Ableitung/ Differenzierbarkeit im Mehrdim.

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung/ Differenzierbarkeit im Mehrdim.
Meine Frage:
Also man unterscheidet ja im Mehrdimensionalen zwischen

1.) partieller Differentiation
2.) totaler Differentiation

Aus der stetig partiellen Differenzierbarkeit folgt die totale Differenzierbarkeit, aus der totalen Differenzierbarkeit folgt die partielle Differenzierbarkeit (und Stetigkeit).


Aber was ist denn eigentlich die Ableitung im Mehrdimensionalen. Im Königsberger verwirrt mich Folgendes:

Es wird die totale Differenzierbarkeit eingeführt und als Ableitung wird dann der Vektor der partiellen Ableitungen bezeichnet. Nun folgt doch aber aus der partiellen Differenzierbarkeit nicht die totale Differenzierbarkeit - das heißt: Eine Funktion im Mehrdimensionalen kann eine Ableitung besitzen, weil sie partiell differenzierbar ist, aber sie muss nicht total differenzierbar sein?

Meine Ideen:
Wahrscheinlich ist das wohl so zu verstehen:

Ist eine Funktion f total differenzierbar, kann man sie in jedem Punkt durch eine lineare Abbildung (das sog. Differential) approximieren. Dieses Differential bezeichnet man dann als die Ableitung von f und ist durch die Jacobimatrix gegeben, deren Einträge gerade die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen von f sind.

Ist eine Funktion f partiell differenzierbar, kann man diese Ableitung, die ich gerade angesprochen habe, zwar hinschreiben, aber das bedeutet noch lange nicht, dass diese Ableitung bzw. die durch sie induzierte lineare Abbildung, auch wirklich f linear approximiert!

So richtig verstanden? Das heißt, mit der Ableitung meint man die Jacobimatrix, die die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen der in Frage stehenden Funktion beinhaltet - aber es bleibt eben immer auch zu kontrollieren, ob die durch diese Ableitung induzierte lineare Abbildung auch die Funktion in jedem Punkt approximiert.



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Das heißt, wenn man schauen soll, ob eine Funktion total differenzierbar ist, könnte man ja erstmal die partiellen Ableitungen bestimmen bzw. schauen, ob sie existieren und falls ja, schaut man zusätzlich, ob die als Differential in Frage kommende lineare Abbildung die Funktion approximiert?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung/ Differenzierbarkeit im Mehrdim.
Ja, das hast du soweit verstanden. Zu dem Thema habe ich mich auch mal hier ausgelassen.


Zitat:
Original von Dennis2010
Das heißt, wenn man schauen soll, ob eine Funktion total differenzierbar ist, könnte man ja erstmal die partiellen Ableitungen bestimmen bzw. schauen, ob sie existieren und falls ja, schaut man zusätzlich, ob die als Differential in Frage kommende lineare Abbildung die Funktion approximiert?


Ja, das könnte man so machen, aber sei froh dass dir ein Satz die totale Differenzierbarkeit [also die Approximation der Funktion] garantiert falls die partiellen Ableitungen stetig sind.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung/ Differenzierbarkeit im Mehrdim.
Dankeschön!

Den Link werde ich mir mal genauer ansehen. Freude
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