Ableitung

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22.09.2012, 13:30	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Meine Frage: Hallo, ich habe mehre Aufgaben bei denen ich nicht weiterkomme, also deren Lösung ich leider nicht verstehe, ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen :-) Die Aufgabe ist: y= f(x)=x² * lnx² - 2x Die Lösung muss 2x * lnx² + 2x -2 sein Meine Ideen: Meiner Meinung nach muss man hier weder die Kettenregel, Produktregel oder Quatientenregel nehmen. Wenn ich x² ableite bekomme ich 2x heraus, wenn ich lnx² ableite kriege ich 2/x raus (ist das richtig) und aus -2x wir -2. Nun weiße ich nicht, was ich weiter machen muss. Ich hoffe Ihr könnt mir den Lösungsweg erklären :-)
22.09.2012, 13:41	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du schreibst: "Meiner Meinung nach muss man hier weder die Kettenregel, Produktregel oder Quatientenregel nehmen." Ich würde hier sowohl die Produktregel als auch die Kettenregel anwenden. Mit freundlichen Grüßen.
22.09.2012, 13:46	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Woran kann man das erkennen?
22.09.2012, 13:48	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
warscheinlich weil da ein * -Zeichen ist muss die Produktregel angewendet werden, aber warum denn die Kettenregel?
22.09.2012, 14:01	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kettenregel, würde ich für $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ verwenden. Also erst die äußere Funktion ableiten und das Ergebnis dann multiplizieren mit der Ableitung von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ .
22.09.2012, 14:11	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
SIe müssen mir auf die Sprünge helfen :-) DIe kettenregel ist: u`(v(x))*v`(x) wenn ich lnx² ableite was ist dann mein u` bzw v`? Und warum nehmen Sie bei lnx² die Kettenregel?
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22.09.2012, 14:12	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
ist v` 2x? und u´?
22.09.2012, 14:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. $\begin{eqnarray} v'(x)=2x \end{eqnarray}$ und u(v(x)) ist $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ . Ich substituiere mal $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ mit der Variable y. Ändert aber nichts an den Ableitungsregeln. Was ist denn die Ableitung von ln(y) ?
22.09.2012, 14:28	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie meinen ln(y²) oder? das wäre dann 2y... aber was ist den mein u`???
22.09.2012, 14:35	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ruhig "du" zu mir sagen. Ich meinte schon was ich geschrieben hatte: $\begin{eqnarray} ln(y) \end{eqnarray}$ . Was ist davon die Ableitung? Das $\begin{eqnarray} u' \end{eqnarray}$ ermitteln wir gerade. Ein bisschen Geduld.
22.09.2012, 14:39	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm nicht einfach.... aber muss 1/y sein oder?
22.09.2012, 14:54	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Jetzt machen wir eine Rücksubstitution: $\begin{eqnarray} \frac{1}{y}=\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} u'(v(x))=\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ v´(x) hast du schon. Damit kannst du schon mal $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ ableiten. Das brauchst du dann, um wiederum die Produktregel bei der Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x)= \textcolor{red}{ x^2 ln(x^2)} -2x \end{eqnarray*}$ anwenden zu können.
22.09.2012, 15:09	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
also habe ich jetzt folgende Sachen: u`= 1/x² v`=2x die PR ist: u`v +uv` =1/x2x² +ln(x²)2x aber das passt irgendwie nicht... :-(
22.09.2012, 15:46	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass erstmal die Produktregel beiseite. Du musst erst die Ableitung von $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ berechnen. Wir sind immer noch bei der Kettenregel. Wenn du das berechnet hast, ist das der Ausdruck für u oder v in der Produktregel.
22.09.2012, 15:49	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
das wären dann = 1/x² * 2x.......
22.09.2012, 15:59	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
genau. Da kann man noch kürzen.
22.09.2012, 16:07	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab das mal so gemacht: 1/x² *2x/1= 2x/x² = 2/x.... so richtig?
22.09.2012, 16:13	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolut richtig. jetzt die Produktregel anwenden.
22.09.2012, 16:16	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
das ergeniss 2/x, was ist das jetzt genau u oder v oder etwas anderes?
22.09.2012, 16:24	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
2/x ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ . Sie ergab sich, weil wir die Kettenregel angewendet haben. Jetzt willst du ja diese Funktion ableiten: $\begin{eqnarray} x^2 ln(x^2) + 2x -2 \end{eqnarray}$ Wenn wir uns auf das Produkt konzentrieren (das andere ist ja trivial), dann musst du hier die Produktregel anwenden. Wenn $\begin{eqnarray} x^2 \cdot ln(x^2) = u \cdot v \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} v'=2/x \end{eqnarray}$ Du musst halt noch $\begin{eqnarray} u' \end{eqnarray*}$ bestimmen. Zumindest das ist leicht.
22.09.2012, 16:29	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry dass ich so viele fragen habe, aber mathe ist überhaupt nicht meine stärke, deshalb muss ich mich noch intensiver damit beschäftigen.... du hast jetzt hingeschrieben 2x*ln(x²)+2x-2 , aber meine ausgangsfunktion ist doch ohne die +2x.... wieso hast du die +2x jetzt mit in die Funktion getan?
22.09.2012, 16:32	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
u` wäre dann 2x .....
22.09.2012, 16:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Ich habe irgendwie die Lösung kopiert. Deine Ausgangsfunktion ist: $\begin{eqnarray} x^2 ln(x²) - 2x \end{eqnarray}$ Ich hoffe es stimmt jetzt. $\begin{eqnarray} u' \end{eqnarray*}$ ist in der Tat 2x.
22.09.2012, 16:48	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
dann heißt es jetzt ja: 2xln(x²)+x²2x wenn ich nach der produktregel gehe, aber dann kann doch wieder was nicht stimmen oder...
22.09.2012, 16:50	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ falsch aufgeschrieben.
22.09.2012, 20:00	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
oh sorry, dann heißt es 2xln(x²)+x²2/x.... ist die Aufgabe nun fertig?
22.09.2012, 20:08	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip schon. Du könntest noch hier kürzen: $\begin{eqnarray} x^2\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$
22.09.2012, 20:57	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen, vielen dank, ich habe es jetzt verstanden :-)... habe noch viele Aufgaben, mit denen ich mit beschäftigen muss, vllt kannst du mir ja da auch helfen , nochmals danke!
22.09.2012, 21:06	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Du hast dir aber auch gleich eine Aufgabe ausgesucht, bei der man Produkt- und Kettenregel gleichzeitig anwenden muss. War jetzt nicht die einfachste Aufgabe. Hast es aber dann doch ganz gut hinbekommen. Mit freundlichen Grüßen.
22.09.2012, 21:15	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du das genau gesehen, dass man hier Produktregel und kettenregel anwenden muss? Ich fasse nochmal zusammen: erstmal die kettenregel und dann mit dem Ergebniss die Produktregel, oder wie kann man das am besten erklären?
22.09.2012, 21:35	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung Das war die Funktion: $\begin{eqnarray} y= f(x)=x^2 ln(x^2) - 2x \end{eqnarray}$ Jetzt nur mal der erste Teil: $\begin{eqnarray} y= f(x)=x^2 * ln(x^2) \ldots \end{eqnarray}$ Hier haben wir zwei Ausdrücke die multiplikativ verbunden sind. Also Produktregel. Jetzt ist es aber so, dass die ln-Funktion noch die Funktion $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ beinhaltet. Da man für die Produktregel auf jeden Fall die Ableitung von $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ braucht, leitet man diesen Ausdruck ab, indem man die Kettenregel anwendet. Hat man die Kettenregel angewendet, hat man das $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ für die Produktregel ermittelt, wenn man v für $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ nimmt. Da u wäre in dem Fall $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u' \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray*}$ Insofern war deine Aussage richtig. Erst die Kettenregel, damit man dann die Produktregel anwenden kann.
22.09.2012, 21:47	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung Diese -2 stört mich, weil ich die in meiner Lösung nicht habe, oder?
22.09.2012, 21:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten uns ja vor allem auf $\begin{eqnarray} y= f(x)=x^2 ln(x^2) \end{eqnarray*}$ konzentriert, da das der schwierige Teil der Funktion ist. die -2x hatten wir nicht so im Blick. Wenn du -2x ableitest, was kommt raus?
22.09.2012, 21:57	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
-2 natürlich :-)
22.09.2012, 22:00	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich.
22.09.2012, 22:02	VTT1989	Auf diesen Beitrag antworten »
viele, vielen dank!!!!!!!!!!!!
22.09.2012, 22:04	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass jetzt wirklich alles klar ist.

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