Nullstellen im Polynom

12.07.2004, 15:39

FightingHamster

Nullstellen im Polynom

Moin Moin,

folgendes Problem:
Bestimmen sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms P(T) = $\begin{eqnarray*} T^{6} \end{eqnarray*}$ -1 im Körper F343.

Also ich weiß dass die Charakteristik dieses Körpers 7 ist. (343 = $\begin{eqnarray*} 7^{3} \end{eqnarray*}$ ). Nur was bringt das mir?

Kann mir einer mal nen tip geben und/oder unter welchem Stichwort muß ich für die Lösung nachschauen? Hilfe

Danke

12.07.2004, 15:54

Irrlicht

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Hallo Fightinghamster,

Die Stichwörter sind "Körper" und "Multiplikative Gruppe des Primkörpers F_7".

Lieben Gruss,
Irrlicht

12.07.2004, 16:26

FightingHamster

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hmm...
ich versuche mal zusammenzufassen was ich rausgefunden hab...

Also $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^{*} \end{eqnarray*}$ 7 c F343
--> $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^{*} \end{eqnarray*}$ 7 = {bestimmte Elemente}

und nun muß ich nur noch gucken für welche elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ 7 gilt: $\begin{eqnarray*} Element^{7} \end{eqnarray*}$ = Element ?
Also sprich welche Elemente enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^{*} \end{eqnarray*}$ 7, das ist dann meine Lösungsmenge?!? verwirrt

falls ja, warum? hab des irgendwie nicht wirklich nachvollziehen können... unglücklich

12.07.2004, 16:43

Irrlicht

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Hallo FightingHamster,

F_7 ist ein Unterkörper des F_7^3.
Die multiplikative Gruppe des F_7 hat 7-1 Elemente. Daher gilt
x^6 = ...
für jedes x aus F_7*. Also hat das Polynom mindestens ... Nullstellen in F_7^3.
Da F_7^3 ein .......... ist, hat es auch höchstens ... Nullstellen.

Lieben Gruss,
Irrlicht

15.07.2004, 10:52

FightingHamster

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Zitat:

Original von Irrlicht
Hallo FightingHamster,

F_7 ist ein Unterkörper des F_7^3.
Die multiplikative Gruppe des F_7 hat 7-1 Elemente. Daher gilt
x^6 = ...
für jedes x aus F_7*. Also hat das Polynom mindestens ... Nullstellen in F_7^3.
Da F_7^3 ein .......... ist, hat es auch höchstens ... Nullstellen.

Die multiplikative Gruppe des F_7 hat 7-1 Elemente. Daher gilt
x^6 = e für jedes x aus F_7*. (Anzahl der Elemente $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ordnung F_7)

Also hat das Polynom mindestens 6 Nullstellen in F_7^3. (# der Elemente).
Da F_7^3 ein Körper ist, hat es auch höchstens 6 Nullstellen.

Hoffe des ist mal so richtig... Heißt das dann also, mein Polynom hat 6 Nullstellen und zwar die Elemente von F_7 ?? verwirrt

Sorry, ich glaub ich bin ein bisserl begriffsstuzig :rolleyes:

15.07.2004, 13:28

Irrlicht

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Hallo Hamster,

Dafuer dass du dich fuer "begriffsstutzig" haelst, hast du meine Luecken aber fein geschlossen. smile

Vielleicht ist dir noch nicht ganz klar, warum das Polynom hier (im Koerperfall) hoechstens 6 Nullstellen hat. Das liegt an der Moeglichkeit, das Polynom in seine Linearfaktoren zu zerlegen und an der Nullteilerfreihet des Koerpers.

Lieben Gruss,
Irrlicht

16.07.2004, 11:11

FightingHamster

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mit so einer tollen lehrerin Gott

hmmm inzwischen haben wir in ner übung ne ähnliche aufgabe besprochen... nach diesem weg kommt bei dieser aufgabe auch die anzahl 6 raus.. is aber wesentlich mehr arbeit...

2. Weg:

ord (F_343) = $\begin{eqnarray*} 7^{3} \end{eqnarray*}$ -1 =342

$\begin{eqnarray*} T^{6} \end{eqnarray*}$ ---> Man braucht nun alle Elemente der Ordnung 6 und alle Teiler von 6, also 3,2 und 1. Und dann schaut man eben ob der jeweilige Teiler die Ordnung der Gruppe teilt.

---> $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (6) (teilt 342)
+ $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (3) (teilt 342)
+ $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (2) (teilt 342)
+ $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (1) (teilt 342)
-------------------------------------------------
= 1*2+2+1+1 = 6

nun verstehe ich nicht ganz warum wir das in der übung so gemacht haben, wenn es auch ganz einfach über den Primkörper geht ?!? Sprich die Anzahl der Element in F_7*

16.07.2004, 15:00

SirJective

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Zitat:

Original von FightingHamster
Man braucht nun alle Elemente der Ordnung 6 und alle Teiler von 6, also 3,2 und 1.

Die Nullstellen des Polynoms T^6 - 1 sind ja gerade die Elemente, deren sechste Potenz die 1 ergeben, also alle, deren (multiplikative) Ordnung ein Teiler von 6 ist, also 1, 2, 3 oder 6.
Es stellt sich nun also die Frage, wieviele Elemente der Ordnung 6,3,2,1 es im F_7^3 gibt.

Zitat:

Und dann schaut man eben ob der jeweilige Teiler die Ordnung der Gruppe teilt.
[...]
nun verstehe ich nicht ganz warum wir das in der übung so gemacht haben, [...]

Tja, das verstehe ich auch (noch) nicht. Kannst du uns erklären, warum das funktionieren soll?
Was das mit phi(6), also der Anzahl der zu 6 teilerfremden Zahlen zwischen 1 und 6, zu tun hat, kann ich nicht erkennen.

Gruss,
SirJective

16.07.2004, 16:32

FightingHamster

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laut dieser Formel
$\begin{eqnarray*} \mid \{ x\in \mathbb F_{343}: x^{6 }=1\}\mid \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \mid \{ x\in \mathbb F_{343}: ord x = 6\}\mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + \mid \{ x\in \mathbb F_{343}: ord x = 3\}\mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \mid \{ x\in \mathbb F_{343}: ord x = 2\}\mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +\mid \{ x\in \mathbb F_{343}: ord x = 1\}\mid \end{eqnarray*}$

---> $\begin{eqnarray*} \phi(6) \end{eqnarray*}$ (teilt 342)
+ $\begin{eqnarray*} \phi(3) \end{eqnarray*}$ (teilt 342)
+ $\begin{eqnarray*} \phi(2) \end{eqnarray*}$ (teilt 342)
+ $\begin{eqnarray*} \phi(1) \end{eqnarray*}$ (teilt 342)
-------------------------------------------------
= 1*2+2+1+1 = 6

16.07.2004, 16:58

Irrlicht

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Hallo ihr zwei,

Korrigiert mich, wenn ich mit folgendem Text falsch liege:
EDIT: GANZ FALSCH GELEGEN...

Neuer Versuch:
Die multiplikative Gruppe G eines endlichen Koerpers ist zyklisch.
G besitzt als zyklische Gruppe zu jedem Teiler d von |G| genau eine Untergruppe der Ordnung d. Diese Untergruppen sind wieder zyklisch und isomorph zu Z/dZ. Die Anzahl ihrer erzeugenden Elemente ist \phi(d) und das sind genau die Elemente von G der Ordnung d.

Und so wie ich das jetzt sehe, ist der Test, ob phi(d) die Gruppenordnung teilt doch ein Schmarrn. Es kommt doch allein drauf an, dass d ein Teiler der Gruppenordnung ist.

Lieben Gruss,
Irrlicht

23.07.2004, 11:54

FightingHamster

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Ja sorry hast vollkommen recht....

Es geht auch nur darum dass die Teiler von 6 eben auch Teiler der Gruppenordnung ist.. Nicht dass phi(Teiler) teilt Gruppenordnung.. Hab ich falsch aufgeschrieben... (Aber richtig im Text formuliert Augenzwinkern

)

Danke nochmals :]

23.07.2004, 14:37

Irrlicht

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Hallo Hamsterchen,

Ok, ich dachte mir schon, dass du es so meinst und dass es nur falsch dasteht. smile

Freut mich, wenn ich helfen konnte.

Liebe Gruesse,
Irrlicht

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