Newtonverfahren mit 3 Variablen

20.09.2012, 17:13

toffi

Newtonverfahren mit 3 Variablen

Hi, ich brüchte einen Verbesserungsvorschlag für folgende, wohl flasch gelöste, Aufgabe:

Das Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -e^z cos(y)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^z sin(y)=3 \end{eqnarray*}$

soll mittels Newton- Verfahren gelöst werden. Bestimmen Sie dazu explizit die Iterationsvorschrift in der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x^{j+1} \\ y^{j+1} \\ z^{j+1} \end{pmatrix} = \phi (x^{(j)}, y^{(j)}, z^{(j)}) , j=0,1,2,... \end{eqnarray*}$
und berechnen Sie ausgehend vom Startwert $\begin{eqnarray*} (x^{(0)}, y^{(0)}, z^{(0)})^T = (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ die erste Iterierte.

Lösung:
$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z) = \begin{pmatrix} x-1 \\ -e^z cos(y) - 2 \\ e^z sin(y) -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jacobimatrix:
$\begin{eqnarray*} J(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^z sin(y) & -e^z cos(y) \\ 0 & e^z cos(y) & e^z sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Inverse der Jacobimatrix:
$\begin{eqnarray*} J^{-1}(x,y,z) =\frac{1}{e^{2z}} \begin{pmatrix} e^{2z} & 0 & 0 \\ 0 & e^z sin(y) & -e^z cos(y) \\ 0 & e^z cos(y) & e^z sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann setzt man das in die Inverse Jacobimatrix ein und löst das Newtonverfahren ich bekomm dann für die erste Iterierte:
$\begin{eqnarray*} x^1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis sieht zwar gut aus, aber ist ewig weit weg von einer Lösung des Gleichungsstems, allein schon für die zweite Gleichung ergibt sich nicht 2, sondern -7,...

Ist meine Grundüberlegung überhaupt richtig?
Seht ihr ein Rechenfehler?

22.09.2012, 12:38

riwe

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RE: Newtonverfahren mit 3 Variablen
möglicherweise ist newton hier nicht geeignet verwirrt

22.09.2012, 21:04

Dopap

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versuch mal (0,1,1) als Startvektor. Das funktioniert bei mir.

22.09.2012, 23:42

Mystic

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Interessanter scheint mir die Frage zu sein, ob du eine 2x2-Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a &b\\c &d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig invertieren kannst... verwirrt

Die Regel dafür lautet nämlich

1. Hauptdiagonalelemente vertauschen
2. Vorzeichen der Nebendiagonalelemente ändern
3. Durch Determinante dividieren

@Dopap

Es ist Teil der Aufgabenstellung, dass man mit dem Nullvektor startet... Lehrer

23.09.2012, 17:08

toffi

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Also eigentlich gehts ja um das invertieren einer 3x3-matrix, was ja doch etwas komplizierter ist...

Die Frage ist, ob man bei der Aufgabenstellung überhaupt so vorgehen darf wie ich gemacht habe...

23.09.2012, 17:54

Mystic

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Zitat:

Original von toffi
Also eigentlich gehts ja um das invertieren einer 3x3-matrix, was ja doch etwas komplizierter ist...

Du denkst also, ich könnte nicht bis 3 zählen... na supaa! böse

Hast du eigentlich schon bemerkt, dass deine 3x3-Matrix die Form einer Diagonalmatrix diag(A,B) hat, wobei A eine 1x1-Matrix und B eine 2x2-Matrix ist,denn die Inverse deiner 3x3-Matrix ist natürlich diag( $\begin{eqnarray*} A^{-1},B^{-1} \end{eqnarray*}$ )...... Und ja, die Matrix B hab ich gemeint, denn die hast du falsch invertiert... geschockt