Wahrscheinlichkeit

24.09.2012, 18:53

NewYork

Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Ein Medikament heilt eine Krankheit mit 80% Wahrscheinlichkeit. Drei Patienten werden behandelt. Berechnen sie den Erwartungswert der Zufallsgröße "Anzahl der geheilten Patienten"

Meine Ideen:
Wertemenge: 0,1,2,3
Nachdem ich das Baumdiagramm gezeichnet und die PMR angewendet habe, habe ich folgendes raus: keine Heilung 1/8, eine Heilung 3/8, zwei Heilungen 3/8 und 3 Heilungen 1/8
Anschließend den Erwartungswert ausrechnen: 0*1/8 + 1*3/8 + 2*3/8 + 3*1/8
Rauskommt also E(x)= 1 1/2
Ist das so richtig ??

24.09.2012, 19:44

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

da habe ich etwas ganz anderes raus. unglücklich

24.09.2012, 19:51

IloveNewYork

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn genau anders gerechnet und was ist dein Ergebnis?

24.09.2012, 20:06

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das hättest du wohl gerne ! Leider nicht im Sinne des Boardes.

Ich verwende die Binomialverteilung.

In dieser Tabelle fehlen noch 2 Werte, für dich zum Rechnen.

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c||c|c|c|c| c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & \\ \hline p(X=x) & & $\frac {12}{125} $ & $\frac {48}{125}$ & & \text{Summe=1} \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Wie rechnest du?

24.09.2012, 20:29

IloveNewYork

Auf diesen Beitrag antworten »

haha sorry ^^

ooohh jetzt weiß ich wo ich den Fehler habe,Danke

Bei 0: 1/125 und 3: 64/125
Somit also E(x)= 0*1/125 + 1* 12/125 + 2*48/125 + 3*64/125 = 2.4

Somit beträgt der Erwartungswert: 2.4
jetzt richtig? smile

24.09.2012, 20:43

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

es war unterhaltsam mit dir, leider sind wir schon am Ende. Wink

24.09.2012, 20:47

IloveNewYork

Auf diesen Beitrag antworten »

Beruht auf Gegenseitigkeit smile

Nochmal Vielen Dank!

24.09.2012, 21:02

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur Eines noch: du solltest nur mit einem Namen angemeldet sein.

Accounts kann man wieder löschen, das musst du nur im passenden Forum posten.

24.09.2012, 21:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt, wo sich der Spaß seinem Ende zuneigt, vielleicht noch eine abschließende Bemerkung... Wenn man

$\begin{eqnarray*} f(x)=(0.8x+0.2)^3 \end{eqnarray*}$

differenziert und danach x=1 setzt, sollte doch auch der Erwartungswert rauskommen...

Und mithilfe der Kettenregel abgeleitet scheint mir die Rechnung einfacher zu sein, wenn mich nicht alles täuscht... Wink

24.09.2012, 21:26

IloveNewYork

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten Post war ich nur Gast, musste mich dann für eine Antwort registrieren Augenzwinkern

Zu deiner Bemerkung, so ist es bestimmt schneller gemacht, aber wir müssen uns an die Vorgehensweise halten, die uns unser Lehrer zeigt ^^

Und nochmal Danke, muss die Aufgabe nämlich morgen auf Folie präsentieren Big Laugh

24.09.2012, 21:28

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@mystik: starke Sache ! ist mir auch neu. Wie lässt sich das begründen?

24.09.2012, 21:32

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du erst ausmultiplizierst, dann ableitest und schlußendlich dann x=1 einsetzt, steht da doch gerade die Formel für den Erwartungswert...

Rentiert sich für so eine einfache Aufgabe viellleicht noch nicht wirklich, ist aber ein Pfeil, den man jedenfalls im Köcher haben sollte... Augenzwinkern

Edit: Letztere Bemerkung nur um einer Rüge von HAL zuvorzukommen... Big Laugh

24.09.2012, 21:45

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@mystik: gut, werd ich mir (evtl. ) merken. Aber das passt doch nur "zufällig" oder?

24.09.2012, 22:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mystic lässt aber auch keine Gelegenheit aus, den Leuten sein Lieblingskind "erzeugende Funktionen" unterzujubeln - und wenn's wie hier bei der einfachen Binomialverteilung ist. Big Laugh

P.S.: Die Stochastiker arbeiten in dem Fall dann per Konvention lieber mit Argumentname $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ oder t, vermutlich als Abgrenzung zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wie sie oft die Zufallsgröße bzw. deren Werte nennen. Augenzwinkern

24.09.2012, 22:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
@mystik: gut, werd ich mir (evtl. ) merken. Aber das passt doch nur "zufällig" oder?

Doch, das funktioniert auch allgemein so:

$\begin{eqnarray*} \mu = \sum_{k=0}^n k \binom nk p^k(1-p)^{n-k}= \left[\frac d{dx}((1-p)+px)^n\right]_{x=1}= \ldots = np \end{eqnarray*}$

@HAL

Wie würdest denn du obige Formel herleiten, wenn nicht (sei es auch in versteckter Form) mit erzeugenden Funktionen? verwirrt

24.09.2012, 22:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Wie würdest denn du obige Formel herleiten, wenn nicht (sei es auch in versteckter Form) mit erzeugenden Funktionen? verwirrt

Der "rein stochastische" Zugang fasst die binomialverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ als Summe von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängigen Bernoulii- (also 0-1-)verteilten Zufallsgrößen auf, d.h. $\begin{eqnarray*} X=\sum_{i=1}^n B_i \end{eqnarray*}$ , und in dem Sinne ist dann unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} E(B_i)=(1-p)\cdot 0 + p\cdot 1 = p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)= \sum_{i=1}^n E(B_i) = np \end{eqnarray*}$ .

24.09.2012, 22:52

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

o.k. das ist aber doch die Standardherleitung des Erwartungswertes der Trefferanzahl.

steht so in jeder Formelsammlung.

24.09.2012, 22:54

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL

Ja, ich gebe zu, ich hatte die Frage falsch gestellt... Gemeint war die Herleitung über den "naiven" Zugang

$\begin{eqnarray*} \mu = \sum_{k=0}^n k \binom nk p^k(1-p)^{n-k}= \ldots = np \end{eqnarray*}$

Wäre interessant zu wissen, ob deine "rein stochastische" Version - wiewohl natürlich Standard - im Unterricht des Threaderstellers überhaupt vorkam...

Zitat:

Original von Dopap
o.k. das ist aber doch die Standardherleitung des Erwartungswertes der Trefferanzahl.

steht so in jeder Formelsammlung.

So gesehen ist es interessant, dass du das bisher nicht in die Diskussion eingebracht hast... Eigentlich wollte ich die ganze Zeit darauf hinaus, dass es da ja eine Formel für den Erwartungswert der Binomialverteilung gibt...

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit

Verwandte Themen