Extremstellen / Wendepunkt / Wendetangente Steigung

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patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen / Wendepunkt / Wendetangente Steigung
Hallo,

ich muss diese Funktion auf Extremstellen untersuchen, die Frage im Buch ist: "Wo liegen die Wendepunkte der entsprechenden Graphen und welche Steigung haben die Wendetangenten?"

Mit der Rechnung komme ich soweit zurecht, die hat mein Leher auch gut erklärt. Ich schreibe zunächst auf, wie ich vorgehe:



Ausmultiplizieren:



1., 2., 3. Ableitung(en):







notwendige Bedingung:

Zwischenfrage: Hier löse ich nach x auf. Also ist das doch quasi eine Nullstellenberechnung, oder? Wenn x= 0 ist, wie in der nachfolgenden Rechnung zu sehen, habe ich theoretisch doch noch 2 weitere Nullstellen, also x die ich ausrechnen könnte, oder? Weil die Funktion ja ^3 lautet. Heißt: Höchstens 3 Nullstellen. Die anderen 2 Nullstelen, die für die Aufgabe nicht von Bedeutung sind, könnte ich mit (Polynomdivison evtl) oder der ersten Ableitung (dann nach x auflösen) berechnen, oder? 1,41 und -1,41 würde da rauskommen. Aber: Wenn ich 1,41 und -1,41 in die Funktionen einsetze, ergibt das nicht gleich null, sondern 0,55... irgendwas zum Beispiel. Ist das normal?

Hier die Rechnung dazu:

/ : 1



Danach mache ich mit der hinreichenden Bedingung weiter:

Da die dritte Ableitung gleich 1 ist, ist klar, dass ich einen Wendepunkt habe.
Wie würde es aussehen, wenn die dritte Ableitung 1x+5 z.B. wäre? Was muss ich dann als x einsetzen?


Anschließend setze ich mein eben berechnetes x=0 in die Stammfunktion:



Mein y ist also 1,5, mein x 0. Daraus ergibt sich, dass der Wendepunkt bei WP (0/1,5) liegt, oder?

Ich höre hier erstmal auf und hoffe, dass mir jemand meine Fragen beantworten kann. Ist vielleicht etwas zu viel auf einmal, aber ich hoffe es war verständlich ausgedrückt ^^
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wendepunkt ist richtig berechnet. Freude

Zu deiner Zwischenfrage:

Ja du berechnest hier eine Nullstelle. Jedoch berechnest du diese von f ''(x) und nicht von f(x) .

f ''(x) ist eine lineare Funktion. Diese hat nur eine Nullstelle.

Würdest du von f(x) die Nullstellen bestimmen kannst du bis zu 3 bekommen, da es den Grad 3 hat. Diese hat jedoch nur eine.

Mit der ersten Ableitung gleich Null würdest du die Extrempunkte bestimmen.
Du musst hier klar unterscheiden welche Ableitung was berechnet. Dies sind dann keine Nullstellen mehr von f(x) sondern der Ableitung. Das sind zwei paar Schuhe.

Deshalb erhältst du auch nicht f(x)=0 für

Wenn die zweite Ableitung gleich x+5 wäre, so würdest du den x-Wert des Wendepunktes einsetzen. In deinem Beispiel wäre es die Null. Du setzt einfach immer den Punkt ein den du für den Wendepunkt berechnet hast.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstellen / Wendepunkt / Wendetangente Steigung
Zitat:
Original von patfan1980111


Ausmultiplizieren:



1., 2., 3. Ableitung(en):







notwendige Bedingung:

Soweit alles richtig.

Zitat:
Original von patfan1980111
Die anderen 2 Nullstelen, die für die Aufgabe nicht von Bedeutung sind, könnte ich mit (Polynomdivison evtl) oder der ersten Ableitung (dann nach x auflösen) berechnen, oder? 1,41 und -1,41 würde da rauskommen. Aber: Wenn ich 1,41 und -1,41 in die Funktionen einsetze, ergibt das nicht gleich null, sondern 0,55... irgendwas zum Beispiel. Ist das normal?

Erstmal: Wieso berechnest du die Nullstellen von f(x)? Die sind doch gar nicht gefragt. Gesucht sind die Nullstellen von f"(x), d.h. setze 1x=0.
Dass bei dir, wenn du in f einsetzt nicht 0 herauskommt, liegt daran, dass diese beiden Werte nicht die Nullstellen von f, sondern von f' sind. Das ist nicht das Gleiche! Man kann Glueck haben und das Polynom f hat eine sogenannte doppelte Nullstelle. Das ist dann eine Nullstelle von f und f', das ist aber nur der Fall, wenn f einen Faktor besitzt (also man mit Polynomdivision die Rechnung ohne Rest durchfuehren kann).

Zitat:
Original von patfan1980111
/ : 1



Danach mache ich mit der hinreichenden Bedingung weiter:

Da die dritte Ableitung gleich 1 ist, ist klar, dass ich einen Wendepunkt habe.
Wie würde es aussehen, wenn die dritte Ableitung 1x+5 z.B. wäre? Was muss ich dann als x einsetzen?

Den von dir berechneten Wert: Du setzt x=0 ein.

Zitat:
Original von patfan1980111
Anschließend setze ich mein eben berechnetes x=0 in die Stammfunktion:



Mein y ist also 1,5, mein x 0. Daraus ergibt sich, dass der Wendepunkt bei WP (0/1,5) liegt, oder?


Genau smile

Edit: Wiedermal zu langsam... verwirrt
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Der Wendepunkt ist richtig berechnet. Freude

Zu deiner Zwischenfrage:

Ja du berechnest hier eine Nullstelle. Jedoch berechnest du diese von f ''(x) und nicht von f(x) .

f ''(x) ist eine lineare Funktion. Diese hat nur eine Nullstelle.

Würdest du von f(x) die Nullstellen bestimmen kannst du bis zu 3 bekommen, da es den Grad 3 hat. Diese hat jedoch nur eine.

Mit der ersten Ableitung gleich Null würdest du die Extrempunkte bestimmen.
Du musst hier klar unterscheiden welche Ableitung was berechnet. Dies sind dann keine Nullstellen mehr von f(x) sondern der Ableitung. Das sind zwei paar Schuhe.

Deshalb erhältst du auch nicht f(x)=0 für

Wenn die zweite Ableitung gleich x+5 wäre, so würdest du den x-Wert des Wendepunktes einsetzen. In deinem Beispiel wäre es die Null. Du setzt einfach immer den Punkt ein den du für den Wendepunkt berechnet hast.


Vielen Dank an euch beide!

Also nochmal:

Wenn ich Extrempunkte (Hochpunkt, Tiefpunkt) berechnen möchte, mache ich

f'(x)=0 und anschließend f''(x) gleich nicht null.
Ich berechne also mit f'(x) die Nullstelle(n).

Bei Wendepunkten immer

f''(x)= 0 und anschließend f'''(x) gleich nicht null.
Ich berechne also mit f''(x) die Nullstelle(n).


Wie ist letzteres gemeint? Wenn 1x+5 meine dritte Ableitung wäre und mein x =-5, müsste ich dann so rechnen?



Dann wäre das aber 0 und f'''(x) darf doch nicht null ergeben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
f'(x)=0 und anschließend f''(x) gleich nicht null.


Das ist richtig. Vielleicht solltest du jedoch schreiben:



Zitat:
Wie ist letzteres gemeint?


Du setzt einfach immer den x-Wert von dem Wendepunkt ein, den du zuvor berechnet hast. Dabei kann die 3te Ableitung natürlich auch mal den Wert Null annehmen. Das ist aber eher seltener.

Zitat:
f''(x)= 0 und anschließend f'''(x) gleich nicht null.


Auch richtig.

Anstatt "gleich nicht Null" könntest du schöner schreiben ungleich Null.
smile
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist aber so gesehen richtig, dass ich mit f'(x) bei Hoch/Tiefstellen und f''(x) bei Wendepunkten mit = 0 Nullstellen berechne, oder?

Ich rechne dann so, wie ich am Besten x rausbekomme. So wie wir halt Nullstellenberechnung gelernt haben.

Der x- Wert von meinem Wendepunkt ist in diesem Beispiel ja 0. Ich müsste also in f'''(x) 0 einsetzen? Also f'''(0)= 1

Da kommt dann aber 1 raus, weil da ja eh kein x ist, oder?

Aber dann habe ich immer noch die Frage, was denn wäre, wenn ich als dritte Ableitung 1x+5 hätte. Wenn x dann 0 wäre, also 1* 0 + 5 = käme 5 raus. Und da es eine 5 ist und somit ungleich null ist, habe ich ermittelt, dass es sich hierbei um einen Wendepunkt handelt? Bei Hoch/Tiefstellen hätte ich mit dem Schritt f''(x)= 1x+5 dann ermittelt, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt, oder?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du die Extrempunkte und Wendepunkte berechnest hast du korrekt wiedergegeben. Freude

Da in deiner Aufgabe f'''(x)=1 ist handelt es sich um einen Wendepunkt.

Zitat:
Aber dann habe ich immer noch die Frage, was denn wäre, wenn ich als dritte Ableitung 1x+5 hätte. Wenn x dann 0 wäre, also 1* 0 + 5 = käme 5 raus. Und da es eine 5 ist und somit ungleich null ist, habe ich ermittelt, dass es sich hierbei um einen Wendepunkt handelt?


Genau. Freude

Zitat:
Bei Hoch/Tiefstellen hätte ich mit dem Schritt f''(x)= 1x+5 dann ermittelt, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt, oder?


Du berechnest in f'(x) ganz einfach die Nullstelle und setzt es dann in f''(x) ein. Je nachdem ob es nun größer oder kleiner Null ist handelt es sich um Hoch oder Tiefpunkt. Siehe oben.

P.S. deine Beispiel Ableitungen sind hier schlecht gewählt, da so



und



wäre.
Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Jetzt habe ich den Zusammenhang ein wenig besser verstanden.

Jetzt muss ich aber noch die Funktionsgleichung f(x)= mx + b berechnen.

Dann rechne ich zuerst m aus, in dem ich als y bzw. f(x) die 0 nehme, die ich zuvor als x=0 im Schritt f''(x)=0 berechnet habe.

Ich setzte also 0 in die erste Ableitung ein, da ja die Steigung der Wendetangente gefragt ist.

Also 0= 1/2 * (0)^2 - 1
= -1

m, die Steigung der Wendetangete beträgt also -1. Nun fehlt nur noch b, das ich so ausrechne:

y bzw. f(x)= mx + b

1,5= -1 * 0 + b

nach b auflösen, kommt bei mir 2,5 raus. Ist das richtig?


(Die Werte habe ich ja eben alle berechnet, und nun eingesetzt.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
welche Steigung haben die Wendetangenten


Die Gleichung der Wendetangente ist eigentlich gar nicht gefragt. Augenzwinkern

1,5= -1 * 0 + b

Hier machst du einen Fehler beim auflösen. -1*0=0 du hast jedoch -1 als Ergebnis und kommst so auf die 2,5.
Es bleibt also einfach direkt



stehen.



Was auch direkt ersichtlich ist, wenn du dir den Wendepunkt ansiehst. Da dieser direkt der y-Achsenabschnitt ist.

smile
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie würde man f(x)= mx+b ausrechnen, wenn man eine Hoch/Tiefstellen-Aufgabe hat?

Also beispielsweise so eine hier:

f(x)= 2x^2 - 4x^2

Dann wieder notwendige Bedingung, f'(x)=0, nullstellen berechnen.

Wären hier bei 8x^3 - 8x =0 unter anderem mit p/q-Formel 3 Nullstellen.

1,-1 und 0.

Dann mache ich die hinreichende Bedingung, f''(x) ungleich null. Ich habe Tiefpunkte -1/-2 und 1/-2 sowie einen Hochpunkt bei 0/0.

Wie mache ich daraus f(x)=mx + b?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du deine Aufgabenstellung konkreter Formulieren?
Du springst da irgendwie hin und her.

Wieso stehen dort 2 Funktionen?
Ich denke bei der ersten liegt ein Tippfehler vor.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Funktion ist die erste Ableitung, die ich gleich null setze, um die Nullstellen herauszubekommen.

f(x)= 2x^2 - 4x^2 ist die Stammfunktion
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sollte deine Funktion wohl eher so lauten:





Du hast die erste Ableitung mit der pq-Formel gelöst? Ich denke du hast zu erst ausgeklammert und dann den Satz vom Nullprodukt bedient. Da brauchst du dann keine pq-Formel sondern kannst direkt alles rüberrechnen und sofort die Wurzel ziehen.
smile

Deine x-Werte stimmen. Edit: Die Extrempunkte übrigens auch.

Wir suchen die Tangente an den Extrempunkten. Was lässt sich hier direkt über die Steigung sagen?
Das b zu berechnen ist dann nicht mehr schwer. Berechnen ist hier vielleicht auch zu hoch gestochen.

smile
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Steigung nicht die erste Ableitung, also ?

Oder wie ist das gemeint?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Natürlich ist sie das.

Aber was gilt den gerade für die Steigung im Extrempunkt? Das ist ja das spezielle an ihnen.
smile
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibts das b hier gar nicht? Stehe auf dem Schlauch :/
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein b gibt es immer. Und wenn es Null sein muss.
smile

Die Bedingung für die Extrempunkte ist doch

f'(x)=0

Die erste Ableitung (die die Steigung angibt) ist bereits aus der Bedingung her Null. Wie wird dann wohl die Steigung dort aussehen? Augenzwinkern
Ansonsten kannst du ja einfach mal den x-Wert der Extrempunkte einsetzen und gucken was rauskommt.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das 0?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Und auf welcher höhe muss die Tangente liegen?

Stichwort: y-Wert
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Irgendwie geht das doch nicht.

Als y habe ich -2, -2 und 0 raus.

Wenn m 0 ist, steht da:

-2 = 0?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Wir haben m=0 und b="y-Wert des Extrempunktes"

y=-2

da

y=0*x+b

Extrempunkt einsetzen

-2=0*1+b

b=-2

y=-2

Wäre zum Beispiel die Tangente zu den beiden Tiefpunkten.

Die andere Tangente sollte nicht mehr das Problem sein. Natürlich kannst du das auch rechnersich lösen, aber so ist es meiner Meinung nach schöner und eigentlich auch schneller wenn man direkt drauf kommt.

So sieht das aus.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Ich muss nochmal auf die Wendetangente zurückkommen.

Wie ermittle ich denn f(x)=mx+b wenn ich zwei WP berechnet habe? Also beispielsweise

WP (0,5/1,5) und WP (0/1,0625).

Dann hätte ich theoretisch zwei Funktionsgleichungen.

f(x)= 1x+1,0625

f(x)= 0,75x + 1,125

Stimmt das? Oder muss ich das zu einer Funktionsgleichung zusammenfassen oder wie?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Wendepunkte haben natürlich zwei unterschiedliche Tangentengleichungen.

Wenn du mir die Funktion nicht nennst kann ich deine Ergebnisse nicht prüfen.

Edit:

du solltest lieber schreiben:



anstatt f(x) so heißt denke ich mal schon deine Funktion.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet

f(x)= x^4 - x^3 + 1x + 17/16
Dann 3 Ableitungen, die Bedingungen erfüllen, etc.

f''(x)= 12x^2 - 6x

f'''(x)= 24x - 6

Die beiden Nullstellen x1= 0,5 und x2=0.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tangenten sollten stimmen.

Wenn du schreibst "Nullstellen", dann bitte auch von welcher Ableitung.
Wenn es die der zweiten Ableitung sind, wovon ich ausgehe, dann stimmt das.

smile
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Also hat man dann bei 2 Wendepunkten immer 2 unterschiedliche Funktionsgleichungen?

f(x)= 1x+1,0625

f(x)= 0,75x + 1,125
?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das muss ja so sein. Sonst wären es ja keine zwei Wendepunkte.
Es kann bloß sein, dass sich die Funktionsgleichungen ähnlich sehen.

Oder wie gerade bei der anderen Aufgabe, wo wir eine Konstante als Funktionsgleichung hatten.
Dort hatten zwei Wendepunkte tatsächlich die selbe Funktionsgleichung.



Hatte ich ja oben schon bestätigt. Freude
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash


Oder wie gerade bei der anderen Aufgabe, wo wir eine Konstante als Funktionsgleichung hatten.
Dort hatten zwei Wendepunkte tatsächlich die selbe Funktionsgleichung.

Hä? Das war doch nur ein Wendepunkt, den ich hatte WP (0/1,5). Die Funktionsgleichung lautete dann f(x)= -1x+1,5

Aufgabenstellung war 1/6x^3 - 1x + 3/2
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups. Ich meine natürlich Extrempunkte. Sry.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
Wink
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