Ungleichungen berechnen |
| 18.09.2012, 17:01 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ungleichungen berechnen habe folgende Ungleichung zu berechnen: (5x-4)/(2*(x-1) > 1 + x/(x-1) Mein Lösungsweg wäre dieser: (5x-2)/(x-1) > 1 + x/(x-1) (5x-2) > [(1+x)*(x-1)]/(x-1) 5x-2 > 1+x x = 3/4 Ist das soweit korrekt oder gibt es noch weitere Lösungen? Für Eure Korrektur Danke ich im Voraus |
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| 18.09.2012, 17:15 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ungleichungen berechnen
Vielleicht solltest du dir etwas mehr Mühe geben, die Aufgabe vollständig und korrekt hier hin zu schreiben. |
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| 18.09.2012, 17:21 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(5x-2)/(x-1) > 1 + x/(x-1) Wo ist denn die 2 aus dem Nenner auf der linken Seite auf einmal hin? -> Hier habe ich die 2 mit der 4 gekürzt. (5x-2) > [(1+x)*(x-1)]/(x-1) Hier ist eine Fallunterscheidung notwendig, bei x-1<0 dreht sich die Relation um. Desweiteren ist mir nicht ganz klar, wie der Zähler auf der rechten Seite zustande kommt. -> Hier habe ich mit (x-1) mal genommen. Wie würde ich eine solche Fallunterscheidung hier darstellen? |
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| 18.09.2012, 17:24 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dirr sind Bruchrechenregeln aber klar, oder? Du musst, wenn du kürzt aus jedem Summanden des Zählers und des Nenners kürzen und nicht einfach aus einem beliebigen. Desweiteren ist . Also die Aufgabe einmal deutlich: Es soll die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bestimmt werden: Als allererstes schaffe einmal Nennergleichheit auf der rechten Seite. Wie macht man sowas? |
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| 18.09.2012, 17:34 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 18.09.2012, 17:45 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann: |
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| 18.09.2012, 17:49 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Folglich: |
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| 18.09.2012, 18:30 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das jetzt soweit korrekt oder fehlt noch eine Lösung? |
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| 18.09.2012, 21:55 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt kommen wir noch einmal zu der Fallunterscheidung. Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich die Relation um, das bedeutet aus < wird > und andersherum. Du hast das bisher nur für betrachtet, es muss aber auch für betrachtet werden. kommt ja bekanntlich nicht in Betracht. |
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| 18.09.2012, 23:16 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Muss ich nun folglich folgendes rechnen: 5x<6 x<5/6 |
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| 18.09.2012, 23:28 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, das ist falsch.. wenn nun 2x-2 <0 ist und du multiplizierst demnach mit der negativen Zahl 2x-2 dann kehrt die Richtung der Ungleichung und du hast dann also: für 2x-2<0 folgt -> 3x-4 < 2x-2 mach nun selbst weiter und ermittle den dazu gehörenden Lösungsteil -> 
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| 18.09.2012, 23:41 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ist es x<2 |
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| 18.09.2012, 23:45 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-> denk nochmal nach.. Tipp: es müssen beide Ungleichungen erfüllt sein 
nebenbei: vielleicht würdest du besser klarkommen, wenn du zu Beginn die Ungleichung zuerst noch etwas umformst -> und jetzt kannst du dir einfach mal überlegen: wann ist ein Bruch positiv?
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| 18.09.2012, 23:56 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So letzte Idee ist x = 1, das müsste jetzt stimmen. Mir fehlt allerdings der Überblick, wie ich an eine solche Aufageb am einfachsten heran gehe. |
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| 19.09.2012, 00:01 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry meinte natürlich x<1 |
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| 19.09.2012, 00:11 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also nochmal: ->für 2x-2<0 folgt -> 3x-4 < 2x-2 also: 3x-4 < 2x-2 (dh: x<2) gilt nur , wenn 2x-2<0 (dh: x<1) ist dh, beide Ungleichungen müssen erfüllt sein - und das ist für alle x der Fall, für die gilt: x<1 zusammengefasst: deine ursprüngliche Ungleichung ist erfüllt, wenn entweder x>2 (erster Lösungsbereich) oder nun noch x<1 ist (zweiter Lösungsbereich) ok - sehe gerade, dass du inzwischen selbst korrigiert hast 
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| 19.09.2012, 11:19 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe hier noch eine zweite Aufgabe gerechnet: 8<12x²-4x 0<12x²-4x-8 Berechnung der Nullstellen ergibt: x1 = 1 x2 = -2/3 Wie kann ich hier nun erkennen, ob die Lösungen jeweils größer oder kleiner als x sind? Sind dieses nun alle Lösungen oder fehlt hier noch eine dritte? |
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| 19.09.2012, 15:38 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mag mir hierbei nochmal jemand helfen? |
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| 19.09.2012, 15:49 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diesen Schluss verstehe ich irgendwie nicht... Für mich sieht es so aus, als hättest du da beide Seiten mit 3x-1 multipliziert...
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| 19.09.2012, 16:00 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt, habe ich gemahct, um die allgemeine Form der quadratischen Gleichung zu erhalten, um so erst einmal die Nullstellen zu errechnen. |
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| 19.09.2012, 16:30 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich sehe ja auch, dass du das gemacht hast, aber darf man denn das so ohne Weiteres machen?
Überprüf das mal, indem du z.B. x=0 einsetzt... |
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| 19.09.2012, 16:34 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schade, ich dachte, dass ich es verstanden hätte. Wenn ich 1 oder 0 einsetze, stimmt die Ungleichung nicht mehr... |
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| 19.09.2012, 17:05 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir jemand hier den richtigen Denkanstoß geben, ich stehe irgendwie auf dem Schlauch :-( |
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| 19.09.2012, 17:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst einfach eine Fallunterscheidung machen 1.Fall: 3x-1>0 2.Fall: 3x-1<0 und für beide Fälle die Lösungen berechnen... |
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| 19.09.2012, 17:30 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe es mit den Fallunterscheidungen einfach nicht. Muss ich diese zwei Fallunterscheidungen auf die vorgegebene Ungleichung anwenden oder muss ich folgendes rechnen: 1.Fall: 3x-1>0 -> x>1/3 2.Fall: 3x-1<0 -> x<1/3 Mir würde es ziemlich weiterhelfen, wenn ich einmal sehen würde, wie man eine solche Aufgabe herunterrechnet. Danke vorab |
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| 19.09.2012, 17:53 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorrechnen geht schon mal gar nicht, das würde gegen die Regeln dieses Forums verstoßen, aber ich kann dir helfen, wenn du beim Rechnen irgendwelche Fehler machst, so wie ich dich auch auf obigen Fehler hingewiesen habe... Aber ich kann ja mal einen Anfang machen: 1. Fall: 3x-1>0 (d.h., x >1/3) Und jetzt brauchst eine weitere Fallunterscheidung, um zu sehen, wann genau dieses Produkt positiv ist... Die Stichworte für solche Aufgaben sind also Fallunterscheidung, Fallunterscheidung und nochmals Fallunterscheidung... 
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| 19.09.2012, 18:01 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das verstehe ich soweit. Wie kommst du allerdings auf: 3x² - x -2 |
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| 19.09.2012, 18:10 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, da waren die Finger schneller als der Kopf. Geteilt durch 4 ;-) 2. Fall: 3x-1<0 2. Fall: 3x-1<0 (d.h., x <1/3) |
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| 19.09.2012, 18:14 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ok, aber wo sind dann die weiteren Fallunterscheidungen, um zu sehen, ob das Produkt bzw. ist? |
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| 19.09.2012, 18:20 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Langsam verzweifle ich hier, ich verstehe es einfach nicht. Ich weiß einfach nicht, wie ich diese Fallunterscheidungen machen soll. |
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| 19.09.2012, 19:11 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, betrachten wir mal nur den Fall (3x+2)(x-1)>0... Ich geb dir 6 Möglichkeiten zur Auswahl und du sagst, welche davon dann zulässig sind: a) 3x+2>0 und x-1>0 b) 3x+2>0 und x-1<0 c) 3x+2<0 und x-1>0 d) 3x+2<0 und x-1<0 e) Ein der beiden Faktoren ist 0, der andere >0 f) Einer der beiden Faktoren ist 0, der andere nichtpositiv |
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| 19.09.2012, 20:31 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aund d müssten richtig sein. |
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| 19.09.2012, 20:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na also!
Diese Ungleichungen musst jetzt nur noch umformen zu Bedingungen für x und diese dann natürlich noch kombinieren mit der generellen Bedingung x>1/3 für diesen Fall... Genauso geht dann auch der zweite noch ausstehende Fall 3x-1<0... |
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| 19.09.2012, 20:45 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) 3x+2>0 und x-1>0 -> x>-2/3 und x>1 d) 3x+2<0 und x-1<0 -> x<-2/3 und x<1 |
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| 19.09.2012, 22:19 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gesagt, du musst das jetzt kombinieren mit x>1/3... Was genau bedeutet z.B. x>-2/3 und x>1 und x >1/3 bzw. wie kann man das zusammenfassen? |
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| 19.09.2012, 23:12 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre es jetzt: 1/3<x<1 |
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| 19.09.2012, 23:26 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe ich nicht...
Zeichne doch mal die 3 Intervalle auf der Zahlengerade ein und bilde dann deren Durchschnitt... |
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| 19.09.2012, 23:34 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-2/3<x>1 Dieses schließt die x>1/3 ein. |
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| 20.09.2012, 12:14 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe mich jetzt nochmal dran gesetzt und versucht. Hier einmal meine komplette Rechnung zu: \frac{8}{3x-1}<4x _______________________________ Fall 1: 3x-1>0 (d.h., x >1/3) \frac{8}{3x-1}<4x 8<12x²-4x 0<12x²-4x-8 0<3x²-x-2 0<(3x+2)*(x-1) Hier sind nun wiederrum zwei Fallentscheidungen zu machen: Fall 1: 3x+2>0 und x-1>0 Folglich: x>-2/3 und x>1 und x>1/3 Fall 2: 3x+2<0 und x-1<0 Folglich: x<-2/3 und x<1 und x>1/3 -------------------------------------------------------- Fall 2: 3x-1<0 (d.h., x <1/3) \frac{8}{3x-1}<4x 8>12x²-4x 0>12x²-4x-8 0>3x²-x-2 0>(3x+2)*(x-1) Hier sind nun wiederrum zwei Fallentscheidungen zu machen: Fall 1: 3x+2>0 und x-1<0 Folglich: x>-2/3 und x<1 und x<1/3 Fall 2: 3x+2<0 und x-1>0 Folglich: x<-2/3 und x>1 und x<1/3 Ich hoffe jetzt ist es soweit korrekt. Wie bestimme ich jetzt allerdings die Lösungsmenge der Ungleichung, fdass ist mir noch nicht ganz klar. Danke vorab |
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| 20.09.2012, 12:16 | Kebap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe mich jetzt nochmal dran gesetzt und versucht. Hier einmal meine komplette Rechnung zu: _______________________________ Fall 1: 3x-1>0 (d.h., x >1/3) 8<12x²-4x 0<12x²-4x-8 0<3x²-x-2 0<(3x+2)*(x-1) Hier sind nun wiederrum zwei Fallentscheidungen zu machen: Fall 1: 3x+2>0 und x-1>0 Folglich: x>-2/3 und x>1 und x>1/3 Fall 2: 3x+2<0 und x-1<0 Folglich: x<-2/3 und x<1 und x>1/3 -------------------------------------------------------- Fall 2: 3x-1<0 (d.h., x <1/3) 8>12x²-4x 0>12x²-4x-8 0>3x²-x-2 0>(3x+2)*(x-1) Hier sind nun wiederrum zwei Fallentscheidungen zu machen: Fall 1: 3x+2>0 und x-1<0 Folglich: x>-2/3 und x<1 und x<1/3 Fall 2: 3x+2<0 und x-1>0 Folglich: x<-2/3 und x>1 und x<1/3 Ich hoffe jetzt ist es soweit korrekt. Wie bestimme ich jetzt allerdings die Lösungsmenge der Ungleichung, dass ist mir noch nicht ganz klar. Danke vorab |
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