Ähnlichkeitssatz

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeitssatz
Hallo zusammen,

Hier erst einmal eine Graphik:

[attach]25900[/attach]

Es handelt sich hierbei um die Annäherung der Kreisflächenberechnung über eine Vieleckfläche , im Verhältnis mit einer Vieleckfläche , in diesem Fall für n = 4. Letztlich kommt dabei heraus, dass oder im Fall der Graphik: ist (Die Bezeichnung der Seite mit f mag hier etwas unglücklich gewählt sein, da ich schon die Vieleckflächen mit f bezeichnet habe). Über das Verhältnis der Innenradien kann also direkt von einer, auf die andere Fläche umgerechnet werden. So weit so gut ...

Meine Frage dreht sich um die Erkennung der Ähnlichkeit des blauen und grünen Dreiecks. Wenn man davon ausgeht, dass es folgende Ähnlichkeitssätze gibt: SSS, WW, SWS und SsW, welcher kommt dann hier infrage?

Also woran genau erkennt man, dass das blaue und das grüne Dreieck ähnlich sind?

Gruß, Asca.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Dreiecke sind rechtwinkelig.
Durch Rechnung (Innenwinkel im Achteck und im Quadrat) findet man, daß Delta genau wie Alpha 22,5° groß ist.
Damit müssen auch die jeweils dritten Winkel übereinstimmen.
Die Dreiecke stimmen in den drei Winkeln überein, sind also ähnlich.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitssatz
Alles, was du brauchst, habe ich aufgeschrieben:
[attach]25901[/attach]
smile
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Das alpha = beta ist und das gamma = 2 * alpha ist, dass ist mir schon klar. Ich verstehe nur einfach nicht, warum delta deshalb = alpha sein soll. Das geht für mich nicht aus der Zeichnung hervor.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du gamma schon kennst, ist die Ermittlung von delta doch ein Klacks.
Begebe dich wieder ins blaue Dreieck.

smile
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kann zwar schon sagen, dass 180 - 90 - gamma - alpha = delta ist, aber damit ist ja noch nicht bewiesen, dass delta auch genau so groß sein muss wie alpha.
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, eigentlich schon, weil du die Größe des Winkels gamma bestimmen kannst.

Schau dir dazu das Dreieck ABC an.

smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nur der ordnung halber:

meines wissens nach sind SSS usw. keine ähnlichkeitssätze, sondern KONGRUENZsätze







.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
nur der ordnung halber:

meines wissens nach sind SSS usw. keine ähnlichkeitssätze, sondern KONGRUENZsätze
.


Du hast damit in gewisser Weise recht. Korrekter Weise ist es allerdings so, dass es einen Kongruenzsatz gibt, der SSS abgekürzt wird und einen Ähnlichkeitssatz der ebenso abgekürzt wird.

Beim Kongruenzsatz SSS interpretiert man so, dass jede Seite gleich lang sein muss, damit eine Kongruenz besteht. Beim Ähnlichkeitssatz SSS interpretiert man so, dass die Verhältnisse der entsprechenden Seiten jeweils zueinander gleich sein müssen; beide werden allerdings SSS abgekürzt. So gesehen ist die Kongruenz eine spezielle Form der Ähnlichkeit.

Ach so, und hier steht zumindest, dass dies alles Ähnlichkeitssätze sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeitss%C3%A4tze
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wieder etwas unnützes dazu gelernt.

da verstehe ich allerdings nicht, dass du bei dieser simplen aufgabe das zeug nicht umsetzen kannst unglücklich
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Also so unnütz find ich das gar nicht. Obwohl ich das bei meiner kommenden Nebenkostenabrechnung nicht brauchen werde, da hast du rechtAugenzwinkern

Ich verstehe einfach nicht, womit bewiesen sein soll, dass delta = alpha ist. Wenn ich delta berechne, also mit: delta = 180° - 90° - alpha - gamma, warum deshalb delta = alpha sein soll ... kapier ich nicht.

Vielleicht starre ich auch schon zu lange drauf .. keine Ahnung. Weißt du vielleicht warum das damit bewiesen sein soll?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du mal die Winkel im Dreieck ABC ausgerechnet?

Du kennst die Winkel an A, das Dreieck ist gleichschenklig, also sollte der Rest klar sein.

smile
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist klar, gamma ist jeweils 2 mal alpha und dann ist da noch der 90° Winkel, also zusammen 180°. Also 2 mal gamma + 90° = 180°.

Welcher Gleichheitssatz kommt denn zum Einsatz für den Beweis von alpha = delta?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir bei der von dir verlinkten Seite bleiben, würde ich folgenden Satz wählen:

Zitat:
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz)


Ist dir der Nachweis mit dem nun bekannten gamma gelungen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth
Zitat:
Original von riwe
nur der ordnung halber:

meines wissens nach sind SSS usw. keine ähnlichkeitssätze, sondern KONGRUENZsätze
.


Du hast damit in gewisser Weise recht. Korrekter Weise ist es allerdings so, dass es einen Kongruenzsatz gibt, der SSS abgekürzt wird und einen Ähnlichkeitssatz der ebenso abgekürzt wird.

Beim Kongruenzsatz SSS interpretiert man so, dass jede Seite gleich lang sein muss, damit eine Kongruenz besteht. Beim Ähnlichkeitssatz SSS interpretiert man so, dass die Verhältnisse der entsprechenden Seiten jeweils zueinander gleich sein müssen; beide werden allerdings SSS abgekürzt. So gesehen ist die Kongruenz eine spezielle Form der Ähnlichkeit.

Ach so, und hier steht zumindest, dass dies alles Ähnlichkeitssätze sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeitss%C3%A4tze



und wenn man genau liest, steht dort

S:S:S und NICHT SSS usw Augenzwinkern
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

SSS ist hier wohl synonym zu S:S:S, als weniger eine mathematische Beschreibung. Sonst müsste beim entsprechenden Kongruenzsatz wohl auch eher S=S=S stehen, anstelle von SSS. Mathematisch gesehen würde SSS ja 3 * S bedeuten, was unter diesen Umständen gar keinen Sinn ergibt.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
Wenn wir bei der von dir verlinkten Seite bleiben, würde ich folgenden Satz wählen:

Zitat:
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz)


Ist dir der Nachweis mit dem nun bekannten gamma gelungen?



Der einzige Winkel den das Dreieck ABC mit einem der anderen Dreiecke gemeinsam hat ist der 90° Winkel. Ansonsten ist gamma = 2 * alpha, bzw. gamma = alpha + beta. Daraus geht für mich nach wie vor nicht hervor, warum alpha = delta sein soll.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe das gestern vor meiner Antwort ganz simpel ausgerechnet:
Beta + Gamma ist ein halber Innenwinkel des Achtecks und Gamma ist ... ... Augenzwinkern
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal die Frage: Wie groß ist gamma?

Du kannst den Winkel berechnen.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welcher Gleichheitssatz kommt denn zum Einsatz für den Beweis von alpha = delta?


Zitat:
delta = 180° - 90° - alpha - gamma

und
Zitat:
gamma ist jeweils 2 mal alpha
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht dann das:

delta = 180° - 90° - alpha - (2 * alpha) ist. Weil gamma = 2 * alpha ist. Das heißt:

delta = 180° - 90° - 3 * alpha .... warum ist delta aber GLEICH alpha? Hier steht schließlich nicht:

delta = alpha, sondern delta = 180° - 90 - 3 * alpha ...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Rechnung ist: Die Winkel an A sind zusammen 90°.

Somit ist gamma (= Basiswinkel) 45°.

Daraus ergibt sich die gesuchte Winkelgleichheit für delta und alpha.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ok. Wenn man es so sieht, dann ist:

delta = 180° - 90° - 3 * alpha = 180° - 90° - 3 * 22,5 = 22,5 also delta = 22,5 = alpha.

Naja vielleicht hätt ich tatsächlich mal Winkelbeträge einsetzen sollen Augenzwinkern

Aber ich glaub dann ist es klar.

smile

Vielen Dank!
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
warum ist delta aber GLEICH alpha? Hier steht schließlich nicht:delta = alpha, sondern delta = 180° - 90 - 3 * alpha ...


jupp: dann ersetze halt noch 180°= 8 alpha und 90°= 4 alpha

Edit: Das alpha gegeben ist, ist nicht mal wirklich erforderlich. Denn das 4 alpha = 90°, ergbt sich schon daraus, dass sowohl die seite f, als auch c winkelhalbierende sind...

Edit2: der erste edit war vllt doch eher blödsinn, weil ich nicht verifiziert habe, ob das dreieck ABC bei A überhaupt einen rechten winkel einschließt unglücklich

Edit 3: tut er aber, auch ohne dass alpha gegeben ist...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth
SSS ist hier wohl synonym zu S:S:S, als weniger eine mathematische Beschreibung. Sonst müsste beim entsprechenden Kongruenzsatz wohl auch eher S=S=S stehen, anstelle von SSS. Mathematisch gesehen würde SSS ja 3 * S bedeuten, was unter diesen Umständen gar keinen Sinn ergibt.


da ist aber ein ganz, ganz rechthaberischer unterwegs, nur umsetzen kann man´s leider gar, gar nicht unglücklich

um es zu präzisieren:
(für mich) sind 2 3ecke ähnlich, wenn sie in 2 bis 3 winkeln übereinstimmen.
ich prüfe also winkel!
und ich sehe/finde sie auch (fast immer)!

dafür bin ich dann definitionsmäßig nicht ganz so proper wie du Big Laugh
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz warum du mich, oder sollte ich das falsch verstanden haben, hier als rechthaberisch bezeichnest. Bist du nicht Derjenige der das Kürzel SSS noch einmal ordentlich nachschlug? ... was ja auch in Ordnung ist.

Ich habe dann lediglich die Sache, da es dich ja offensichtlich interessierte und ich es wie gesagt auch nicht ganz unwichtig finde, noch einmal aus meiner Sicht dargestellt. Mit Rechthaberei hat das rein gar nichts zu tun!

Darüber hinaus, diese versteckte Anspielung, dass ich zwar Definitionen darstellen aber nicht anwenden kann, ist vollkommen unangebracht und übrigens auch für das Verständnis der Sache vollkommen irrelevant. Oder geht es dir etwa grundsätzlich eigentlich nur darum hier dein Wissen gegenüber vermeindlich weniger Wissenden zur Schau zu stellen? Viel Spaß dabei, sollte das so sein!

Ich finde nebenbei gesagt das Verhalten von sulo vorbildlich, der es mit einer Engelsgeduld fertig bringt, sich inhaltsorientiert den Sachen zu zuwenden. Davon kann dann auch nicht nur ich tatsächlich etwas lernen!

Mal im Ernst. Ich finde solche versteckten Anfeindungen von wegen: ich-kann-was-was-du-nicht-kannst-und-ich-wollte-das-schon-immer-mal-zeigen ... für vollkommen überflüssig. Natürlich ist es angenehm wenn man ein Ziel für sich erreicht, aber dieses Ziel kann auch sein, anderen dabei zu Helfen etwas zu verstehen und nicht bloß, dass eigene Wissen zur Schau zu stellen. ... ist vielleicht eher im Sinne der Sache ...

trotzdem, Gruß Asca
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

na schön, ich finde dich bewundernswert

zum rest kann ich bestenfalls schmunzeln oder eher weinen.
weiteres wirst du nicht mehr von mir hören
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