Keine primitiven reellen Charakter (mod 2^r) mit r>3

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Keine primitiven reellen Charakter (mod 2^r) mit r>3
Hallo,

ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen, der mir zeigt, dass es keine primitiven reellen Dirichletchen Charakter (mod 2^r) mit r>3 gibt. Scheinbar ist jeder Charakter (mod 2^r) von einem Charakter mod 8 induziert. Im Beweis wird gezeigt, dass für einen potentiellen Charakter für alle n mit schon gilt. Damit endet der Beweis. Mir ist nun aber noch nicht klar, wieso man nun schon fertig ist.

Kann mir jemand weiterhelfen? Müsste nicht noch gezeigt werden, dass für alle n,m mit auch gilt?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Keine primitiven reellen Charakter (mod 2^r) mit r>3
hallo mathinitus,
habe im internet geforscht, ein dirichletscher charakter modulo N hat i m m e r die eigenschaft
chi(n)= chi (m) , wenn n kongruent zu m modulo N ist.
gruss ollie3
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Keine primitiven reellen Charakter (mod 2^r) mit r>3
Zitat:
Original von ollie3
hallo mathinitus,
habe im internet geforscht, ein dirichletscher charakter modulo N hat i m m e r die eigenschaft
chi(n)= chi (m) , wenn n kongruent zu m modulo N ist.
gruss ollie3


Das ist klar. Jedoch ist N in unserem Fall ja ein Vielfaches von 8. Und wir wollen zeigen, dass auch hier chi(n)= chi (m), wenn n kongruent zu m modulo 8<N ist.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe das Problem selbst gelöst. Ist eigentlich ganz einfach:

Sei also n=m mod 8 und beides Einheiten in mod 2^r. Dann sind sie natürlich auch Einheiten in mod 8. Für Nichteinheiten hat man ja eh immer 0.
Nun gibt es eine ganze Zahl a (weil m Einheit ist) mit n=am mod 2^r. Also auch n=am mod 8. Also a=1 mod 8.
Also
Fertig.
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