Totales Differential

21.09.2012, 16:52

Kübel

Totales Differential

Meine Frage:
Hallo,

Bei uns geht es gerade um das totale Differential.
Die Aufgabe: dy/dx an der Stelle x=0 und y=2 bestimmen für die Funktion y=2e^x

Wenn ich jetzt die linke Seite der Gleichung ableite ergibt das: 0*dx + 1*dy = dy
Auf der rechten Seite ergibt sich: 2e^x*dx + 0*dy =2e^x*dx woraus folgt: dy=2e^x*dx Umgeformt und eingsetzt ergibt dies: dy/dx= 2

Das so anzuwenden ist ja erstmal nicht so schwierig. Aber nun meine Frage: Wofür steht eigentlich das "dx" bzw. "dy" das beim partiellen Ableiten angehängt wird? Was für eine Bedeutung hat das?
Sonst beim partiellen Ableiten haben wir das einfach immer weggelassen.

Besten Dank

Meine Ideen:
Ich hab bereits gegoogelt und oft war davon die rede, dx und dy würden die Änderung angeben. Aber die Steigung wird ja durch die Ableitung an sich ja schon gegeben. Daher was für eine Änderung?

21.09.2012, 19:07

Dopap

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RE: Totales Differential

Zitat:

Original von Kübel
.... woraus folgt: dy=2e^x*dx ....

das ist schon das totale Differenzial!

man liest das dann so: eine infinitesimale Änderung von x an der Stelle x=0 bewirkt dann die infinitesimale Änderung von y.

Beispiel: ein PKW beschleunigt wiefolgt $\begin{eqnarray*} s(t)=1.5 t^2 \end{eqnarray*}$

Welche Ortsveränderung hat er zum Zeitpunkt t=4 ?

$\begin{eqnarray*} ds=... dt \end{eqnarray*}$ ausrechnen!

nimmt man jetzt $\begin{eqnarray*} \Delta t = 0.01 \end{eqnarray*}$ an, dann ist $\begin{eqnarray*} \Delta s \approx ... \cdot 0.01 \end{eqnarray*}$

man ersetzt den Funktionsanstieg durch ein kleines Stück Tangente, was im Beispiel sicher ausreichend genau ist.

22.09.2012, 00:17

Kübel

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Danke für deine Antwort.

Ich bin mir aber nich ganz sicher ob ich das richtig verstanden habe.

Wenn ich jetzt etwas in dieser Form habe:

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

Kann ich das dann folgendermassen interpretieren?: Wenn sich x und y um einen den Betrag "a" verändern, dann verändert sich f um den Betrag "b". Wobei man um die Veränderung von f zu finden, die Veränderung von x und y dann jeweils noch mit der partiellen Ableitung multiplizieren muss.

Gruss

22.09.2012, 01:52

Dopap

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du behandelst jetzt das totale Differential einer Funktion zweier Variablen!
Aber egal.

Die von dir vorgestellte Differentialform ist natürlich richtig.

Nochmal ein Beispiel: die Fläche eines Rechteckes sei f(x,y)= xy

Untersucht man nun die Schwankung der Fläche für X=6, y=9 in einem kleinen Bereich,

dann wird aus $\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

lediglich $\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f(6,9)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(6,9)}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd y \end{eqnarray*}$ die Schwankungen der Seiten sind.
Der Sinn des Ganzen:

Wenn man in der Zeit ohne Digitalrechner eine Funktion in mehreren Variablen hatte, die man aber öfters nur in der "Gegend" eines Punktes auszuwerten hatte, dann hat man das totale Differential an dieser Stelle (Punkt) einmal bestimmt, um dann alle weiteren kleineren Abweichungen numerisch(*) einfacher handhaben zu können.

(*) Es gab mal eine Zeit ohne (billige) Digitalrechner.

Hilft das im Verständnis weiter?

23.09.2012, 13:13

Kübel

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Was verstehst du genau unter Schwankung? So etwas wie 6.1 für x in deinem Beispiel?
Und was würde man denn nun konkret einsetzen für dx bzw. dy?
Wenn ich in deinem Beispiel für dx 0.1 einsetze, kommt es mir etwas komisch vor, dann einfach die Ableitung nach x mit 0.1 zu multiplizieren.

sorry hab da etwas Mühe....

23.09.2012, 20:39

Kübel

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Kurzer Nachtrag um mein Problem evtl. etwas besser darzustellen:

In dieser Form:

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

Was macht das dx noch dort? Es steht ja bereits ein $\begin{eqnarray*} {\partial x} \end{eqnarray*}$ unter dem Bruchstrich. Warum dann also noch $\begin{eqnarray*} {\partial f} \end{eqnarray*}$ mit dx multiplizieren?
So wie ich dich verstanden habe, ist das eben dazu da diese Schwankungen zu berechnen, oder?

Aber eben wie genau macht man dass dann? Vgl. Frage oben...

23.09.2012, 21:21

Dopap

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Zitat:

Original von Kübel

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

Kann ich das dann folgendermassen interpretieren?: Wenn sich x und y um einen den Betrag "a" verändern, dann verändert sich f um den Betrag "b". Wobei man um die Veränderung von f zu finden, die Veränderung von x und y dann jeweils noch mit der partiellen Ableitung multiplizieren [ und addieren ] muss.

Gruss

das könnte man so stehen lassen. Hauptsache verstanden.

Ich würde schreiben: Verändert man das Argument von f von $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \end{eqnarray*}$ dann ist die Änderung des Funktionswertes ungefähr

$\begin{eqnarray*} \Delta f =\frac{\partial f(x_0,y_0) }{\partial x}\Delta x +\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} \Delta y \end{eqnarray*}$

man ersetzt die Fläche durch die Tangentialebene. Das wäre auch das 1. Taylorpolynom der Funktion.

23.09.2012, 22:44

Kübel

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Ah okay, jetzts hats geklappt^^

Besten Danke für deine Hilfe!

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