Konvergenzbegriffe

24.09.2012, 15:18

bibber

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Konvergenzbegriffe

Hallo,
ich habe folgende Fragen: Es wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.

1) Was unterscheidet die Konvergenzbegriffe P-f.s., stochastisch und schwach von der normalen Konvergenz bei Funktionen.

2.) Warum kann ich bei dieser Folge, um die starke Konvergenz zu bestimmen, den zweiten Fall weglassen.

$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{x}x &x\in \mathbb R/\mathbb N \\nx&x = n \in \mathbb N\end{cases} \end{eqnarray*}$

24.09.2012, 15:24

Math1986

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RE: Konvergenzbegriffe

Zitat:

Original von bibber
1) Was unterscheidet die Konvergenzbegriffe P-f.s., stochastisch und schwach von der normalen Konvergenz bei Funktionen.

Sie unterscheiden sich alleine dadurch, dass sie unterschiedlich definiert sind smile

smile

Zitat:

Original von bibber
2.) Warum kann ich bei dieser Folge, um die starke Konvergenz zu bestimmen, den zweiten Fall weglassen.

$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{x}x &x\in \mathbb R/\mathbb N \\nx&x = n \in \mathbb N\end{cases} \end{eqnarray*}$

Weil zweiter Fall eine Nullmenge ist.

PS: Im ersten Fall wäre die Funktion konstant Eins, was die starke Konvergenz ziemlich offensichtlich macht. Sicher, dass das so stimmt? verwirrt

verwirrt

24.09.2012, 17:56

bibber

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RE: Konvergenzbegriffe
$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n}x &x\in \mathbb R/\mathbb N \\nx&x = n \in \mathbb N\end{cases} \end{eqnarray*}$

So ist es richtig tut mir leid.
Könntest du mir den Begriff P-nullmenge näher erläutern. Das wäre sehr nett.

25.09.2012, 12:44

Math1986

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RE: Konvergenzbegriffe

Zitat:

Original von bibber
Könntest du mir den Begriff P-nullmenge näher erläutern. Das wäre sehr nett.

Eine P-Nullmenge ist eben eine solche Menge, die das Maß Null hat. Insofern ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzgl. des Lebesque-Maßes eine Nullmenge, da überabzählbare Vereinigung von einzelnen Punkten.

25.09.2012, 12:59

bibber

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In der Konvergenz fast sicher muss es immer eine Nullmenge geben richtig?
Sobald etwas abzählbar ist es eine Nullmenge wie bei meinem Beispiel der zweite Fall?

Und was hätte ich jetzt bei meinem ersten Falls als Ergebnis raus?
Meine Einschätzung wäre 0 und es konvergiert fast sicher.

25.09.2012, 13:12

Math1986

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Zitat:

Original von bibber
In der Konvergenz fast sicher muss es immer eine Nullmenge geben richtig?

Diese Frage verstehe ich nicht. Fast sichere Konvergenz heißt, dass es fast überall, d.h. bis auf Nuillmengen konvergiert.

Zitat:

Original von bibber
Sobald etwas abzählbar ist es eine Nullmenge wie bei meinem Beispiel der zweite Fall?

Eine überabzählbare Vereinigung von Nullmengen ist wieder eine Nullmenge,

Zitat:

Original von bibber
Meine Einschätzung wäre 0 und es konvergiert fast sicher.

Warum?

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25.09.2012, 13:18

bibber

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Jetzt mal für mich schrittweise.

$\begin{eqnarray*} <br /> nx&x = n \in \mathbb N<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das nicht eine abzählbare Menge?

25.09.2012, 13:27

Math1986

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Das ikst so, wie es da steht, überhaupt keine Menge.
$\begin{eqnarray*} x = n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

Zu den natürlichen Zahlen hatte ich bereits was geschrieben:

Zitat:

Insofern ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzgl. des Lebesque-Maßes eine Nullmenge, da überabzählbare Vereinigung von einzelnen Punkten.

Nachtrag: In obiger Definition sollte es wohl heißen:
$\begin{eqnarray*} X_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}x &x\in\mathbb R\setminus\mathbb N \\nx&x\in\mathbb N\end{cases} \end{eqnarray*}$
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25.09.2012, 13:33

bibber

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Ok machen wir ein anderes Beispiel

$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb Q\\2-\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb R/\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der erste Fall ist eine P-Nullmenge.
Der zweite Fall ist keine P-Nullmenge und konvergiert gegen 2.

25.09.2012, 13:34

Math1986

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Zitat:

Original von bibber
Der erste Fall ist eine P-Nullmenge.

Richtig.

Zitat:

Original von bibber
Der zweite Fall ist keine P-Nullmenge und konvergiert gegen 2.

Richtig.

25.09.2012, 13:36

bibber

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Und der erste Fall ist eine P-Nullmenge, weil es abzählbar ist.

25.09.2012, 13:46

bibber

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Zitat:

Nachtrag: In obiger Definition sollte es wohl heißen:
$\begin{eqnarray*} X_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}x &x\in\mathbb R\setminus\mathbb N \\nx&x\in\mathbb N\end{cases} \end{eqnarray*}$
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Und zusätzlich soll x = n sein.

25.09.2012, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber
$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb Q\\2-\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb R/\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der erste Fall ist eine P-Nullmenge.
Der zweite Fall ist keine P-Nullmenge und konvergiert gegen 2.

Das kann man so pauschal nicht sagen, sondern es hängt vom konkreten W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ab, von dem hier bisher noch keine Rede war. Ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes, dann stimmen die Aussagen.

26.09.2012, 18:18

bibber

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Kurze Frage

In der klassischen Analysis ist folgende Folge

$\begin{eqnarray*} \mathbf 1_A(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb R/ \mathbb Q \\2&\omega \in \mathbb Q ,\end{cases} \end{eqnarray*}$

keine Konvergenz, sondern der Grenzwer ist eindeutig.

In der Stochastik konvergiert sie stark gegen 0.

Also was ist der Unterschied zwischen der Konvergenz in der Stochastik und der Konvergenz in der Analysis?

26.09.2012, 19:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber
In der klassischen Analysis ist folgende Folge

$\begin{eqnarray*} \mathbf 1_A(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb R/ \mathbb Q \\2&\omega \in \mathbb Q ,\end{cases} \end{eqnarray*}$

keine Konvergenz, sondern der Grenzwer ist eindeutig.

Seltsamer Satz - und seltsam benannte Folge, wo gar kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vorkommt. verwirrt

verwirrt

Jedenfalls kann man folgendes sagen: In der Stochastik ist die Grenzwertzufallsgröße nicht eindeutig, sondern nur P-fast eindeutig bestimmt, d.h. ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Grenzwert einer Zufallsgrößenfolge $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße mit $\begin{eqnarray*} P(X=Y)=1 \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Grenzwert dieser Folge.

26.09.2012, 20:04

bibber

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Was meinst du mit eindeutig genau?

26.09.2012, 20:22

HAL 9000

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Du meinst "P-fast eindeutig" ? Das habe ich doch im nächsten Satz erklärt!

Eigentlich bist du es ja, der hier die unverständlichen Sätze loslässt - und auf Nachfrage leider nicht klarstellt. unglücklich

unglücklich

26.09.2012, 20:25

bibber

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In der klassischen Analysis hatdie folgende Folge

$\begin{eqnarray*} \mathbf X_m(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb R/ \mathbb Q \\2&\omega \in \mathbb Q ,\end{cases} \end{eqnarray*}$

keine Konvergenz, da der Grenzwer eindeutig ist.

In der Stochastik konvergiert sie stark gegen 0.

Und was besagt die Konvergenz in der klassischen Analysis?

26.09.2012, 21:18

HAL 9000

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Ich versteh deine seltsame Logik "keine Konvergenz, da Grenzwert eindeutig" nicht. unglücklich

unglücklich

Die Folge

$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega\in \mathbb R \setminus \mathbb Q \\2&\omega \in \mathbb Q ,\end{cases} \end{eqnarray*}$

konvergiert sehr wohl im klassischen Sinne, und zwar gegen

$\begin{eqnarray*} X(\omega) :=\begin{cases} 0 &\omega\in \mathbb R \setminus \mathbb Q \\2&\omega \in \mathbb Q ,\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dieses X ist dann auch ein (!) möglicher Grenzwerte P.f.s. bzw. in Wahrscheinlichkeit.

P.S.: Ich erwähne jetzt zum dritten Mal über diverse Threads von dir folgende Frage (vielleicht ignorierst du sie ja diesmal zur Abwechslung mal nicht): Von welchem W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ redest du überhaupt immer? Du hast es nie konkret erwähnt, dabei ist es wichtig, wenn du Behauptungen wie

Zitat:

Original von bibber
In der Stochastik konvergiert sie stark gegen 0.

aufstellst, die NICHT für jedes W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gelten:

Nehmen wir z.B. das W-Maß $\begin{eqnarray*} P(A) := \sum_{\omega \in A\cap \mathbb{N}} 2^{-\omega} \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert deine obige Folge stochastisch sowie auch P-fast sicher gegen die konstante Funktion 2 statt gegen 0. geschockt

geschockt

26.09.2012, 21:42

bibber

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Ich kann dir nicht sagen für welches W-Maß es gilt. Ich kopiere nur die Aufgaben aus meinem Skript. Und ich weiß das du sicherlich sehr genervt davon bist. Ich studiere NUR Informatik

26.09.2012, 21:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber
Ich studiere NUR Informatik

Ich bin hauptberuflich Mathematiker, programmiere aber auch sehr viel: Meinst du, ich vertausche im Programmcode dann auch mal lustig Sachen oder lasse vieles weg? Das würde ja hübsch was ergeben...

26.09.2012, 21:58

bibber

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Könntest du mir bitte einmal ein Beispiel geben, wo ich den Unterschied zwischen Konvergenz in der Analysis und Konvergenz in der Stochastik verstehe.
Ich versteh es wirklich nicht, was du mir erklären möchtest. Sry

26.09.2012, 22:01

HAL 9000

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Ich habe oben am Beispiel aufgeführt, wie der obige Analysis-Grenzwert ist, dass sich die stochastischen Grenzwerte nur P-f.s. unterscheiden, auch dafür hast du oben das Beispiel. Bemühst du dich auch bitte mal, das alles nochmal nachzulesen und zu durchdenken? Meine Geduld ist nämlich am Ende.

26.09.2012, 23:25

bibber

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Ok. Ich habe es nun endlich verstanden.

Könntest du mir vllt dann den Unterschied zwischen schwacher Konvergenz und dem entsprechenden Konvergenzbegriff in der Analysis erläutern?

27.09.2012, 18:56

Zündholz

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Hallo,
die schwache Konvergenz entspricht in der Analysis der schwach* konvergenz. So gesehen gibt es da keine Unterschiede... oder was meinst du?

Schöne Grüße

@Hal: Ich hoffe es stört nicht, dass ich mich hier eingemischt habe. Falls das doch der Fall ist, schweige ich auch gerne wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.09.2012, 19:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zündholz
@Hal: Ich hoffe es stört nicht, dass ich mich hier eingemischt habe.

Achwo - ich bin ganz froh drüber: Ich habe ja oben eine gewisse Müdigkeit meinerseits zugegeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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