Geradengleichung mit Bedingungen

23.09.2012, 19:48

nuc

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Geradengleichung mit Bedingungen

Edit opi: Titel geändert. "Vektor g3 bestimmen, mit g2 || g3, g3 zu g1=S, g1 zu g2=Ø" sieht in der Übersicht sehr unübersichtlich aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} g_{1}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r_{1} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{2}=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} + r_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g1 und g2 sind zueinander Windschief.

Es soll eine Gerade g3 mit

g3 ^ g1=S
und
g2 || g3

bestimmt werden. Der Abstand g2 zu g3 ist minimal.

Mein Ansatz war jetzt erstmal das Kreuzprodukt g1 x g2 zu berechnen, um den geringsten Abstand zwischen den beiden Vektorgeraden zu erhalten. So ergibt sich die Orthogonale:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als nächsten Schritt müsste man glaube ich die Koordinaten der Punkte an denen die Orthogonale beide Geraden (g1, g2) berührt berechnen um dann irgendwie g3 dorthin zu zaubern.
Die beiden Koordinaten, so dachte ich mir, kann man wie Schnittpunkte berechnen, doch der Lehrer hat gesagt es geht auch einfacher.

Wie auch immer, ich hab keinen Plan wie ich jetzt weitermachen soll...bitte helft mir

Danke schon mal im Vorraus

[attach]25972[/attach]

Edit opi: Bild angehängt, nachfolgenden Beitrag mit doppeltem Bild entfernt.

23.09.2012, 21:53

opi

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Du solltest die Parametergleichung einer Ebene aufstellen, welche g2 enthält und die als weiteren Richtungsvektor den von Dir ermittelten orthogonalen Vektor besitzt.

Danach kannst Du überlegen, wie die Gerade g1 zu dieser Ebene liegt. Falls sie diese schneidet - Wo?

23.09.2012, 23:12

nuc

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Zitat:

Original von opi
Du solltest die Parametergleichung einer Ebene aufstellen, welche g2 enthält und die als weiteren Richtungsvektor den von Dir ermittelten orthogonalen Vektor besitzt.

Danach kannst Du überlegen, wie die Gerade g1 zu dieser Ebene liegt. Falls sie diese schneidet - Wo?

Das mit der Ebene ist so gemeint richtig?:
[attach]25968[/attach]

Die obere Kante der Ebene ist quasi g3, richtig?.

23.09.2012, 23:23

opi

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Ja, so sollte die Ebene aussehen, wobei sie natürlich keine "obere Kante" besitzt. Der orthogonale Vektor ist hier ja schließlich nur ein Richtungsvektor. Der Schnittpunkt der Ebene mit g1 führt Dich dann zu g3.

Überprüfe bitte Deine Angaben in der Aufgabenstellung. Ich bekomme für g3 so fürchterlich "unschöne" Werte heraus.

23.09.2012, 23:49

nuc

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Zitat:

Original von opiÜberprüfe bitte Deine Angaben in der Aufgabenstellung. Ich bekomme für g3 so fürchterlich "unschöne" Werte heraus.

Ne, die Aufgabenstellung ist schon richtig.

Ist die Ebenengleichung so korrekt?:
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} +r_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe einfach mal den Ortsvektor von g2 genommen.. Kann ich das so machen?

23.09.2012, 23:56

opi

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Ja, ist richtig. Du hast auch keine andere Wahl.

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24.09.2012, 00:07

nuc

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Zitat:

Original von opi
Ja, so sollte die Ebene aussehen, wobei sie natürlich keine "obere Kante" besitzt. Der orthogonale Vektor ist hier ja schließlich nur ein Richtungsvektor.

Verstehe. Die Ebene ist nach oben offen.

Zitat:

Original von opi
Der Schnittpunkt der Ebene mit g1 führt Dich dann zu g3.

ok, und wie mache ich das? verwirrt

verwirrt

(sorry, hab lange keine Vektor Aufgaben mehr gemacht...)

24.09.2012, 00:16

opi

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Die Ebene ist nach allen Seiten "offen". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Den Schnittpunkt kannst Du bestimmen, indem Du E und g1 gleichsetzst.
Damit die Rechnung nicht zu eklig wird, solltest Du die Ebenengleichung in die Koordinatenform umwandeln. (Oder einen elektronischen Helfer in Form eines PC oder CAS verwenden.)

25.09.2012, 20:18

nuc

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brauche anderen lösungsweg
Hallo,
mein Lehrer verlangt einen anderen Lösungweg. Über die Ebene zu gehen sei "unnötig kompliziert".
Als anhaltspunkte gab er:

$\begin{eqnarray*} \vec{x_{F} } =\vec{x_{01}} + r_{1}\vec{x_{11}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x_{0F} } + t\begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} = .... \end{eqnarray*}$

Ausgeschrieben sähe das glaube ich so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r_{1} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} = .... \end{eqnarray*}$ (die Form erinnert zwar an die einer Ebene, soll aber keine darstellen)

Der Lehrer hat gesagt, dass man schließlich aus seiner Gestellten Gleichung erfährt, um wie viel man die vektorgerade verschieben muss, damit am minimalen Abstand der Parallelvektor entsteht.
Wie soll ich jetzt weitermachen? Und ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das verstehen soll: es wird ja der Vektor der Orthogonalen zu g1 addiert. Wie hilft mir das weiter? Sollte ich vielleicht diese Gleichung mit der vektorgeraden g2 gleichsetzten um einen Schnittpunkt zu erhalten? Ist meine Vermutung richtig, dass ich t=1 setzen kann (da man ja nur "um eine länge" nach vorne muss)?

Weiß jemand wie man mit diesem Ansatz weiterkommt? Er soll ja einfacher sein...

25.09.2012, 23:34

nuc

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ok, ich hab einfach mal

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r_{1} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gerechnet.

Aber ich kommemit dem Gleichungssystem nicht weiter nicht weiter:

x1 = 2+5r1-59t
x2 = 5+2r1-3t
x3 = 3+7r1+43t

ich muss doch so einfügen, dass x1, x2 und x3 in einer Zeile stehen, oder? Ich kriegs aber irgendwie nicht hin. Und sollte ich jetzt einfach t=1 vorraussetzen oder nicht?

26.09.2012, 00:01

opi

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Zitat:

Über die Ebene zu gehen sei "unnötig kompliziert"

Diese Aussage Deines Lehrers verwundert mich. Nützt Dir aber nichts.

Ich kann leider den Lösungsweg (zumindest, wie er hier notiert ist) Deines Lehrers nicht nachvollziehen. t=1 dürftest Du aber nicht voraussetzen, das "Maß der Verschiebung" ist ja noch nicht bekannt.
Mit einer Gleichung, die wie eine Ebenengleichung aussieht, aber keine sein soll, kann ich leider auch nichts anfangen.

Vielleicht hat ein anderer Helfer noch eine gute Idee; auf alle Fälle bin ich an der Lösung, die ihr in der Schule besprechen werdet, sehr interessiert.

26.09.2012, 00:12

nuc

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kannst du mir denn sagen was passiert, wenn ich Vektorgerade + Vektor (die Orthogonale) rechne?
Wie muss man sich das vorstellen? Oder geht sowas einfach nicht?

26.09.2012, 00:30

opi

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Wenn Du Vektorgerade + Parameter mal Orthogonalenvektor rechnest, erhältst Du eine Ebene. Das wäre dann wieder mein Lösungsansatz.
Den orthogonalen Vektor einfach zur Geraden hinzuzuaddieren erscheint mir nicht sinnvoll, da der Abstand der windschiefen Geraden ja noch gar nicht bekannt ist.
Aber wie gesagt: Ich bin da leider im Moment überfragt. traurig

traurig

26.09.2012, 00:49

nuc

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also erstmal muss ich mich korrigieren, denke, dass nicht g1+Orthogonale sondern g2+Ortogonale gemeint war:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} + r_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann es sein, dass man durch diese Rechnung erstmal auf die Koordinate kommt wo die Orthogonale auf g2 aufschägt? (frag jetzt nur so, weil es muss ja ein Sinn dahinter stecken...)

26.09.2012, 01:03

opi

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Damit kommen wir ja wieder auf die Geradengleichung vom Anfang
Damit kann man den Lotfußpunkt auf g1 bestimmen. Der LFP von g2 ist doch überhaupt nicht von Interesse.

Der Sinn dieser neuerlichen Berechnungen bleibt mir weiterhin verschlossen.

26.09.2012, 01:13

nuc

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ok, dann versuch ich mit der Ebene auf ein Ergebnis zu kommen. Danke für die Mühe bisher Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deshalb noch eine Frage: Du hast gesagt ich soll die Ebene am besten in koordinatenform bringen. Das hab ich getan:

393x-161y+528z=2422

um das mit der gerade gleichzusetzen muss ich diese doch ebenfalls in koordinatenform bringen.
Nur wie mache ich das? Die Normalform kann ich nicht anwenden da es ein 3D Vektor ist.

26.09.2012, 01:24

opi

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Im dreidimensionalen Raum gibt es keine Koordinatenform einer Geradengleichung.

Setzte die Geraden- in die Ebenengleichung ein und löse nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ auf.

26.09.2012, 01:33

nuc

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Du meinst ich soll für x, y, z der Ebenengleichung jeweils x1, x2, x3 der Geradengleichung einsetzten?

26.09.2012, 01:42

opi

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Ja.

smile

26.09.2012, 01:44

nuc

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Habe da $\begin{eqnarray*} r_{1} =\frac{857}{5339} \end{eqnarray*}$ raus.

Ist das korrekt???

Wie gehts weiter?

26.09.2012, 01:54

opi

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Stimmt so. Jetzt kannst Du r1 in die Geradengleichung einsetzen und den Lotfußpunkt bestimmen. Der Ortsvektor dieses Punktes ist dann auch der Stützvektor der gesuchten Geraden g3.

26.09.2012, 02:13

nuc

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da bekommt man ja Kopfschmerzen Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2.8 \\ 5.32 \\ \frac{22016}{5339} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das passiert wenn ich r1 einsetze. Habe ich richtig gerechnet?
Wie komme ich schließlich auf den Ortsvektor?

UPDATE: korrigiert

26.09.2012, 02:22

opi

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Das wäre der Stützvektor von g3, wenn Du richtig gerechnet hättest.
x1 ist falsch, x2 gerundet und x3 stimmt.

Jetzt kannst Du wahrscheinlich auch verstehen, weshalb ich die Angaben der Aufgabenstellung gerne überprüft haben wollte.

26.09.2012, 02:32

nuc

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Zitat:

Original von opi
Das wäre der Stützvektor von g3[...]

Verstehe, nur wie komme ich nun zu Richtungsvektor g3, sodass ich eine komplette Geradengleichung aufstellen kann?

EDIT: Ist es derselbe wie in g2?

26.09.2012, 02:39

opi

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Nach Deinem Edit:

g2 und g3 sind parallel und besitzen deshalb auch denselben Richtungsvektor.

26.09.2012, 02:46

nuc

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Das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} g_{3}: \vec{x_{3} } = \begin{pmatrix} 2.8 \\ 5.32 \\ \frac{22016}{5339} \end{pmatrix} + r_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke für all deine Hilfe Freude

Freude

smile

26.09.2012, 02:54

opi

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Uff.

smile

Das Ergebnis ist so herrlich krumm, daß ich auf jegliches Runden verzichten würde. Ansonsten stimmt es aber.

26.09.2012, 16:00

nuc

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ich hätte Brüche als Lösung angegeben, nur dass mein Casio Taschenrechner es wegen der Größe nur noch als dezimalzahl dargestellen konnte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch eine kleinigkeit: Ich kann doch weiterhin das r2 nehmen oder muss es jetzt zu r3 werden?

26.09.2012, 18:40

opi

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Meine Empfehlung: Neue Gerade - neuer Parameter.
Dies ist vor allem wichtig, wenn Du mit den Geradengleichungen noch weiterrechnen mußt.

27.09.2012, 17:05

klauss

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Die Aufgabe scheint wohl jetzt gelöst zu sein, aber da ich die Aufgabe durchgerechnet habe, erlaube ich mir noch folgende Anmerkung:
Die Koordinaten des Schnittpunkts von g1 und g3 lassen sich recht zügig ohne Ebene berechnen, wenn man bedenkt, dass die einzige Verbindung von g1 und g2, die über die gemeinsame Orthogonale führt, zwischen den Punkten mit dem kürzesten Abstand besteht.
D. h. es gilt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+r_{1}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} + r_{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Bzw. umgestellt:
$\begin{eqnarray*} <br /> r_{1}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} -59 \\ -3 \\ 43 \end{pmatrix}\pm r_{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Dieses Gleichungssystem hat dann erwartungsgemäß genau 1 Lösung für das Parameter-Tripel, wobei hier ja schon die Berechnung von r1 genügen würde.

28.09.2012, 00:30

opi

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Zitat:

Original von klauss

Die Koordinaten des Schnittpunkts von g1 und g3 lassen sich recht zügig ohne Ebene berechnen, ...

Der Rechenweg ist doch genau derselbe, wie die Bestimmung eines Schnittpunktes von Geraden und Ebene. Der einzige Unterschied besteht darin, daß der Begriff "Ebene" vermieden wird.

28.09.2012, 18:03

klauss

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Mein Ansatz beruhte darauf, mit dem geistigen Auge einen Weg (vektoriell) entlangzugehen, was bequemer erschien, als sich eine Ebene mit schneidenden Geraden vorzustellen. So konnte auf die (hier erfolgte) ausdrückliche Aufstellung einer Ebenengleichung verzichtet werden.

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