Extremwertaufgabe Rechteck in einem Dreieck max. Flächeninhalt
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19.09.2012, 08:30 Geisly, Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Rechteck in einem Dreieck max. Flächeninhalt
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
In einen hausgiebel soll eine möglichst große fensterfront! Untersuchen Sie für welche Maße x und y das flächenmaximum erreicht wird. Bestimmen Sie das flächenmaximum und vergleichen sie mit der Gesamtlänge des Giebels!
Die Hypotenuse des Dreiecks ist 9 m und die höhe 4 m

Meine Ideen:

Ich habe jetzt schon A=ab=2x*y
Jetzt Brauch ich doch die geradengleichung?! g(x) =1,125x+c
Und nun komme ich leider nicht wirklich weiter!
Danke schon mal im vorraus für die Hilfe!
19.09.2012, 08:36 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe Rechteck in einem dreieck max. Flächeninhalt
Die Aufgabenstellung ist lückenhaft. Bitte schreibe sie vollständig auf, damit man dir helfen kann.

smile
19.09.2012, 08:42 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

Also es soll eine möglichst große rechteckige fensterfront erstellt werden mit dem maximalen Flächeninhalt in einem rechtwinkligen Dreieck.
19.09.2012, 08:47 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist das alles, was gegeben ist.

Wir legen das Dreieck am besten in ein Koordinatensystem, und zwar so, dass die Höhe auf der y-Achse liegt.
Die Dreieckspitze hat dann die Koordinaten (0|4).

Wir brauchen den Punkt P, der auf der Kathete im ersten Quadranten liegt. Dazu stellen wir die Geradengleichung für diese Kathete auf.

Kannst du mir folgen? Und kannst du diese Geradengleichung aufstellen?
edit: Leider ist die von dir angegebene Gleichung [g(x) =1,125x+c] nicht richtig (weder für den ersten noch für den zweiten Quadranten) und auch nicht vollständig.

smile
19.09.2012, 14:54 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sulo!
Vielen dank für deine Antwort! Das hat mir schon mal Super geholfen! Den Punkt (0/4) hatte ich gar nicht gesehen :-)
Das heißt meine geradengleichung lautet erst mal g(x): -1,125x + 5,125
Oder?
Mein nächster Schritt würde dann so aussehen?
A(x)= x(-1,125x+5,125)
= -1,125x^2 + 5,125x

Und davon dann die Ableitung?
19.09.2012, 17:28 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Geradengleichung stimmt immer noch nicht. Wie lautet denn deine zweite Koordinate?

Hier mal eine Skizze, damit wir nicht aneinander vorbeireden:

[attach]25893[/attach]

smile
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19.09.2012, 21:15 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

hallo!
ich hab jetzt auch mal das original bild mit eingestellt. vielleicht ist das hilfreich?
mein m heißt doch -4,5/5 = -1,125 oder?
19.09.2012, 21:18 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt die 5 her? verwirrt



Aus diesem Grund fragte ich nach dem zweiten Punkt.

smile
19.09.2012, 21:21 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

oh sorry, hatte mich verschrieben. hatte gerechnet -4,5/4 und dann den punkt (0/4) eingesetzt. also 4=-1,125+b l +1,125
b=5,125
der zweite punkt ist (0/0) ?
19.09.2012, 21:27 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, dass die rote Gerade (deren Funktionsgleichung wir bestimmen wollen) durch (0|0) geht. Augenzwinkern

b ist nicht 5,125, denn dann würde die rote Gerade durch diesen Punkt verlaufen.

Genau genommen kennen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, denn wir haben doch die Koordinate (0|4). Augenzwinkern

Wie lautet also der zweite Punkt auf der roten Geraden? Wo wird die x-Achse geschnitten?

smile
19.09.2012, 21:30 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja klar. also ist der zweite punkt (4,5/0)
das ist schon mal gut zu wissen ;-) danke
hoffe ich stell mich hier nicht zu blöd an ;-)
19.09.2012, 21:33 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ist nicht schlimm, wenn du nicht gleich drauf kommst, dafür sind wir ja hier. Augenzwinkern

Und den zweiten Punkt hast du auch richtig identifiziert.

Wie lautet also m?
Und wie die Geradengleichung?

smile
19.09.2012, 21:42 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

toll!!!
also mein m ist dann -4/4,5, also -0,8
und meine geradengleichung lautet dann:
g(x)= -0,8x+4,8
19.09.2012, 21:44 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ähmm, weder, noch.

-4/4,5 ist nicht -0,8.

Die y-Achse wird nicht bei 4,8 geschnitten. Frage: Was besagt dir die Koordinate (0|4)?

smile
19.09.2012, 21:52 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

das gibts doch nicht :-(
der punkt (0/4) sagt mir das die gerade die y achse bei 4 schneidet
also müsste bei meiner geradengleichung auch hinten +4 stehen.
ich hatte jetzt g(x)= -4/4,5x+b
punkt (0/4) eingesetzt
4=-4/4,5*0+b l+4/4,5
g(x)=-4/4,5x+4,8
19.09.2012, 21:58 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geisly
der punkt (0/4) sagt mir das die gerade die y achse bei 4 schneidet

Richtig, und daraus folgt: b = 4 Augenzwinkern

Zitat:
Original von Geisly
also müsste bei meiner geradengleichung auch hinten +4 stehen.

So isses. Freude

Zitat:
Original von Geisly
ich hatte jetzt g(x)= -4/4,5x+b
punkt (0/4) eingesetzt
4=-4/4,5*0+b

Jo, und was ist -4/4,5*0 ? Big Laugh

PS: Für -4/4,5 ist -8/9 der bessere Ausdruck.

smile
19.09.2012, 22:05 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

das ist einleuchtend ;-)
aber -8/9 wäre ja als dezimalzahl -0,8 periode
dann ist die gleichung g(x)=-8/9x+4

und jetzt muss ich A(x)= x(-8/9x+4)
= -8/9x^2+4x
und davon die ableitung für das maximum?!
19.09.2012, 22:07 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Dein A(x) stimmt nicht ganz.

Wie groß ist die horizontale Seite des Fensters? Augenzwinkern
19.09.2012, 22:12 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja laut meiner zeichnung y
19.09.2012, 22:13 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Rechteck in einem Dreieck max. Flächeninhalt
die höhe ist punkt p
19.09.2012, 22:17 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Rechteck in einem Dreieck max. Flächeninhalt
Horizontal heißt waagerecht. Augenzwinkern

Für y hast du die Geradengleichung eingesetzt, das ist auch richtig.
Nur das x gefällt mir nicht so recht...

smile
19.09.2012, 22:22 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß es nicht... 4,5 - y
19.09.2012, 22:24 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bist du durcheinander, dabei ist es auf deiner Zeichnung sogar draufgeschrieben:

Die horizontale Seite des Fensters ist 2x groß.

smile
19.09.2012, 22:27 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja, oh gott, Hammer verzweifel langsam.... tut mir leid. natürlich.
ist dann A(x)= 2x(-8/9x+4)
19.09.2012, 22:28 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, so ist es richtig. Freude

Und jetzt ableiten und x max bestimmen. smile
19.09.2012, 22:30 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

wow, das war ja eine lange geburt ;-)
danke für deine Hilfe!!! richtig klasse!!!! dann rechne ich das mal kurz aus und berichte ;-)
19.09.2012, 22:32 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. smile
19.09.2012, 22:37 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

so, das wären dann x=2,25 uns y=2
und dann hat das nur einen flächeninhalt von 2,25*2 = 4,5cm^2
19.09.2012, 22:39 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geisly
so, das wären dann x=2,25 uns y=2

Richtig. Freude

Zitat:
Original von Geisly
und dann hat das nur einen flächeninhalt von 2,25*2 = 4,5cm^2

Nö, wir hatten doch 2x für die horizontale Seite... Big Laugh
19.09.2012, 22:40 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

ach nein, 2*2,25*2 ist richtig
19.09.2012, 22:41 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab es grad noch rechtzeitig gemerkt ;-) dann sind es 9 cm^2 ;-)
das war gut ;-) danke
19.09.2012, 22:43 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, nun stimmt es. Freude

Und weil die zweite Ableitung einfach -32/9 ist, haben wir auch ein Maximum vorliegen.

smile
19.09.2012, 22:47 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

Super!!! Vielen Dank noch mal für die Hilfe und Geduld!!!! so macht mathe mehr spaß als in der Schule ;-)
Freude Freude Freude

3 seiten für eine Aufgabe ;-) sieht man auch nicht oft ;-)
19.09.2012, 22:48 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, wenn ich helfen konnte. smile

Mir hat es auch Spaß gemacht.

Wink
19.09.2012, 22:50 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

ja??? naja, das freut mich zu hören aber erstaunt mich auch ;-)
müsste ich jetzt rein theoretisch noch die andere Form der Fensterfront im Vergleich ausrechnen? wo das fenster nicht waagerecht sondern senkrecht ist?
19.09.2012, 22:56 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es gibt nur diese eine Lösung.
Dies kannst du auch an der Grafik sehen. Ich habe mal den Graphen der Funktionsgleichung A(x) = 2x(-9/8*x + 4) geplottet:

Es ist ja eine quadratische Funktion und du kannst sehen, dass der Scheitelpunkt bei (2,25|9) liegt.
x = 2,25 ist also der x-Wert des Maximums und die maximale Fläche ist 9 Einheiten groß.

smile
19.09.2012, 22:58 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

super!!! das du dir noch so eine mühe gemacht hast! richtig toll!!!! ich denk an dich wenn ich morgen in mathe punkten werde!!!!!!
danke und vielleicht bis zum nächsten mal !!! ;-)
gute nacht
Wink
Wink
19.09.2012, 22:59 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. smile

Bis denn Wink
19.09.2012, 23:31 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Geisly

In deinem anderen Thread hast du es nicht der Mühe wert gefunden, den Thread noch fortzuführen, geschweige denn sich für die Hilfe zu bedanken. Diese Unhöflichkeit finde ich weniger amüsant.

mY+
20.09.2012, 08:38 Geisly Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos

Ja das stimmt. Das war nicht sehr höflich! Tut mir leid! Bin ja froh das man hier so Super, schnelle, kompetente Hilfe bekommt!
Hoffe wir können das jetzt aus der Welt schaffen!
Schönen Tag noch,

Geisly
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