Eigenwerte von symmetrischen Matrizen |
| 25.09.2012, 16:43 | Korina | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenwerte von symmetrischen Matrizen Ich habe eine Frage zu Eigenwerten(EW) von symmetrischen Matrizen und zwar: Sei eine Matrix A symmetrisch. Ich weiß dann, dass ||.||_2 = Spektralradius=max | Eigenwert | und dass Frobeniusnorm = sgrt(|EW_1|^2+...|EW_n|^2) ist siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Frobeniusnorm. Wann bedeuten diese Werte? Haben sie eine geometrische Bedeutung. Was kann ich denn für die Matrix A sagen wenn ich z.B. weiß, dass ihren spektralradius bzw. frobeniusnorm größer ist als der spektralradius bzw. frobeniusnorm von Matrix B (auch symmetrisch). Weiterhin: Was sagt mir den Wert ||A-B||_2 oder ||A-B||_Frobenius aus? Liebe Grüße und vielen Dank, Korina |
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| 26.09.2012, 23:34 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Eigenwerte von symmetrischen Matrizen Wenn du dir eine lineare Abbildung nimmst, schau dir mal das Bild der Einheitskugel unter der Abbildung an. Die Einheitskugel wird auf einen Ellipsoiden abgebildet. Der Spektralradius sagt dir dann, wie groß die Hälfte der größten Halbachse dieses Ellipsoiden ist (also der Radius der kleinsten Kugel, die das Bild umfasst). Für die Frobeniusnorm machen wir das ganze mal etwas anders: Wir gehen in die Eigenvektorbasis der Matrix (das verändert die Norm ja nicht) und betrachten das Bild des Einheitskubus (also alle Vektoren mit Komponenten <=1). Das ist dann ein größerer Kubus. Den Spektralradius ist jetzt auch noch sichtbar - das ist einfach die Hälfte der längsten Seite des Kubus (siehst du das mit oben?). Die Frobeniusnorm ist jetzt die halbe Länge der Diagonale des Bildkubus. Damit lässt sich auch ganz leicht die Frage beantworten, welche Norm größer ist - übrigens gilt die Ungleichung allgemeiner. Schließlich willst du eine Interpretation der Normdifferenzen... Tja, ich weiß nicht, ob's da so was schönes gibt. Wenn beide Matrizen dieselbe Eigenvektorbasis haben, dann kann man sich relativ leicht überlegen, was das heißt - generell sehe ich da gerade keine schöne Interpretation... Gruß MI |
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| 27.09.2012, 16:03 | Korina | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Eigenwerte von symmetrischen Matrizen Vielen Dank! Ich sehe kein Bild! Liebe Grüße, Korina |
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