Scharfunktionen, dringend

04.02.2007, 13:16

King

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Scharfunktionen, dringend

Hallo.

Also ich bin Schüler in der 13.Klasse (GK) und muss mcih auf eine Arbeit vorbereiten über Scharfunktionen, sowohl ganz- als auch gebrochenrational.
Leider habe ich sogut wie keine Ahnung wie ich bei diesen Funktionen vorgehen muss.
Ich habe jetzt hier eine Übungsaufgabe inklusive der Lösungen jedoch ohne die Lösungswege. Vllt kann mir jemand den Lösungsweg erklären?
Erstmal eine ganzrationale Fkt:

$\begin{eqnarray*} ft(x) = - \frac{1}{2t²} x^{4} + \frac{1}{t} x³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R + \end{eqnarray*}$

man soll das verhalten des Graphen für $\begin{eqnarray*} x \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
die Nullstellen
den Schnittpunkt mit der y-Achse
die ersten 3 Ableitungen
die Extrempunkte
die WP
die Ortskurve aller WP
und die Funktionsgleichung der Wendetangente diskutieren

Leider finde ich keinen passenden Lösungsansatz.

Danke schonmal für etwaige Antworten!

04.02.2007, 13:20

uwe-b

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Hallo...

was genau ist denn dein Problem...

Nullstellen kannst du doch per Ausklammern berechnen...

04.02.2007, 13:23

bounce

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Hey,

Wir helfen gerne nur unter der Bedingung, dass wir es nicht vorkauen sprich also die Lösung hinblättern. Also deine Ansätze ? Wo hast du Probleme ?

cya

04.02.2007, 13:41

King

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Hi.

Ok das ist verständlich und nur die Lösungen zu wissen würde mir nichts bringen, da ich ja in der Arbeit selbst auch darauf kommen muss.
also ich versuche mal meine Ansätze soweit vorhanden zu erklären...
1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + - \infty } x \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

da n < m (n = 2, m = 3) bin mir aber überhaupt nicht sicher ob das stimmt

2. NSt ft (x) = 0

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2t²} x^{4} + \frac{1}{t} x³ = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³ * (-\frac{1}{2t²} x + \frac{1}{t}) = 0 \end{eqnarray*}$

x 1,2,3 = 0

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2t²} x + \frac{1}{t} = 0 \end{eqnarray*}$

da komme ich dann nicht weiter

3. Schnittpunkt weiß ich auch nicht wie ich den berechnen soll

4. Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f't(x) = -2t² x³ + \frac{3}{t} x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''t(x) = -6t² x² + \frac{6}{t} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''t(x) = -12t² x + \frac{6}{t} \end{eqnarray*}$

So, an den Rest habe ich mich noch nicht rangewagt, da ich mir absolut nicht sicher bin ob die Ansätze bisher stimmen.

04.02.2007, 13:45

bounce

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Okay ich rechne mal mit warte einen Augenblick

cya

04.02.2007, 13:46

uwe-b

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Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t^2}x+\frac{1}{t}=0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t^2}x=-\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

--> Multipl. mit $\begin{eqnarray*} 2t^2 \end{eqnarray*}$ ...

Schnittpkt. mit der y-Achse: f(0) berechnen...

Ableitungen stimmen...

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04.02.2007, 13:53

bounce

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Hey wenn du dann nach x umgestellt hast, kannst du ja eine Probe machen ob dein x stimmt.

04.02.2007, 14:03

King

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Ok, vielen Dank schonmal für die Antworten!

Bei Sy habe ich (0/0) raus

Die Nullstelle x4 hätte ich dann bei x = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t³} \end{eqnarray*}$

Kann das sein?
Das mit nach x umstellen kann cih leider garnich mehr Hammer

Hammer

EDIT: Ne, NST stimmen nich soll N1 (0/0) rauskommen, ok die hab ich ja mehr oder weniger
und N2 (2t/0) aber leider kp wie man da draufkommt. muss ich wohl irgendwie einsetzen???

Ich werde dann mal die Extrempunkte versuchen wenn die Ableitungen ja stimmen.

04.02.2007, 14:04

hxh

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Also Extrempunkte 1.Ableitung Null setzen
Wendepunkte 2. Ableitung Null setzen

Sy stimmt
x4= 2t du hast wohl nen fehler beim umstellen gemacht
dann schau ma weiter

04.02.2007, 14:09

bounce

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Hey na dann zeig mir doch mal wie du auf x kommst, denn ich hab was anderes raus :-)
edit: also x_4= 2t hab ich auch nicht!

04.02.2007, 14:14

King

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^^ Jap jetzt hab ichs auch. Hab erst folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t²}x = \frac{1}{t} / * 2t² \end{eqnarray*}$

X = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t3} \end{eqnarray*}$

Richtig: (glaube ich)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t²}x = \frac{1}{t} / * 2t² \end{eqnarray*}$

x= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} * 2*t*t \end{eqnarray*}$ --> t im nenner un ein t hinten kürzen sich weg
daraus ergibt sich dann:

x = 2t

richtig?

also die lösung müsste stimmen haben ein lösungsblatt von unserm lehrer bekommen, mir gehts halt um den weg

04.02.2007, 14:16

bounce

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jo sorry hab wohl das t^2 nicht mitgeschleppt smile

smile

stimmt jetzt

04.02.2007, 14:16

Pi-tsch

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Vorzeichenfehler: $\begin{eqnarray*} x_4 = -2t \end{eqnarray*}$

04.02.2007, 14:16

uwe-b

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Vorzeichen beachten!

04.02.2007, 14:19

hxh

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ALso hab die Funktion auch eingegeben und bekommen dennoch 2t raus

04.02.2007, 14:20

Pi-tsch

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Ja, sehe ich auch gerade, $\begin{eqnarray*} x_4 = 2t \end{eqnarray*}$ stimmt - habe aus dem obigen Post von uwe-b übernommen, da ist ein Fehler drin.

04.02.2007, 14:21

uwe-b

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x=2t ist richtig... Freude

Freude

04.02.2007, 14:27

bounce

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ALso noch mal zusammangefasst:

Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} N_1(0|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_2(2t|0) \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt mit der y-Achse:

$\begin{eqnarray*} S_y(0|0) \end{eqnarray*}$

Also man kann auch schreiben $\begin{eqnarray*} S_x=S_y=0 \end{eqnarray*}$

04.02.2007, 14:29

hxh

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Jop

Freude

Jetzt kannste dich an den Rest machen ist auch nicht dramatisch bekommste schon hin wenn nicht wir leisten hilfestellung

04.02.2007, 14:32

King

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Jop genau also bis hierher stimmts. Vielen dank schonmal dafür Freude

Freude

Werde mich nachher mal an den Extrempunkten weiter versuchen im mom hängts da ein bisschen. Werd die Ergebnisse dann später hier posten, vllt kann dann ja jemand nachschaun ob sie stimmen.

04.02.2007, 14:34

bounce

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jo machen wir dann viel Spass :-)

04.02.2007, 18:21

King

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So, habe mal weitergerechnet, schreibe die Lösungswege und sowohl meine Ergebnisse als auch die vom Lösungsblatt auf, da ein paar von meinen nicht stimmen ich den Fehler aber nicht finde.

5. EP:

notw. Bed:

f't (x) = 0

$\begin{eqnarray*} - 2t²x³+ \frac{3}{t} x² = 0 / : (-2t²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³-\frac{3}{2t} x² = 0 / + \frac{3}{2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³ - x² = \frac{3}{2}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{3}{2}t \end{eqnarray*}$

hinr. Bed:

$\begin{eqnarray*} f''t(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''t(\frac{3}{2}t) \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6t²*(\frac{3}{2} t) + \frac{6}{t} * (\frac{3}{2}t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{2}t² \neq 0 \end{eqnarray*}$ --> nicht sicher ob das stimmt f"t(x) ist aber jedenfalls $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ft(\frac{3}{2}t) = -\frac{1}{2t²}*(\frac{3}{2}t)^{4} + \frac{1}{t}* (\frac{3}{2}t)^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2t²} * (\frac{3}{2}t)^{4} + \frac{1}{t}*( \frac{3}{2}t)^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{81}{32}t² + \frac{27}{8}t² \end{eqnarray*}$ so, hier gehts nicht weiter es sollen $\begin{eqnarray*} \frac{27}{32} t² \end{eqnarray*}$ rauskommen

EP ( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} t² \end{eqnarray*}$ /...)

Ist laut Lösung ein Hochpunkt sieht amn das daran, das ein positives Ergebnis rauskommt? Ist sicher ne dämliche Frage aber ich weiß es echt nicht mehr unglücklich

unglücklich

WP:

notw. Bed:

$\begin{eqnarray*} f"t(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6t²x²+\frac{6}{t} x =0 / : (-6t²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-tx =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-x = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x * (x-1) = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xw1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=t/+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xw2 = t \end{eqnarray*}$

Das müsste stimmen, so stehts auch auf dem Lösungsblatt.

hinr. Bed:

$\begin{eqnarray*} f'''t(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -12t*0²+\frac{6}{t} = \frac{6}{t} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , sollte also stimmen

W1 (0/0)

$\begin{eqnarray*} xw2 = -\frac{1}{2t²} t^{4} + \frac{1}{t} t³ \end{eqnarray*}$

ich kam durch kürzen auf dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} t²+t² \end{eqnarray*}$

Ergebnis soll sein $\begin{eqnarray*} \frac{t²}{2} \end{eqnarray*}$ also W2 $\begin{eqnarray*} (t/\frac{t²}{2} ) \end{eqnarray*}$

04.02.2007, 18:56

bounce

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hey ich hab mal überflogen...

Lass uns nochmal mit den Etrempunkten anfangen, schau dir das nochmal genauer an, denn du kannst gleich was vereinfachen. Stichwort ausklammern !

lg George

edit: da kommt glaube ich was anderes raus. Ich rechne gleich mal mit aber muss mich erstmal von Handball erholen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Umformungen bei den WP's sind auch ein wenig komisch, wie dieser hier:

x^2-tx=0 wird zu x^2-x=t ??

oder auch dieser: x-1 =t | +1
dann kommst du zu x=t aber normalerweise wäre es x=t+1, wenn du es so umformst :-)

04.02.2007, 19:06

King

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Ok, stimmt. Ich könnte es auch so rechnen:

$\begin{eqnarray*} x²*(x-\frac{3}{2t}) \end{eqnarray*}$

xe1,2=0

$\begin{eqnarray*} x-\frac{3}{2} t = 0 / + \frac{3}{2} t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{3}{2} t \end{eqnarray*}$

Hab ich wohl übersehn.

Auf den y-Achsenabschnitt des EP bin cih aber immer noch nicht gekommen. also die 27 und die 32 stehn ja schon da nur halt irgendwie falsch^^ und ich weiß nicht wie ich jetzt weiterrechnen soll.

EDIT:

hmm ich hatte es auch erst anders gemacht aber dann stimmte die lösung nciht mit der auf meinem lösungsblatt überein.

hatte erst:

x^2-tx = 0 /+t

x^2+x = t

x*(x+1) =t

xw1=0

x+1=t /- 1
x=t-1 FALSCH, da xw2 = t sein soll

04.02.2007, 19:20

bounce

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zu den EP:

$\begin{eqnarray*} -2t^2x^3+\frac{3}{t}x^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2\cdot(-2t^2x+\frac{3}{t})=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$

und es bleibt:

$\begin{eqnarray*} -2t^2x+\frac{3}{t}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2t^2x=-\frac{3}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2t^3x=-3 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{2t^3} \end{eqnarray*}$

okay ich denke so müsste es stimmen, wenn net hab ich ein Brett vorm Kopp

lg

04.02.2007, 19:29

King

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hmm ne sry aber wie gesagt auf dem lösungsblatt habe ich als EP einen Hochpunkt mit den Werten $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2} t / \frac{27}{32} t²) \end{eqnarray*}$

04.02.2007, 19:32

bounce

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ja das wundert mich ja, denn ich rechne dat schon zum 2ten mal auch anders und komme immr auf das mhh ?!?

04.02.2007, 19:35

King

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Also ich denke das liegt daran das ich am Anfang durch (-2t²) geteilt habe. Also ich bin mir nichtmal sicher ob das geht aber dadurch komme ich dann auf das richtige Ergebnis von meinem Lösungsblatt, zumindest was den x-Wert betrifft.

04.02.2007, 19:41

bounce

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also ich bleibe bei meiner Vermutung, vielleicht schreibt ja ein anderer was dazu

04.02.2007, 19:45

King

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Naja ok trotzdem vielen Dank für deine Bemühungen!

04.02.2007, 19:50

bounce

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ist ja net so das ich dich jetzt heir hängen lasse aber will das schon gerne wissen, wer nun recht hat oder ob die Lösungen auf dem Blatt eventuell falsch sind und wenn meins falsch ist würde ich gerne wissen wo der Fehler liegt

greetz

04.02.2007, 19:52

derkoch

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$\begin{eqnarray*} f_t(x) = - \frac{1}{2t^2} x^{4} + \frac{1}{t} x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R + \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)= - \frac{2x^{3}}{t^2} + \frac{3x^2}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_t(x)= - \frac{6x^{2}}{t^2} + \frac{6x}{t} \end{eqnarray*}$

ET: $\begin{eqnarray*} 0= - \frac{2x^{3}}{t^2} + \frac{3x^2}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{2x^3+3x^2\cdot t}{t^2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2(-2x+3t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-2x+3t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{3t}{2} \end{eqnarray*}$

04.02.2007, 19:58

bounce

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ok @derkoch aber was ist dann bei mir verkehrt? Kannst du bitte mal rüberschauen ?

greetz

04.02.2007, 20:00

bounce

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ah schon ok. Ich glaub ich hab genug für heute..lol

04.02.2007, 20:01

derkoch

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Zitat:

Original von bounce
zu den EP:

$\begin{eqnarray*} -2t^2x^3+\frac{3}{t}x^2=0 \end{eqnarray*}$
lg

das ist bei dir verkehrt!
$\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ gehört in den nenner!

04.02.2007, 20:03

bounce

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ja ok ich lass es für heute und werde morgen die Aufgaben nachrechnen smile

smile

schön ABend noch

04.02.2007, 20:04

King

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Zitat:

Original von King

4. Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f't(x) = -2t² x³ + \frac{3}{t} x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''t(x) = -6t² x² + \frac{6}{t} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''t(x) = -12t² x + \frac{6}{t} \end{eqnarray*}$

Hieße das, die Ableitungen sind falsch @ derkoch, oder hast du einfach nur nen anderen Ansatz.
Weil das Ergebnis bezüglich EP ist ja gleich.

04.02.2007, 20:09

derkoch

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wenn die ableitungen falsch sind kann unmöglich gleiche extremwerte raus kommen! da habt ihr gewurschtel!

edit: schaue dir doch meine Ableitung und eure an! bei mir ist $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ im nenner und bei euch steht es im zähler! das ist wohl ein riesen unterschied!

04.02.2007, 20:19

King

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Ok, zu den Ableitungen. Bei der 1. hast du doch zuerst einmal $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{2t²}x³ \end{eqnarray*}$ richtig?

Wie kommt es dann das du zwar die -4/2x³ zu -2x³ kürzt, t² jedoch im Nenner stehen bleibt?

Mag sehr gut sein das du recht hast aber ich würde ganz gern verstehen wie du darauf kommst.
Nach meinem zugegeben sehr beschränkten Matheverständnis käme da eben -2t²x³... raus

04.02.2007, 20:28

derkoch

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wenn $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ schon vorher schon im nenner steht, welchen grund hast du es in den zähler zu schreiben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

bzw. welche regel bringt dich dazu es in den zähler zu schreiben!

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