Differentialquotient

23.09.2012, 20:28

Tipso

Differentialquotient

Hallo,

Hier die Aufgabe, mitsamt möglicher Lösung:

Ich muss dies jedoch selber verstehen lernen und umsetzen:

die allgemeinen Herleitungen der Tangentensteigungen, und berechnen Sie dann die Steigungen für die angegebenen x0 Werte!

Verstehe die Aufgabenstellung nicht. 1.

2.
Die erste Aufgabe wird mitsamt Lösung vom Lösungsbuch geliefert, mit Lösungsweg. Die zweite und dritte muss ich später selber machen.
Angaben:

1. f: y = 2x^2; x_0 = 1
2. f: y = 3x^2; x_0 = 2
3. f: y = x^3; x_0 = -2

Lösung der 1 Aufgabe mit Fragen dazu:

f`(1) =

1. Frage

Was bedeutet f`, warum habe ich bei diesem f ein ``?
Warum f`(1)?

$\begin{eqnarray*} f`(1) = \lim_{x_{delta} \to 0} = (2*(1+x_{delta})^2 - 2*1^2)/x_{delta} \end{eqnarray*}$

1.
Wie komme ich bis hier her, von den Angaben?
Ist dies die Herleitung der Tangentensteigung?

2.
Die Berechnung ist die Steigung?

=
$\begin{eqnarray*} \lim_{x_{delta} \to 0} (2+4*x_{delta} + 2*(x_{delta})^2-2)/x_{delta} \end{eqnarray*}$

1.
Ich verstehe nicht wie ich hierher komme?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x_{delta} \to 0} (4+2*x_{delta}) = 4 \end{eqnarray*}$

1.
Verstehe diesen nächsten Schritt genauso wenig wie das Ergebnis.

lg

24.09.2012, 00:13

mYthos

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Unter f '(x) versteht man die Ableitungsfunktion, 1. Differentialquotient oder kurz gesagt die 1. Ableitung.
Die Ableitungsfunktion entsteht durch Grenzwertbildung des Differenzenquotienten (sh. deinen anderen Thread).
Die Ableitung bezeichnet also die Steigung $\begin{eqnarray*} a_t(x) \end{eqnarray*}$ der Tangenten an beliebigen Stellen x. Solange man alle Stellen x betrachtet, also für x noch nicht eine bestimmte Stelle nimmt, ist die Ableitungsfunktion die Gesamtheit aller Tangentensteigungen.

$\begin{eqnarray*} a_t(x) = f \ ' (x) \end{eqnarray*}$

Da die Funktionsgleichung oft mit y = f(x) geschrieben wird, schreibt man die 1. Ableitung auch so: y ' = f '(x)

Meist interessiert jedoch die Steigung a0 an einer bestimmten Stelle x0, z.B. x0 = 2.
Daher wird dann die Steigung $\begin{eqnarray*} a_t(x_0) \end{eqnarray*}$ dort auch die Ableitungsfunktion an dieser Stelle sein, also

$\begin{eqnarray*} a_t(x_0) = f \ ' (x_0) \end{eqnarray*}$
_____________

Nun die Sache mit dem $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} x_{delta} \end{eqnarray*}$ )
Dieses "Delta x" wird gerne - wegen der übersichtlicheren Schreibweise - auch als $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Im Beispiel 1 ( $\begin{eqnarray*} y = 2x^2; x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ ) lautet der Differenzenquotient damit

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

Übrigens, die 2 als konstanter Faktor kann auch VOR den ganzen Bruch geschrieben werden.

So, jetzt quadriere den Term im Zähler mal aus, reduziere und kürze durch h (!). Dann erst wird der Grenzwert für h --> 0 gebildet. Was du dann herausbekommst, ist die Ableitungsfunktion f '(x) für jedes beliebige x. Wenn du dort letztendlich für x = 1 einsetzt (das ist dann dein x0), erhältst du die Steigung der Tangente in diesem Punkt der Kurve mit dem x-Wert 1.

Diese letzten Schritte solltest jetzt du nochmals durchgehen, also selbst zu Ende rechnen, damit du sie auch verstehst.
Die beschriebene Methode wird "h-Methode" genannt und du kannst dazu unzählige Beispiele (auch hier im Forum) finden.
Es sei noch bemerkt, dass man in Hinkunft nicht jedes Mal bei der Ableitung mit der h-Methode rechnet, sondern dass dazu die damit eigens aufgestellten Differentiationsregeln zur Anwendung gelangen.

mY+

24.09.2012, 00:50

Tipso

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thx

Bis Morgen. Wink

25.09.2012, 01:36

Tipso

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Hi,

Ich bin sehr irritiert:

a_t(x) = f`(x)

Ist die richtige Schreibweise.

Zitat:

Meist interessiert jedoch die Steigung a0 an einer bestimmten Stelle x0, z.B. x0 = 2.
Daher wird dann die Steigung $\begin{eqnarray*} a_t(x_0) \end{eqnarray*}$ dort auch die Ableitungsfunktion an dieser Stelle sein, also

Verstehe ich nicht ganz.

x0 = eine beliebige Zahl und gibt an?

-------------------------------------------------------------------------------

Wenn ich angegeben habe:

1. f: y = 2x^2; x_0 = 1

Ergibt dies für mich:

a_s = f(x0 - h) - f(x0)/h

a_s = f(2x^2 - h) - f(2x^2)/h

Wie komme ich nun davon auf

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

mitsamt verstehen davon?

lg

01.10.2012, 19:25

mYthos

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Nun, einfach im Zähler ausquadrieren, die Quadrate reduzieren sich und daher kannst du h ausklammern und kürzen (das alles habe ich dir schon geschrieben).
DAS gilt nun zunächst für JEDES x (x0) und nun musst du für x0 die verlangte Stelle 1 einsetzen und kriegst damit die Steigung der Tangente an dieser Stelle.
________________

Info: Leider war ich durch einige widrige Umstände verhindert, eher zu antworten!

mY+

02.10.2012, 00:54

Tipso

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Um es nochmal zu machen:

Wenn ich x_0 gegeben habe, handelt es sich um die Steigung der Tangente:

Zitat:

2.
a_s = f(x0 - h) - f(x0)/h

a_s = f(2x^2 - h) - f(2x^2)/h

Das zweite ist doch falsch! müsste doch

a_s = f 2*(x_0 +h)^2 - f 2*(x)^2/h

sein.

Dies wäre demnach auch falsch:

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

so richtig:
$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2(x^2)} h \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis wäre dann: x_0 = 1, welcher schon angegeben ist?

lg

02.10.2012, 01:17

mYthos

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Das Ergebnis kann doch NICHT x0 = 1 sei, das ist doch gegeben!
Vielmehr ist (endlich) der Grenzwert von a_s für h-->0 auszurechnen! Dieser ist dann a_t.

Wie das funktioniert, wurde dir jetzt bereits mehrere Male erklärt, so tue es doch bitte einmal: Wie gesagt, ausquadrieren, reduzieren, durch h kürzen und dann h --> 0 gehen lassen (h = 0 setzen).

Deine beiden Terme für a_s sind übrigens gleich und auch nicht falsch.

mY+

02.10.2012, 14:52

Tipso

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Hi,

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(x^2 + 2xh + h^2) - 2x^2/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2 + 2xh + h^2 - 2x^2/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2xh + h^2 /h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x + h \end{eqnarray*}$

Grenzwert = 2x

Was ich nicht verstehe ist, ich brauche immer ein Ergebnis wo ich ein x und ein h habe, warum?

Warum habe ich x_0 gegeben? Und was ist dies? Wozu brauche ich es?

lg

02.10.2012, 23:07

mYthos

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Du hast beim Multiplizieren einen Fehler gemacht, anstatt 2xh gehört dort 4xh hin ..
Daher ist der Grenzwert a_t = 4x
______________

Das x bzw. x0 brauchst du, weil die Ableitung nicht nur für eine bestimmte Stelle, sondern für jede beliebige Stelle des Definitionsintervalls berechenbar sein soll.

Im Prinzip ist x mit x0 gleichzusetzen. Wenn eine einzelne Stelle betrachtet wird, heisst diese x0, jedoch die Ableitungsfunktion global wird in x geschrieben.

a_t = f '(x)

Steigung a0 an einer bestimmten Stelle x0:

a_t(x0) = f '(x0)

mY+

08.10.2012, 23:44

Tipso

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Hi,

Sry für meine Abwesenheit, bei uns schwirrt die Grippe Wink

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_s = \frac {2(x + h)^2 - 2x^2} h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(x^2 + 2xh + h^2) - 2x^2/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2 + 4xh + h^2 - 2x^2/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4xh + h^2 /h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x + h \end{eqnarray*}$

Grenzwert = 4x

hmm, weiter smile

10.10.2012, 00:18

mYthos

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Dieser Grenzwert gilt für jedes beliebige x. Nun setzt du das gegebene (x0) dort ein, dann hast du die Steigung exklusiv nur für diesen einen Punkt (x0; f(x0) --> (1; 2)

mY+

13.10.2012, 21:08

Tipso

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Hi,

Diesen Teil verstehe ich nicht; (x0; f(x0) --> (1; 2).

Ich habe den Grenzwert und ein x_0 gegeben.

Ich setze x_0 statt dem x im Grenzwert ein und erhalte ich Steigung auf dem Punkt x_0.

Die Steigung ist dabei gleichzeitig mein y-Wert?

lg

14.10.2012, 00:07

Dopap

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lieber tipso

du hast gerade 3 Threads am laufen, die sich mit demselben Thema beschäftigen. Irgendwie kommt dabei nix raus. Schalte doch mal das Internet und sonstige Geräte ab und nehm ein Schulbuch zur Hand, so hat das keinen Wert.
Sich eine Pause zu gönnen und auch mal nachzudenken hat noch niemanden geschadet.

Da ich kein Moderator bin, bin ich so frei dir das mal freundlich, aber mit Nachdruck zu empfehlen.

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