Ist diese Bilinearform ein Skalarprodukt und welche Orthonormalbasis hat sie?

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claritia Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Bilinearform ein Skalarprodukt und welche Orthonormalbasis hat sie?
Meine Frage:





a) Zeigen Sie, dass b ein Skalarprodukt ist.
b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des R³ bezüglich b.

Meine Ideen:
zu a)
Die Matrix muss die Gleichung : (x1 x2 x3)^t * A * erfüllen.
Die Matrix lautet:

Damit die Bilinearform ein Skalarprodukt ist, muss die Matrix symmetrisch und positiv definit sein.

Die Matrix ist symmetrisch, da A^t = A.

Weiterhin muss A auch positiv definit sein, damit die Bilinearform ein Skalarprodukt ist.
Positiv definit ist die Matrix A, da alle Hauptminoren > 0 sind.

det |3| =3 > 0
det = 6-1= 5 >0
det |A| = 12-8-2= 2>0

Es ist ein Skalarprodukt, da beides Kritierien erfüllt sind. (habe ich verstanden) :-)

zu b)
Meine Lösungsidee: Man rechnet die Eigenvektoren aus. Mit diesen versucht man mit Hilfe von Gram-Schmidtschem Orthogonalisierungsverfahrens die ONB herauszufinden.

Stimmt das?

Vielen Dank für eure Hilfe :-)
Liebe Grüße Claritia
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meine Lösungsidee: Man rechnet die Eigenvektoren aus. Mit diesen versucht man mit Hilfe von Gram-Schmidtschem Orthogonalisierungsverfahrens die ONB herauszufinden. Stimmt das?


Bei symmetrischen Matrizen sind Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten automatisch orthogonal. Wenn Du allerdings einen Eigenraum mit geometrischer Vielfacheit > 1 hast, musst Du für die Basis des Eigenraumes etwas mehr tun. Etwa , wie Du schon korrekt erwähnt hast, GRam-Schmidt.
claritia Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Freude
Deine Antwort hat mir sehr geholfen. Jetzt bin ich beruhigt.

LG Claritia
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