Winkel und Vektoren

18.09.2012, 21:16

rechner

Winkel und Vektoren

Meine Frage:
Hallo!

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht so ganz klar, ich weiß nicht genau, wie ich anfangen soll.

Die Ebene E schneidet die 1.,2. und 3. Achse (die x,y,z Achsen) in A,B, bzw C. Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größen der Winkel des Dreiecks ABC für:

a) $\begin{eqnarray*} 3x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe damit begonnen, die Koordinatengleichung in eine Parametergleichung umzuformen, weil ich dachte, dass man die zwei Spannvektoren auf jedenfall für zwei Seiten benutzen kann. Aber ich habe das Gefühl, als ob das nicht stimmt...

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +x_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ -0,8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich denn jetzt weiter machen? Ich muss irgendwie die Vektoren der Seiten berechnen.
Ich denke mal, dass ich die Schnittpunkte berechnen muss, aber momentan komme ich nicht darauf wie das gehen soll unglücklich

18.09.2012, 21:35

original

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RE: Winkel und Vektoren

Zitat:

Original von rechner
..genau, wie ich anfangen soll.

Die Ebene E schneidet die 1.,2. und 3. Achse (die x,y,z Achsen) in A,B, bzw C.
Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größen der Winkel des Dreiecks ABC für:

a) $\begin{eqnarray*} 3x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30 \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass ich die Schnittpunkte berechnen muss, Freude

aber momentan komme ich nicht darauf wie das gehen soll unglücklich

wenn zB A auf der x-Achse liegt, dann weisst du doch schonmal A( ? / 0/0)
und wie gross ist der x-Wert nun, wenn A ja auch noch in der Ebene herumliegt
(und also deren Gleichung für A erfüllt ist)
usw..

alles klar?

18.09.2012, 21:35

Dopap

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ein wenig zu viel des Guten, Ebenen sind nicht notwendig.

Berechne einfach die drei Achsenabschnittspunkte.
Für A gilt: $\begin{eqnarray*} x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ . Das in die Ebenengleichung einsetzen.

18.09.2012, 21:39

rechner

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Achsoo,
ok ich habs mal berechnet, sind sie so richtig?

S1(10/0/0), S2(0/6/0) und S3(0/0/7,5)

Und jetzt kann ich doch einfach die Vektoren aus den Punkten berechnen, damit die Seitenlängen und daraus dann die Winkel oder?

18.09.2012, 21:43

Dopap

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so würde ich das auch machen !

18.09.2012, 21:45

rechner

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Okey, den Teil hab ich jetzt verstanden smile

Das war ja die Aufgabe a) bei der b) ist diesmal eine Parametergleichung angegeben. Das berechne ich doch dann genauso wie bei a) nur, dass ich sie zuerst in eine Koordinatengleichung umforme, oder?

18.09.2012, 21:57

Dopap

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RE: Winkel und Vektoren
b.) Beispiel: sei E:
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[/quote]

nicht unbedingt, die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ ( für $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ) gilt immer noch.

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aus Zeile 2 und Zeile 3 kannst du r und s bestimmen und in Zeile 1 einsetzen.

18.09.2012, 22:05

rechner

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Das verstehe ich nicht so ganz...

für r bekomme ich -1 und für s=0 raus. X1 ist also 3.

Zitat:

nicht unbedingt, die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ ( für $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ) gilt immer noch.

Tut mir Leid, falls ich jetzt ganz blöd frag, aber was sagt mir das jetzt?

18.09.2012, 22:09

Dopap

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Zitat:

Original von rechner

für r bekomme ich -1 und für s=0 raus. X1 ist also 3.