Polynomdivision - Nullstellenberechnung

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cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision - Nullstellenberechnung
Meine Frage:
Hallo,
ich sitze an der Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen und kann mir eine Sache nicht wirklich erklären. Der Term heißt y=x³-8x²+19x-12 und hat die Nullstelle x01=1.
Die Erklärung in meinem Heft heißt wie folgt: "Zu der vorgegebenen Nullstelle gehört der Linearfaktor (x-1), der in dem Funktionsterm enthalten ist. Dieser muss also durch den Linearfaktor teilbar sein."

Ich bin mit meinen Recherchen soweit gekommen, als dass der Linearfaktor durch das absolute Glied teilbar sein muss. Somit kommen 1,2,3,6 und 12 sowie deren Negative in Frage. Muss ich denn alle durchprobieren bis ich alle mal in den Term eingesetzt hab und am Ende auf das Ergebnis Null komme?? Muss ich immer auf Null kommen? Was wäre wenn ich eine sehr hohe Zahl als absolutes Glied habe, ich kann ja nicht x Versuche durchführen um mit einer Raterei das richtige zu finden. Warum nimmt man hier ausgerechnet -1?

Meine Ideen:
raten kann sicher nicht des Rätsels Lösung sein. Mathe hat ja was mit Logik zu tun...

MfG
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
Doch, an dieser Stelle muss man wirklich raten. Und du hast schon Recht, wenn das Absolutglied sehr groß wird und womöglich sehr viele echte Teiler hat, kann das Raten ziemlich nervig und zeitintensiv werden. Aber da kann man dann nix machen.

Aber anfangen würde ich immer mit den betragsmäßig kleinsten Teilern, also erstmal -1 und 1, und dann eben aufwärts. Schulaufgaben sind ja meistens wohl so konstruiert, dass man da schnell einen passenden Teiler findet. Und die kleineren Zahlen sind ja viel einfacher einzusetzen, da rechnet man nicht viel. Wenn du 1 in deine Funktion einsetzt, rechnet sich das ganz leicht nach, ob da 0 raus kommt. Wenn du 12 einsetzt, sieht das schon anders aus, da kriegst du ja viel größere Zahlen. Deswegen erstmal mit den betragsmäßig kleineren Teilern anfangen.

Die Nullstelle x=1 ist auch geraten worden. Oder sagen wir mal so: Wenn du die Aufgabe so bekommen hättest, hättest du die Nullstelle x=1 raten müssen, um dann mit Polynomdivision weiter machen zu können. Aber du hättest natürlich auch eine andere Nullstelle raten können. Es zwingt dich niemand, ausgerechnet x=1 zu wählen. Hauptsache, du findest erstmal irgendeine, um einen Startschuss zu haben für die Polynomdivision.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Polynomdivision ist raten allerdings des Rätsels Lösung.
Die Raterei verringert man aber, wie du ja schon sagtest, damit, dass man nur die Zahlen prüft, die durch das absolut Glied teilbar sind.
Man prüft solange, bis man eine Zahl hat wo man durch das einsetzen das Ergebnis Null erhält.
Meistens prüft man die Zahl 1 eben zu erst. Hier stellt man direkt fest, dass diese zum Ergebnis Null führt. Deshalb kann man sich weiters "raten" an der Stelle sparen. Du hättest auch mit 3 oder 4 anfangen können (dies sind auch Nullstellen der Funktion und führen somit zum Ergebnis Null)

Du nimmst die -1, weil du ja durch ein "Nullstelle" teilen möchtest.

Für x=1 ist die Funktion Null. Das heißt man muss mit (x-1) dividieren.

Es gibt auch Näherungsverfahren, wie das von Newton mit dem man sich das Raten sparen kann, jedoch wird dies meistens angewandt, wenn es keine ganzzahlige Lösung gibt. Des Weiteren würde auch die Cardanische-Formel funktionieren. Die ist jedoch äußerst ekelig und ich würde immer raten, oder Newton vorziehen.

Edit: Bin weg. Wink
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

okay, soweit verstanden wie ich auf den Teiler komme bzw. welchen ich nehme. ich hab allerdings noch nicht ganz verstanden mit dem Minus-Zeichen davor. Also die 1 ist der richtige teiler, mit dem ich nach dem einsetzen in den term auf null komme. deshalb hätte ich spontan gesagt x+1. Warum denn ausgerechnet x-1. könnt ihr mir das bitte noch genauer erklären?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... möchtest du jetzt einen Beweis dafür sehen, warum das so ist? Den kann ich dir natürlich zeigen (geht allgemein über Division mit Rest, man kann dann zeigen, dass der Rest 0 sein muss), aber ich glaube, den brauchst du gar nicht.

Letztlich geht es doch darum, diese Nullstelle "abzuspalten". Wenn x=1 eine Nullstelle ist, dann spaltet man natürlich den Linearfaktor (x-1) ab, weil (x-1) eben null wird, wenn x=1 ist.

Die Nullstelle x=1 kann ja irgendwie mit dem Linearfaktor (x+1) nix zu tun haben, denn wenn du bei (x+1) jetzt x=1 einsetzt, erhälst du (1+1)=2. Auch eine schöne Zahl, aber eigentlich ja eine völlig uninteressante für uns, oder? Augenzwinkern
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm der sache langsam näher. hab mir das mit dem linearfaktor jetzt mal genauer angesehen (das wort wurde hier zum ersten mal erwähnt, aber nicht weiter erläutert) und habs glaub ich verstanden. noch ein wenig üben und probieren ob ich wirklich richtig liege. ist schon blöd, wenn man ein studienheft hat, bei dem nur jeder zweite schritt erklärt wird und man sich das meiste denken muss. böse
ich danke dir schon mal für deine hilfe.

eine daraus resultierende frage habe ich noch: bei einer aufgabe x³-12x²+48x-64 habe ich ja ziemlich viele möglichkeiten, was den teiler anbelangt. ich bin auf 4 gekommen, denn die ergibt nach einsetzen null. dann habe ich per polynomdivision weiter gerechnet und komme weiter unten auf ziemlich hohe werte die mich zweifeln ließen, ob ich richtig lag. in der lösung nachgesehen heißt es, dass alle nullstellen 4 sind. da lag ich mit einer ja gar nicht schlecht. aber woran erkenne ich, dass die anderen beiden das gleiche ergebnis haben. es kann ja nicht sein, alles durchzurechnen, utopisch hohe werte zu bekommen und dann zu grübeln, obs nicht dreimal die selbe zahl als nullstelle ist. gibts hier einen anhaltspunkt? bei bedarf kann ich meinen lösungsweg noch posten.
danke.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also wenn du eine Nullstelle x=4 geraten hast, erhälst du nach der Polynomdivision ja "nur noch" eine quadratische Funktion, und da kannst du dann ja direkt mit der pq-Formel weiter machen. Das ist dann ja nicht mehr viel Arbeit.

Dass x=4 hier die einzige Nullstelle (bzw. eine dreifache Nullstelle) ist, ist so auf Anhieb wohl nicht ersichtlich, es sei denn, man hat ein sehr geübtes Auge. Aber ich sehe da jetzt kein allzu großes Problem. Man braucht vielleicht einige Versuche, um auf x=4 als Nullstelle zu kommen, aber wenn man die hat, ist die restliche Rechnung eigentlich nicht mehr sehr lang.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

ah, jetzt hab ichs. das entscheidende problem war, dass der liebe herr autor meines studienheftes das wort "linarfaktor" a) nur beiläufig erwähnt hat, und b) das mit dem Vorzeichen auch nicht erläutert hat. jetzt hab ich mal nach dem linarfaktor gegoogelt und schon kommen wir der sache näher. jetzt weiß ich wie man ihn bildet, wo er her kommt und wie man ihn benutzt. es ist schon doof, wenn man sich alles selbst beibringen muss und dann nur so halbe erklärungen im heft hat. da rätselt man und googelt und schreibt in foren, obwohl die sache so einfach sein könnte. es wird nicht beschrieben, dass er durchs absolute glied teilbar sein muss und warum sich das vorzeichen ändert. aber gut, jetzt hab ichs auch gepackt, dank deiner hilfe.

merci
gruß, cookiemaus
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

oh, eine frage kam mir noch.
ich habe soeben einen größeren term gerechnet: \frac{1}{2}x^{4}-\frac{5}{2} x^{3}+x^{2} +10x-12=0 und des hat soweit auch funktioniert. brüche ausgemerzt indem alles mal 2 multipliziert wurde, nullstelle gefunden (2) und polynomdivision durchgeführt. dann komme ich ja erstmal zur eleminierung der größten potenz (x^4), sodass ich noch ne polynomdivision durchführen muss. anschliießend über pq-formel die nächsten beiden nullstellen bestimmt (3, -2). so weit, so gut. nur wurde ich stutzig als dass es aufgrund von
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »

...da fehlte noch was:
aufgrund von 4 mal x mit potenzen auch 4 nullstellen geben muss. oder liege ich da falsch? woher erkenne ich die 4. nullstelle? oder gibt es gar keine?
ach ja, bei der zweiten polynomdivision habe ich mit dem gleichen linearfaktoren gerechnet wie bei der ersten (nämlich x-2).
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
Zitat:
Original von cookiemaus
ach ja, bei der zweiten polynomdivision habe ich mit dem gleichen linearfaktoren gerechnet wie bei der ersten (nämlich x-2).

Daran siehst du ja schon, dass es keine vier verschiedenen Nullstellen geben kann. Die Nullstelle bei x=2 ist eine doppelte Nullstelle. Deswegen konntest du den Linearfaktor (x-2) gleich zwei mal "abspalten".

Vollständig faktorisiert sieht dein Polynom so aus (die 1/2 lassen wir mal weg, die brauchen wir für die Nullstellensuche ja nicht):



Und wenn wir deine Funktion jetzt mal zeichnen (wieder ohne die 1/2):



Es ist also alles richtig, was du gerechnet hast. Und übrigens: Vielleicht siehst du ja an der Skizze auch schon einen Unterschied: Die einzelnen Nullstellen sind solche, wo der Graph die x-Achse schneidet, aber bei der doppelten Nullstelle x=2 berührt der Graph der Funktion die x-Achse. Das heißt insbesondere auch, dass auch die erste Ableitung an der Stelle x=2 eine Nullstelle hat (hier also ein potentieller Extrempunkt vorliegt).

Generell: Der Grad eines Polynoms (also die "höchste Potenz") sagt nur etwas darüber aus, wieviele Nullstellen es höchstens geben kann. Wieviele es tatsächlich sind, das ist dann von Fall zu Fall verschieden. Du hast jetzt ein Polynom vom Grad 4. Das heißt, du kannst maximal vier Nullstellen haben, keinesfalls mehr. Aber es müssen nicht unbedingt volle vier sein. Beispiel:



Auch das ist ein Polynom vom Grad 4. Aber dieses Polynom hat keine einzige (reelle) Nullstelle! Davon kannst du dich ja leicht selber überzeugen.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
jetzt sind aber sehr viele interessante neuigkeiten für mich dabei. super, das mit den potenziellen vier nullstellen (max. soviele aber nicht unbedingt zwingend) und dem linearfaktor zweimal abspalten sowie der potenzielle extrempunkt am berührungspunkt sind alles sachen, die mein lieber herr auto glatt hat unter den tisch fallen lassen. ich werd noch wahnsinng. dank deiner ausführlichen erklärung weiß ich jetzt erheblich mehr.

bei deinen beispiel mit x^4+1 dachte ich, es kann keine reelle nullstelle haben, da ich die 1 rüber ziehen müsste und somit -1 bekomme und daraus die 4. wurzel ziehen müsste und das nicht geht. nachgerechnet kommt aber trotzdem 1 raus. wo liege ich falsch.

2. frage: warum sind die 1/2 x meines beispiels unerheblich bzw. können weggelassen werden?

3. frage: müsste ich bei sehr hohen graden wie zb. x^6-35x³+216=0 auch die polynomdivision anwenden? dann müsste ich das mindestens geschätzte 4 mal machen, um die hohe potenz zu entfernen (ziemlich große fehlerquelle). gibt es da einen anderen weg?

4. frage: bei einer aufgabe x^4-18x²-32x-15=0 bekomme ich zwar die erste nullstelle -1 raus, aber wenn ich weiter rechne (mit /(x+1) komme ich immer auf einen rest. mache ich was falsch?

danke für deine hilfe
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
Zitat:
Original von cookiemaus
bei deinen beispiel mit x^4+1 dachte ich, es kann keine reelle nullstelle haben, da ich die 1 rüber ziehen müsste und somit -1 bekomme und daraus die 4. wurzel ziehen müsste und das nicht geht.

Genau. Warum du da anscheinend doch irgendwo "1 rausbekommst", kann ich nicht sagen. Vierte Wurzeln aus negativen Zahlen gehen nicht.

Zitat:
Original von cookiemaus
2. frage: warum sind die 1/2 x meines beispiels unerheblich bzw. können weggelassen werden?

Du selbst hast das doch gemacht:

Zitat:
Original von cookiemaus
brüche ausgemerzt indem alles mal 2 multipliziert wurde

Daher verstehe ich die Frage jetzt nicht. Es ist natürlich eine andere Funktion, wenn man einfach alles mit 2 multipliziert, aber die Nullstellen bleiben doch dieselben. Daher habe ich das jetzt aus Faulheit auch gemacht, damit ich die ganzen Brüche nicht mehr tippen musste. Ich habe da doch nur an deine Rechnung angeknüpft.

Zitat:
Original von cookiemaus
3. frage: müsste ich bei sehr hohen graden wie zb. x^6-35x³+216=0 auch die polynomdivision anwenden? dann müsste ich das mindestens geschätzte 4 mal machen, um die hohe potenz zu entfernen (ziemlich große fehlerquelle). gibt es da einen anderen weg?

Bei hohen Potenzen müsste man dann sehr oft Polynomdivision machen, ja. Das kann hässlich werden. Da muss man dann halt durch. Manchmal gibt es auch andere Tricks, ja. Vielleicht erkennt man binomische Formeln oder kann substituieren (z.B. bei biquadratischen Gleichungen). Aber eben nicht immer. Nullstelle raten und dann Polynomdivision ist immer so das Mittel, wenn "nix anderes geht". Aber es ist ein mächtiges Werkzeug, weil das eben etwas ist, was immer funktioniert, sofern man die entsprechenden Nullstellen halt findet.

PS: Ein Beispiel zum Substituieren wäre sogar auch deine Beispielfunktion oben (die du dir jetzt vielleicht einfach selber ausgedacht hast, aber das ist egal): x^6-35x³+216=0. Da könnte man x³=t substituieren und die dadurch entstehende quadratische Gleichung in t leicht lösen. Anschließend resubstituieren und die Werte für x ermitteln.

Zitat:
Original von cookiemaus
4. frage: bei einer aufgabe x^4-18x²-32x-15=0 bekomme ich zwar die erste nullstelle -1 raus aber wenn ich weiter rechne (mit /(x+1) komme ich immer auf einen rest. mache ich was falsch?

Keine Ahnung... du wirst dich bei der Polynomdivision wohl irgendwo verrechnen. Wo, kann ich nicht sagen. Bin ja kein Hellseher. Augenzwinkern

Zur Polynomdivision: HIER kannst du deine Rechnungen auch sehr schön kontrollieren. Ich find die Seite sehr praktisch.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
Genau. Warum du da anscheinend doch irgendwo "1 rausbekommst", kann ich nicht sagen. Vierte Wurzeln aus negativen Zahlen gehen nicht. ---> ok, ich dummi hab mich auch verrechnet. Hammer

die sache mit dem 1/2 ist mir jetzt auch klar. ich hatte die übungsaufgabe auch woher und anhand des lösungsweges erkannt, dass alles mal zwei genommen wurde. daher gabs die 1/2 nicht mehr. aber natürlich, wenn ich den gesamten term verändere (ob mal zwei oder was anderes ist egal) dann bleibt die nullstelle die gleiche. logo.

3. frage --> substitution. die aufgabe kam in der prüfung dran, durch die ich durchgerasselt bin und nun einen neuen anlauf nehme. geschockt da die ganze sache mit der substitution nicht im heft steht und uns somit nicht beigebracht wird (fernstudium), heißt es dann also mehrfache polynomdivision.

4. frage --> stimmt, ich depp hab mich selbst im zweiten durchgang verrechnet. manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht mehr. unglücklich neuer anlauf, 1. und 2. polynomdivision haben geklappt (nullstellen -3 und 5) und per pq-formel die letzte nullstelle -1 bekommen. hast du eine ahnung ob es auch für die pq-formel so einen rechner gibt? dein tipp ist echt gut, danke. hab grad die polynome getestet und war super. Gott

wo ist eigentlich der button zum zitieren? Hammer
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
ab wann erkenne ich eigentlich, ob ein polynom aufgeht, oder ob wirklich ein rest übrig bleibt? was sagt es aus, wenn ein rest bleibt?

kennst du einen rechner, womit ich ganze polynome rechnen lassen kann? hab hier grad einen mit x^6 und die ersten beiden rechnungen waren richtig, jetzt ab x^4 finde ich keine nullstelle mehr und dein rechner-tipp sagt mir plötzlich, dass es quasi nicht lösbar ist...*stöhn*

vergiss das mit dem zitat-button. wer lesen kann, ist eindeutig im vorteil. hab langsam tomaten auf den augen... LOL Hammer
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
Zitat:
Original von cookiemaus
kennst du einen rechner, womit ich ganze polynome rechnen lassen kann? hab hier grad einen mit x^6 und die ersten beiden rechnungen waren richtig, jetzt ab x^4 finde ich keine nullstelle mehr und dein rechner-tipp sagt mir plötzlich, dass es quasi nicht lösbar ist...*stöhn*

Falls wir jetzt immer noch von dem Polynom



sprechen, da ist es kein Wunder, dass du da stecken bleibst. Deswegen sagte ich ja, dass man da eine Substitution durchführen soll. Dann ist man in einer Minute (und einer Zeile) komplett fertig. Polynomdivision ist hier überhaupt nicht sinnvoll.

Wie du schon sagtest: Es gibt keine weiteren Nullstellen außer 2 und 3. Aber das müsstest du jetzt erstmal beweisen. Man könnte das umständlicherweise über Grenzwertbetrachtung in Verbindung mit Extrempunktermittlung bei diesem verbleibenden Polynom von Grad 4 machen, aber das frisst wieder einiges an Zeit. Zeit, die man in einer Prüfung nicht hat.

Du kannst sicher sein, dass bei dieser Prüfungsaufgabe die von mir bereits vorgeschlagene Substitution angedacht war. Sie mag nicht in deinem Heft stehen, aber so eine banale Substitution ist reiner Schulstoff, das kann man im Studium schon erwarten, dass die Studenten sowas wissen oder darauf kommen.

Zitat:
Original von cookiemaus
ab wann erkenne ich eigentlich, ob ein polynom aufgeht, oder ob wirklich ein rest übrig bleibt? was sagt es aus, wenn ein rest bleibt?

Naja, hat f(x) eine Nullstelle bei x=a, so kann man f(x) immer ohne Rest durch (x-a) dividieren. Wenn ein Rest bleibt, war a entweder keine Nullstelle, oder du hast dich bei der PD verrechnet.

Ansonsten war, wenn bei f(x) / g/(x) ein Rest bleibt, das Polynom f(x) eben nicht durch g(x) teilbar. Das ist die ganze Erkenntnis, die man gewinnt, wenn bei der Division ein Rest bleibt. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
das mag daran liegen, dass ich kein abi hab und solcherlei stoff (integral-, differntialrechnung, kurvendiskussion u.ä.) in der schule bis zur 10. nicht hatte und nun nachlernen muss, weil es studienstoff ist. und wenn man sich mit einem so blöd geschriebenen studienheft auch noch allein durch die sache arbeiten muss, machts dass nicht einfacher. sind alles böhmische dörfer. vielleicht ist es jetzt verständlicher warum ich solche probleme habe...

ja, es ist dieser term (habs einfach mal ausprobiert wie weit ich komme, muss ja üben). da die substitution nicht erwähnt wurde, werd ich mich mal mit dem thema befassen müssen. das einzige was für höhere potenzen erklärt wird, ist die biquadratische gleichung. diese wird laut erklärung allerdings nur bei den potenzen 4 und 2 angewendet. dementsprechend zog ich die nicht in betracht und sie käme auch nicht in frage.

mit anderen worten: sofern ich eine nullstelle errechnet habe, muss auch die PD ohne rest aufgehen. sonst hab ich mich verrechnet. dann weiß ich schon mal mehr.
cookiemaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision - Nullstellenberechnung
meinst du etwa diese art von substitution: http://www.youtube.com/watch?v=NTu2EfOzwgw?
wenn ja, dann ist das aber nicht mit einer zeile getan....
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