Partialbruchzerlegung - bei Bruch Z/N 3. Potenz

19.09.2012, 18:04

sam2

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Partialbruchzerlegung - bei Bruch Z/N 3. Potenz

Bitte gib hier Deine Frage ein. Welche Lösungsansätze sind Dir selbst dazu eingefallen? Was hast Du schon probiert? Bedenke, dass wir hier Hilfe zur Selbsthilfe leisten und keine Komplettlösungen liefern werden. Viel Erfolg!

Hallo,

die Funktion lautet:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \frac{5x^{3}+5}{x^{3}-13x+12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$

habe versucht nach dem Koeffizientenvergleich vorzugehen:
$\begin{eqnarray*} {x^{3}-13x+12} = 0 \end{eqnarray*}$
Nullstellen (durch testen, Polynomdivision ...):
N1: 3; N2: -4; N3: +1

Habe ich geprüft, sollte daher passen.

Dann sieht meine Funktion so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4} + \frac{C}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {5x^3+5}= {A}{x+4}{x-3} + {B}{x-1}{x-3} + {C}{x-1}{x+4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {5x^3+5}= x^2A+xA-12A+x^2B-4xB+3B+Cx^2+3xC-4C \end{eqnarray*}$

daraus würde sich das Gleichungssystem ergeben:

$\begin{eqnarray*} (x^2) A + B + C = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) A-4B+3C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -12A+3B-4C=5 \end{eqnarray*}$

wenn ich das ausrechne ergibt sich für
C=5/14
B=1/7
A=1/2

Die Gleichungen erhalten ja als Lösungen eig. die werte von p(x), also $\begin{eqnarray*} 5 (x^3) \end{eqnarray*}$ und 5 für $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ , allerdings wird so in dem Gleichungssystem kein $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ auftauchen.

Läuft da nicht etwas schief, wenn ich so vorgehe? Die Ergebnisse sehen mir auch nicht gerade freundlich aus. verwirrt

verwirrt

Gruß,
sam

19.09.2012, 18:18

Dopap

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ich würde zuerst noch eine Polynomdivision durchführen.

19.09.2012, 18:22

sam2

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wie noch eine? Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ berechnen und dann mit dem neuen p(x) gleich setzen?
Ich dachte das macht man nur, wenn man keine Nullstelle durch testen finden kann.

19.09.2012, 21:35

Mork vom Ork

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Das $\begin{eqnarray*} x-4 \end{eqnarray*}$ im Nenner ist falsch.

Zielführend wäre z.B. folgender Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}=\frac{ax+b}{x-3}+\frac{cx+d}{x-1}+\frac{ex+f}{x+4}. \end{eqnarray*}$

Oder (vielleicht etwas einfacher) Du machst wie bereits vorgeschlagen zunächst eine Polynomdivision und rechnest mit dem Ergebnis weiter. Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}=5+\frac{r(x)}{x^3-13x+12} \end{eqnarray*}$

Dabei ist das zu bestimmende $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ ein Polynom ersten Grades.

19.09.2012, 21:50

Dopap

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RE: Partitialbruchzerlegung - bei Bruch Z/N 3. Potenz

Zitat:

Original von sam2
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \frac{5x^{3}+5}{x^{3}-13x+12} \end{eqnarray*}$

ich glaube nicht, dass die Partialbruchzerlegung hier funktioniert, also besser:

mit

$\begin{eqnarray*} \int_a^b 5+\frac {65x-55}{x^3-13x+12} \, \dd x \end{eqnarray*}$ arbeiten

20.09.2012, 09:21

Mork vom Ork

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RE: Partitialbruchzerlegung - bei Bruch Z/N 3. Potenz

Zitat:

Original von Dopap
ich glaube nicht, dass die Partialbruchzerlegung hier funktioniert...

Warum glaubst Du das, die PBZ funktioniert hier doch tadellos?

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20.09.2012, 11:58

sam2

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ok, ich habe erstmal mit dem Ergebnis der Polynomdivision weiter gerechnet.

$\begin{eqnarray*} 65x-55=A(x-3)(x+4)+B(x-1)(x+4)+C(x-1)(x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) A+B+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) A+3B-4C=65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -12A-4B+3C=-55 \end{eqnarray*}$

C=-63
A=188
B=125

Ist das so korrekt?

20.09.2012, 12:22

sam2

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Die andere Variante sieht bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} 5x^3+5=(ax+b)(x-1)(x+4)+(cx+d)(x-3)(x+4)+(ex+f)(x-3)(x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^3+5=(ax+b)(x^2+3x-4)+(cx+d)(x^2+x-12)+(ex+f)(x^2-4x+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^3+5=ax^3+3ax^2-4ax+bx^2+3bx-4b+cx^3+cx^2-12cx+dx^2+dx-12d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +ex^3-4ex^2+3ex+fx^2-4fx+3f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^3) a + c + e = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^2) 3a + b + c + d -4e +f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) -4a+3b-12c+d+3e-4f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -4b-12d+3f \end{eqnarray*}$

Da bekomme ich keine eindeutigen Ergebnisse wie ich das sehe.

Warum ist die Polynomdivision durch (x-4) eig. falsch? So wie ich es am Anfang machen wollte?

edit von sulo: Habe einen Zeilenumbruch zur besseren Lesbarkeit des Threads eingefügt.

20.09.2012, 13:06

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von sam2
Die andere Variante sieht bei mir so aus:
...
$\begin{eqnarray*} (x^3) a + c + e = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^2) 3a + b + c + d -4e +f=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) -4a+3b-12c+d+3e-4f=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -4b-12d+3f=5 \end{eqnarray*}$

Das passt soweit.

Zitat:

Original von sam2
Da bekomme ich keine eindeutigen Ergebnisse wie ich das sehe.

Macht doch nix! Setze z.B. einfach a=2 und c=2.
Aus der ersten Gleichung oben folgt dann e=1.
Du behältst dann drei Gleichungen mit 3 Unbekannten

$\begin{eqnarray*} b+d+f=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b+d-4f=29 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4b-12d+3f=5 \end{eqnarray*}$

und kannst einfach auflösen!

Zitat:

Original von sam2
Warum ist die Polynomdivision durch (x-4) eig. falsch? So wie ich es am Anfang machen wollte?

Weil nicht 4 sondern -4 NST des Nennerpolynoms ist.

20.09.2012, 13:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mork vom Ork
Zielführend wäre z.B. folgender Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}=\frac{ax+b}{x-3}+\frac{cx+d}{x-1}+\frac{ex+f}{x+4}. \end{eqnarray*}$

Auch wenn es klappt, so ist das doch ein total überladener Ansatz mit zwei redundanten Parametern. Ich denke, die von Dopap vorgeschlagene Vorgehensweise "Polynomdivision + danach PBZ für den Rest" stiftet weniger Verwirrung bei einem unerfahrenen Fragesteller wie sam2, als wie du sie hier mit diesem ungewöhnlichen (wenn auch nicht falschen) Ansatz stiftest.

20.09.2012, 13:56

sam2

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Zitat:

Original von Mork vom Ork

Macht doch nix! Setze z.B. einfach a=2 und c=2.
Aus der ersten Gleichung oben folgt dann e=1.
Du behältst dann drei Gleichungen mit 3 Unbekannten

$\begin{eqnarray*} b+d+f=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b+d-4f=29 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4b-12d+3f=5 \end{eqnarray*}$

und kannst einfach auflösen!

Kann ich a und c beliebig wählen?

a=2
c=2

2+2+e=5
e=1

$\begin{eqnarray*} (x^3) a + c + e = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^2) 3a + b + c + d -4e +f=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) -4a+3b-12c+d+3e-4f=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -4b-12d+3f=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) 3*2 + b + 2 + d -4*1 +f=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) -4*2+3b-12*2+d+3*1-4f=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -4b-12d+3f=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) b + d +f=12 |*(-3)| *4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) 3b+d-4f=-32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -4b-12d+3f=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) b + d +f=12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) 0-2d-7f=-68 |*(-4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) 0-8d+7f=53 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) b + d +f=12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) 0-2d-7f=-68 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) 0+0+35f=325 \end{eqnarray*}$

f=325/35

-2d-7*(325/35)=-68
-2d=-3
d=3/2

b=12-3/2-325/35=1,21...

hm...

Zitat:

Original von Mork vom Ork
Weil nicht 4 sondern -4 NST des Nennerpolynoms ist.

ups, das sollte nicht so sein. Habe ich mich vertran.

20.09.2012, 14:28

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von HAL 9000
Auch wenn es klappt, so ist das doch ein total überladener Ansatz mit zwei redundanten Parametern. Ich denke, die von Dopap vorgeschlagene Vorgehensweise "Polynomdivision + danach PBZ für den Rest" stiftet weniger Verwirrung bei einem unerfahrenen Fragesteller wie sam2, als wie du sie hier mit diesem ungewöhnlichen (wenn auch nicht falschen) Ansatz stiftest.

Vielleicht machst Du Dir die Mühe und guckst mal in meinen Beitrag von gestern um 21:35h! unglücklich

unglücklich

20.09.2012, 14:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mork vom Ork
Vielleicht machst Du Dir die Mühe und guckst mal in meinen Beitrag von gestern um 21:35h! unglücklich

unglücklich

Da reagiert aber einer ziemlich patzig. unglücklich

unglücklich

Ich hab ihn gelesen, deinen halbherzigen Verweis auf Dopaps Rechenweg - und dann aber auch nachfolgend noch das:

Zitat:

Original von Mork vom Ork

Zitat:

Original von Dopap
ich glaube nicht, dass die Partialbruchzerlegung hier funktioniert...

Warum glaubst Du das, die PBZ funktioniert hier doch tadellos?

Womit du sam2 völlig unnötigerweise auf deinen schrägen Ansatz geleitet hast. Man sieht ja inzwischen, wie toll er damit zurechtkommt. Die Suppe kannst du jetzt auslöffeln.

20.09.2012, 18:16

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von sam2

C=-63
A=188
B=125

Ist das so korrekt?

Nö, ist es nicht!

Das Einsetzen dieser Werte in eine Deiner Gleichungen hätte Dir diese Antwort auch liefern können.

Ich kann ja mal verraten, dass A=-1 ist.

Damit solltest Du nun aber B und C berechnen können.

20.09.2012, 18:30

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da reagiert aber einer ziemlich patzig. unglücklich

unglücklich

Jaha, wie man's in den Wald hinein ruft... - nicht wahr?!?

Zitat:

Original von HAL 9000
... Verweis auf Dopaps Rechenweg...

Meinst Du den Hinweis, dass PBZ hier nicht geht?

Ob man nun zunächst abspaltet oder nicht - beide Wege führen über PBZ ans Ziel (der eine wie gesagt mit ein bisschen mehr und der andere mit etwas weniger Aufwand).
Aber wenn man (insbesondere sam2) sich mal die Mühe macht vielleicht beide zu beschreiten, dann schadet das sicher nicht.
So sehe ich das jedenfalls.

Übrigens mag ich nicht in oberlehrerhaftem Tonfall angewiesen werden irgendwelche Suppen auszulöffeln.

20.09.2012, 20:01

sam2

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Habe es nochmal gerechnet, von der Polynomdivision an. Jetzt muss es einfach passen.

$\begin{eqnarray*} 65x-55 = A(x^2+x-12)+B(x^2+3x-4)+C(x^2-4x+3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =Ax^2+Ax-12A + Bx^2+3Bx-4B + Cx^2-4Cx+3C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) A+B+C=0 | *(-1) |*12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) A+3B-4C=65 |+ I | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) -12A-4B+3C=-55 |+ I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) A+B+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) 0+2B-5C=65 |*(-4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) 0+8B+15C=-55 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2) A+B+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^1) 0+2B-5C=65 |*(-4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^0) 0+0+35C=-315 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 35C=-315 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C=-315/35=-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2B-5*(-9)=65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A+10-9=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4} + \frac{C}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}= \frac{-1}{x-1} + \frac{10}{x+4} + \frac{-9}{x-3} \end{eqnarray*}$

Zu der 2. Methode, ich vermute ich habe mich irgendwo verrechnet.
Aber vom Prinzip her ist es richtig a und c beliebig zu wählen? und danach aufzulösen? Oder woher kommen die Werte?

20.09.2012, 20:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mork vom Ork
Jaha, wie man's in den Wald hinein ruft... - nicht wahr?!?

Genauso ist es: Wenn ich deinen Tonfall hier so in diversen Threads sehe, dann kann ich dies nur bestätigen: Völlige Ablehnung berechtigter Kritik, stattdessen spitze arrogante Bemerkungen wie "Vielleicht machst Du Dir die Mühe und guckst mal...", als könnte der Kritiker nicht lesen. Finger2

Finger2

Zitat:

Original von sam2
$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12}= \frac{-1}{x-1} + \frac{10}{x+4} + \frac{-9}{x-3} \end{eqnarray*}$

Da hast du leider einiges durcheinandergebracht: Zum einen fehlt der Quotient 5 der Polynomdivision.

Zum anderen hast du die Bedeutung der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} B,C \end{eqnarray*}$ vertauscht, richtig ist am Ende

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3+5}{x^3-13x+12} = 5 + \frac{-1}{x-1} + \frac{10}{x-3} + \frac{-9}{x+4} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten aber völlig in Ordnung und auch der Weg, den du zukünftig bei solchen gebrochen rationalen Integranden gehen solltest. Denn wenn etwa der Zählergrad den Nennergrad sogar um 1 überschreitet, dann kann ein Alternativansatz wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^4+5x^3+5}{x^3-13x+12}=\frac{ax^2+bx+c}{x-3}+\frac{dx^2+ex+f}{x-1}+\frac{gx^2+hx+i}{x+4}. \end{eqnarray*}$

nicht wirklich guten Gewissens empfohlen werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2012, 21:02

sam2

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Verdammt, aber es ist klar was noch falsch war.

Da der Alternativansatz aufwändiger ist, habe ich auch nicht vor diesen zu verwenden. Jedenfalls nicht wenn es sich vermeiden lässt.
Ich dachte nur es ist vielleicht ganz nützlich die Vorgehensweise trotzdem zu kennen. Deswegen meine Frage...

Schon mal vielen Dank euch ALLEN für die Hilfe!

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