Verschoben! Beweise im Rechteck und Dreieck

Neue Frage »

19.09.2012, 23:53	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise im Rechteck und Dreieck Meine Frage: Hallo! Ich kann nicht beweisen, würde es aber sehr gerne können... Meine Aufgabe lautet: Beweisen sie mithilfe des Skalarproduktes: a) In einem Rechteck sind die Diagonalen gleichlang. b) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Seitenhalbierende der Grundseite und die Grundseite selbst zueinander orthogonal. Meine Ideen: Ich habe damit angefangen, eine Skizze zu zeichnen. Ich habe gegen den Uhrzeigersinn die Ecken mit A bis D beschriftet und die Diagonale von A zu C mit e und die andere Siagonale mit f. Und ich habe auch noch die Richtungen der Vektoren mirgezeichnet. Aber wie muss ich jetzt weiter machen? Irgendiwe muss ich die Orthogonalität ausnutzen, aber wie?
20.09.2012, 00:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du vielleicht an einen vektoriellen Beweis gedacht? Dieser geht sehr schnell ... Einmal zu a) Stelle die beiden Diagonalenvektoren mittels der beiden gegebenen Vektoren a, b dar (diese Vektoren sind entsprechend zu orientieren) und zeige mittels der Orthogonalitätsbedingung, dass dann deren Beträge gleich sind. mY+
20.09.2012, 00:16	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Skizze ist scshonmal gut. Wie lassen sich denn zunächst die Diagonalen mithilfe anderer Vektoren schreiben? Edit: Zu spät...
20.09.2012, 00:28	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man die Seiten auch als Vektoren bezeichnen würde: $\begin{eqnarray} \vec A = \vec 0<br /> \vec B = \vec a<br /> \vec C =\vec a + \vec b<br /> \vec D= \vec b \end{eqnarray}$ dann müste $\begin{eqnarray} \|\vec B -\vec D \| = \| \vec C \| \end{eqnarray}$ sein, wenn $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b = 0 \end{eqnarray}$ gilt.
20.09.2012, 00:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: @Dopap Bitte nicht zu viel vorgeben, erst wollen wir doch einen Ansatz des Threadstellers sehen, er hat doch bereits einige Tipps bekommen! b) Im Dreieck bezeichne den Vektor AB mit a und den Vektor BC mit b. Daraus werden die Vektoren AM, MC und vor allem auch AC berechnet. Die Seitenhalbierende ist der Vektor MC, wobei M der Halbierungspunkt der Strecke AB ist (AM = MB = a/2). Hier zeigst du mittels der Bedingung Betrag(AC) = Betrag(BC), dass nur dann für die Vektoren AB und MC die Orthogonalbedingung erfüllt ist. mY+
20.09.2012, 00:33	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt hab ich die beiden Diagonalen durch linearkombination der anderen Vektoren dargestellt. $\begin{eqnarray} \vec{f} = \vec{a}+\vec{b}<br /> <br /> \vec{e} = \vec{c} +\vec{d} \end{eqnarray}$ Ist der Rest so richtig? $\begin{eqnarray} <br /> \vec{a}\cdot \vec{b}=0<br /> <br /> \vec{c}\cdot \vec{d}=0 \end{eqnarray}$ Bin ich dann fertig?
Anzeige

20.09.2012, 00:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einführung weiterer neuer Vektoren als a und b ist kontraproduktiv. Du solltest eigentlich sehen, dass $\begin{eqnarray} \vec f = \vec a + \vec b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e = \vec b - \vec a \end{eqnarray}$ Deine Rechnung könntest du - mit einigen Ergänzungen - auch fortführen. Du musst c, d mittels der gegebenen a, b ausdrücken ... tja und dann endlich auch die Beträge gleichsetzen.
20.09.2012, 00:43	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich das dann so machen? $\begin{eqnarray} <br /> <br /> <br /> \vec{e}=r\cdot\vec{b} -s\cdot\vec{a} \end{eqnarray}$
20.09.2012, 00:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weshalb führst du jetzt Parameter ein? Das macht man nur, wenn Schnittpunkte im Spiel sind. Ich habe dir doch schon den Vektor $\begin{eqnarray} \vec e \end{eqnarray}$ hingeschrieben. Denke bei der Berechnung daran, dass in einem geschlossenen Vektorzug (alle Vektoren liegen hintereinander) stets die Summe aller Vektoren Null (gleich dem Nullvektor) sein muss. mY+
20.09.2012, 01:00	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
okey, ich habe mir zwei geschlossene Vektorzüge gedacht und sie dann gleichgestellt: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{a}+\vec{b}-\vec{f}=\vec{e}+\vec{a}-b<br /> <br /> \vec{b}-\vec{f}=\vec{e}-\vec{b} \end{eqnarray}$ und wie bekomme ich jetzt das b weg? __________________________________________________ Ich hab eine Idee: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{b}-\vec{f}=\vec{e}-\vec{b} <br /> <br /> \vec{f}=-\vec{e}+2b<br /> \vec{e}=-\vec{f}+2b <br /> <br /> \vec{f}=-(-\vec{f}+2b ) +2b<br /> \vec{f} =\vec{f} \end{eqnarray}$ ist der teil: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{f}=-\vec{e}+2b<br /> \vec{e}=-\vec{f}+2b \end{eqnarray}$ denn nicht schon der Beweis? ____________________________________________________ Oooo ich habe jetzt eine viel bessere ideee man könnte die allerste gleichung mit a multiplizieren, dann hätte man -f=e Das ist doch jetzt wirklich ber beweis oder? Edit (mY+): 3-fach (!) - Post zusammengefügt!
20.09.2012, 01:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist leider beratungsresistent und rechnest nur im Kreis und dies noch dazu falsch. Und bitte vermeide Mehrfachposts, es gibt doch die EDIT-Funktion! e ist niemals -f, denn dann müssten die Vektoren ja in einer Linie liegen. Und ein Beweis ist es nur dann, wenn du Beträge gleichsetzt und daraus die Orthogonalität folgerst (Skalarprodukt = 0). Es steht doch schon alles da, du musst es nur folgerichtig zu Ende führen. Ich verzichte jetzt angesichts der Nachtzeit mal auf die Vektorpfeile, alles sind Vektoren. Und zeitbedingt wird dies für jetzt auch meine letzte Antwort sein, können wir morgen weitermachen? f = a + b e = b - a ------------- DAS war doch schon gesichert, oder nicht? Wenn du das noch nicht durchschaut hast, dann muss das nochmals besprochen werden. Nun setzen wir voraus, dass diese gleich lang sind, also die Beträge gleichsetzen, und dass daraus die Orthogonalität folgt; anstatt der Beträge (--> Wurzel!) setzen wir deren Quadrate gleich, dadurch fallen die Wurzeln weg. Es gilt für einen Vektor v: \|v\|² = v² (das Quadrat des Betrages des Vektors v ist gleich dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst): Beachte auch die Distributivität des Skalarproduktes! \|a + b\|² = \|b - a\|² (a + b)² = (b - a)² .... So. Nun führe dies weiter aus, es folgt sehr bald die Orthogonalität. Diese Rechnung ist - wie man leicht sieht - auch umgekehrt (von rückwärts) durchzuführen. Also folgt auch aus der Behauptung die Voraussetzung. Daher kann der Beweis in beide Richtungen erfolgen und der Satz ist deswegen ein Kriterium (die Behauptung gilt "dann und nur dann" oder "genau dann" ...). Die zweite Aufgabe, das Dreieck, geht ziemlich ähnlich. Auch dazu hast du schon weitgehende Tipps erhalten. Sehen wir uns das morgen noch genauer an! mY+
20.09.2012, 21:34	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Beratungsresistente ist zurück Ok, jetzt hab ich es: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{a} \cdot \vec{b}=0 <br /> <br /> \vec{f}=\vec{a}+ \vec{b}<br /> \vec{e}=\vec{b}- \vec{a}<br /> <br /> \| \vec{f} \|= \sqrt{\| \vec{a}+b \|^{2} } = \sqrt{\vec{a}^{2}+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^{2} } = \sqrt{\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2} } <br /> <br /> \| \vec{e} \|= \sqrt{\| \vec{b}-\vec{a} \|^{2} }= \sqrt{\vec{b}^{2}-2\vec{a}\vec{b}+\vec{a}^{2} }=\sqrt{\vec{b}^{2}+\vec{a}^2 } <br /> <br /> \sqrt{\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2} }=\sqrt{\vec{b}^{2}+\vec{a}^2 } <br /> <br /> \Rightarrow \| \vec{f} \|=\| \vec{e} \| <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Die Aufgabe mit dem Dreieck werde ich mir jetzt genauer ansehen (war zu sehr mit dieser Aufgabe beschäftigt...) und morgen werde ich mich dann nochmal melden
22.09.2012, 13:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön, jetzt hat's geklappt. Bin schon gespannt auf das Dreieck!
22.09.2012, 15:37	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Soo...da bin ich wieder Sorry, für die verspätete Antwort... Ich habe zwar etwas gerechnet und versucht, deine Tipps zu berücksictigen, abe rich glaube nicht, dass es stimmt.... Meine Rechnung: $\begin{eqnarray} <br /> \| \vec{c} \|=\| \vec{b} \|<br /> <br /> \vec{b}=-\frac{\vec{a} }{2}+\vec{h}<br /> \| \vec{b} \|=\sqrt{0,25\vec{a}^{2}-\vec{a}\vec{h}+\vec{h}^{2} }<br /> <br /> \vec{c} =\frac{\vec{a} }{2} +\vec{h}<br /> \| c\|= \sqrt{0,25\vec{a}^{2}+\vec{a}\vec{h}+\vec{h}^{2} }<br /> \end{eqnarray}$ Die zu erfüllende Bedingung: $\begin{eqnarray} <br /> \| \vec{c} \|=\| \vec{b} \|<br /> \end{eqnarray}$ Setzt man das berechnete in die Bedingung ein: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{0,25\vec{a}^{2}-\vec{a}\vec{h}+\vec{h}^{2} }=\sqrt{0,25\vec{a}^{2}+\vec{a}\vec{h}+\vec{h}^{2} }<br /> \end{eqnarray}$ So sieht man, dass die Bedingung nur dann erfüllt werden kann, wenn $\begin{eqnarray} <br /> \vec{a} \cdot \vec{h}=0 <br /> \end{eqnarray}$ ist. Ist das richtig?
22.09.2012, 20:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sehr gut gemacht! mY+
22.09.2012, 21:27	rechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaaaaaaa.....!!! Endlich hab ich es Hat zwar lange gedauert, aber Übung macht den Meister, ich werde noch viele Aufgaben bearbeiten müssen, bis ich das vollkommen drauf hab... Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Beweise im Rechteck und Dreieck

Verwandte Themen