Nullstellen in Funktionen

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cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen in Funktionen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein kleines Verständnisproblem bei der Erklärung zur Berechnung von Nullstellen. Der Term heißt x²-3x = 0
Mein Text lautet: "Ein Produkt wird null, wenn mind. ein Faktor den Wert 0 hat. Damit erhalten wir schon die erste Lösung x01 = 0, denn 0*(0-3)=0. Die zweite Lösung muss x02=3 heißen, denn wenn wir den Wert 3 einsetzen, nimmt die Klammer den Wert 0 an und wir erhalen 3*0=0. Wir haben den Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegt, die die Eigenschaft haben, dass einer von ihnen null wird, wenn man die zugehörige Lösung einsetzt."

Hierzu die Frage, die Rechnung an sich ist klar (0*3=0): Warum setze ich ausgerechnet 0 für x ein? Der Text klingt so, als such ich mir das einfachste raus und das ist nunmal 0. Das kann doch aber nicht die Lösung sein. Und warum heißt es "die dazugehörige Lösung"? Woher soll ich denn wissen, welche Lösung dazu gehört?
Hat jemand eine einleuchtendere Erklärung für mich? Ich bitte um Erleuchtung und will nicht weiter im dunkeln tappen.
Danke.
Gruß,
cookiemaus

Meine Ideen:
Hab leider keine.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
der Satz meint, dass wenn du eine Produkt darstellung deines Polynoms hast, leicht die Nullstellen findest. (Man sucht ja dann nur noch eine Nullstelle eines linearen Terms)
in deinem Fall ist diese Darstellung : x*(x-3) = 0
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

aber wenn ich doch 0 für x einsetze, komme ich ja zweimal auf 0 (weil 3*0=0 und 0*3=0)...?
und heißt das nach deiner erklärung, ich setz einfach 0 für x ein und die andere zahl bleibt stehen, sodass ich am ende 0 und -3 als nullstelle ablesen kann?

leider blick ichs noch nicht so recht. der nebel ist noch zu dicht... verwirrt
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Also allgemein gilt für reelle Zahlen

a*b = 0, dann muss entweder a oder b schon gleich Null gewesen sein.

jetzt hast du die Darstellung x*(x-3) = 0

jetzt kannst du x als a und x-3 als b interpretieren.

a=0, also x = 0 oder b=0 bedeutet x-3 = 0 => x=3, damit hast du deine beiden Nullstellen

hoffe das hilft ein wenig
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok. jetzt dämmerts langsam und erschließt sich mir. schon mal danke für deine hilfe.

ich habs jetzt mal an weiteren aufgaben probiert und scheitere grad an was ganz simplen. wenn ich x²+6x+9=0 hab, versuch ich auch die nullstellen rauszuriegen.
ich würde soweit gehen, dass ich x*(x+6)+9 = 0 hab und dann die 9 rüber ziehe. dann hab ich x*(x+6)=-9
danach wollte ich eigentlich durch 6 teilen, aber das erscheint mir nicht logisch. was mache ich falsch?
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

vergiss den zweiten teil meiner frage, google konnte helfen und ich bin auf des problems lösung gestoßen (pq-formel).
danke für deine hilfe.
gruß, cookiemaus
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Lösung von würde ich nicht die --Formel benutzen, sondern eine binomische Formel.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

wärs generell verkehrt hier trotzdem die pq-formel zu nehmen, wenn man aufs richtige ergebnis (-3) kommt? ich hab mich gut mit der formel angefreundet und stehe mit den binomischen bei diesem thema eher auf kriegsfuß...

gruß
cookiemaus
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Verkehrt wäre es nicht, aber ich würde sehr zur Benutzung der binomischen Formel raten.

Wenn die allerdings sowieso nicht allzu oft bei euch vorkommt und du vorhast, dich nach der Schule mit etwas zu beschäftigen, was nichts mit Mathe zu tun hat, kannst du sie aber auch ignorieren... (und ich würde sie trotzdem empfehlen)
(Wenn das tatsächlich schon Hochschulmathematik sein sollte, solltest du sie erst recht benutzen)
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

das zerlegen in die binomischen formeln kann ich nicht so recht und oft erkenne ich die formeln auch einfach nicht. aber ich versuchs mal: x²+6x+9; mit der pq-formel würde ich auf -3 als nullstelle kommen. wenn ichs jetzt versuche zu zerlegen, hoffe ich mit: x(6x+9) richtig zu liegen. wenn ja, schön, aber ich weiß nicht weiter. wenn nein, wars wieder mal verkehrt. was ist dein urteil?

mfg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht richtig, das siehst du schnell beim Ausmultiplizieren.
Die zweite binomische Formel kannst du aber im allgemeinen wiedergeben?

Vielleicht hilft es auch, dir die Herleitung der p-q-Formel anzusehen.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

(a-b)² = a²-2ab+b² meinst du sicher?
nach reifer überlegung: könnte x(3x+3) sein?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Oh tut mir leid, ich meinte die erste, nicht die zweite Ups

Und kannst du auch durch Ausmultiplizieren ausschließen.
Die Formel lautet also . Erkennst du in deinem Term irgendwelche Quadrate?
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab nur den ausgangsterm mit x²+6x+9. irgendwie kann ich mir sowas nicht in eine binomische formel zurück übersetzen. ich erkenn es einfach nicht. was meinst du mit dem Quadrat?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Identifiziere und aus in . Wo treten dort Quadrate auf?
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

a = x² (das ist ja aber schon im Quardat)
2ab sind die 6x
und b² sind die 9 (die aber wiederum nicht im Quadrat sind)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

und stimmen.
Was sind dann und ?

Edit: Gehe von aus.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt muss ich passen. ich hab doch nur noch x² und b ist auch schon quadriert...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst doch wohl noch aus ein positives bestimmen können...
Und damit kannst du dann aus auch noch bestimmen.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

warte, ich glaube jetzt komm ich der vorgehensweise näher: könnte es die wurzel aus 9 sein und damit 3? dann müssten die 2ab als ergebnis 3 sein....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, aber den Rest kann ich nicht nachvollziehen.
Wenn also , was ist dann ?
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

1?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätten wir

also . Die große Preisfrage: Stimmt die Gleichung für alle ?
Vereinfache die Gleichung doch erst einmal.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

mir fehlen eindeutig die synapsen bei dem thema... Hammer
naja, reelle zahlen sinds ja alle...
was meinst du mit vereinfachen? theoretisch hätte ich ja 2*1*3=6*1, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein...
Ich meine, dass du und bestimmen sollst. hast du schon.
Jetzt musst du aus der Gleichung bestimmen.
Danach kannst du in die Form bringen.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde immernoch sagen a ist 1, womit ich auch 2*1*3=6 komme.
ist das falsch?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Die rechte Seite ist nämlich und nicht .
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

aber weiter oben war x doch schon mal als 1 identifiziert. dann wärs doch 6*1?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Weiter oben war ja auch falsch. Immerhin soll die Gleichung für alle reellen Zahlen gelten. Und die sind nunmal nicht alle gleich Eins.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt steh ich aufm schlauch... traurig
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
Du möchtest in die Form bringen.
Dazu weißt du, dass .
Außerdem soll die Gleichung immer gelten, egal, was wir für einsetzen.
Wir wissen außerdem schon, dass ist.
Jetzt haben wir also .
Wie müssen wir jetzt wählen (es muss nicht konstant sein), damit diese Gleichung erfüllt ist?
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

das kann doch dann aber nur 1 sein? mit was anderen bekomme ich doch in der mitte keine 6 raus...
brett vorm kopf... Hammer
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann setze doch mal in die Gleichung ein.

Die Gleichung

soll für alle erfüllt sein.
Und du sollst so bestimmen, dass eben das gilt.
Tut mir leid, aber das solltest du wirklich können!
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

???
wenn ich doch 0²+2*0*3+3² rechne komm ich ja auf 9?? sorry, aber ich versteh die erklärung leider nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann kommst du auf

Aber dann ist nicht Eins, denn es ist ja .

Wir suchen einen Ausdruck für , so dass die Gleichung

immer erfüllt ist, egal was wir für einsetzen.
Wenn wäre, dann würde dort ja stehen, und das ist nunmal beispielsweise für nicht erfüllt.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

hm, okay, verstanden. ich hatte nur schon fast den faden verloren und wusste gar nicht mehr, was es denn nun sein soll. das muss ich jetzt mal noch mit ein paar aufgaben üben und sehen, ob ichs gerafft hab und auch bei anderen anwenden kann.
danke für deine hilfe.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Als Übungsaufgaben würde ich folgende zu den binomischen Formel empfehlen:
1. Forme um.
2. Forme um und bestimme DANN die Nullstellen. (und erkenne, dass man die auch gleich ablesen konnte)
3. Schreibe als Quadrat.
4. Benutze die quadratische Ergänzung, um umzuschreiben.
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