Wobei nur die ersten 3 wichtig sind im Moment.
Aber erstmal möchte ich das noch mit dem Ausklammern beherrschen.
Noch eine Frage wird bei y=0 immer Ausgeklammert?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben die Funktion



Jetzt erkennt man, dass sich in jedem Teil der Funktion ein x befindet. Genau genommen x^2.
Das heißt wir können ausklammern.



An dieser Stelle können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden. Also



Nun sehen wir, dass wir wieder ausklammern können.



Man hätte (was du ja auch getan hast) direkt x^2 ausklammern können. Das ist eleganter.
Weil wir jetzt 2mal x=0 haben ist dies eine sog. doppelte Nullstelle und muss als solche gekennzeichnet werden:



Wir hätten ja eine Verkettung von:



und könnten schreiben



Das ist jedoch mehr Aufwand und wie gesagt geht es eleganter.

Zitat:
Noch eine Frage wird bei y=0 immer Ausgeklammert?


Nein kann wird es nicht. Es gibt mehrer Lösungsverfahren.

Zum Beispiel die pq-Formel die wohl am häufigsten auftritt, oder die Substituion, Polynomdivision, Wurzeln, quadr. Ergänzung, Satz von Vieta.

x ausklammern ist immer dankbar, weil es erstens einfach ist und zweitens schnell. Man könnte f(x) auch mit einer Polynomdivison durch (x-0) vereinfachen, aber das ist eben mehr Arbeit als eigentlich nötig.



Wenn du hier ein x ausklammerst würde dort stehen:



Die Lösung x=0 die man normalerweise erhält bringt hier nichts, weil wenn man es einsetzen würde, erhielte man



geschockt bedeutet eine division durch Null und ist nicht definiert. Die Lösung x=0 ist somit "illegal" oder zerstört das Universum wenn du so willst. Augenzwinkern

Ich hoffe das war jetzt verständlicher. Ich habe das Gefühl ich hätte mich wiederholt.

smile
matheflop Auf diesen Beitrag antworten »

Okay alles klar habe verstanden wenn ich eine doppelte Nullstelle habe muss ich den zwischenschritt gehen mit dem 2x ausklammern um davor noch die Kennzeichnung x1,2=0 zu setzen, richtig?

Edit: ich gehe nun schlafen, wir können morgen gerne weitermachen falls du da noch lust hast Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du x^2 ausklammern kannst, musst du nicht den Schritt über das 2malige ausklammern gehen. Das ist nicht falsch, aber unnötig. Die doppelte Nullstelle erkennt man direkt daran, dass x^2 ausgeklammert wird. Ich denke da hast du wie gehabt ein kleines Problem mit dem Verständnis.

Gute Nacht.

Wink
matheflop Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich verstehe also wenn ich schreiben kann, wie in diesem Fall:

(ax-a)=0

Dann erkenne ich es handelt sich hier um eine doppelte Nullstelle die ich auch kennzeichnen muss, richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Freude

Die Lösung x=0 tritt 2 mal auf. Das ist mit der doppelten Nullstelle gemeint.
An einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse.
matheflop Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid jetzt blicke ich aber nun überhaupt nicht mehr durch unglücklich
Was muss ich denn nun exakt schreiben?

b)x-Achse y=0
fa(x)=ax³-ax²=0
x²(ax-a)=0
--> An dieser Stelle?
x=0 oder (ax²-a)=0
x1,2 = 0
x=0 oder (ax-a)=0
Und dann ganz normal weiter, so etwa richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich habe ich nichts weitere gesagt als zuvor. Die Information, dass an einer doppelten Nullstelle die x-Achse berührt wird war nur eine kleine Anmerkung. Das wirst du auch bei den Extremstellen sehen, dass x=0 ein Extrempunkt ist. Hat aber nichts mit der Notation oder ähnlichem zu tuen.


Zitat:
x^2=0 oder (ax²-a)=0
x1,2 = 0
x=0 oder (ax-a)=0


Das rot markierte muss hinzugefügt werden und das hell blau markierte entfernt. Dann ist die Lösung richtig.

Also richtig aufgeschrieben wäre es so:



Satz vom Nullprodukt:

matheflopp Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut. Dann könnte man am Ende jedoch schreiben x=1 oder?
Wofür x3?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil wir 3 Nullstellen haben:



Die Indizes sind deshalb, damit man die Nullstellen untereinander unterscheiden kann.
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