Menge von Permutationen der Zahlenfolge (1,2,3,4,5)

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25.09.2012, 22:21	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von Permutationen der Zahlenfolge (1,2,3,4,5) Meine Frage: Gegeben sei die Menge II:= {id; (1 2 3); (1 3 2); (4 5)} von Permutationen der Zahlenfolge (1 2 3 4 5). a.) Welche zwei Permutationen aus II kann man verketten, um die Inverse zu (1 2 3) zu erhalten? Nennen Sie zwei Alternativen! b.) Ist die Menge mit der Verknüpfung Hintereinanderausführung eine Gruppe? Falls nein, welche Elemente fehlen mindestens zu einer Gruppe? c.) Welche Gruppen haben sich in II "versteckt", d.h. welche Teilmengen von II sind Gruppen? Meine Ideen: zu a.) Die Inverse von (1,2,3) lautet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 &5 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine zwei Permututationen ergeben die Inverse: (1,2,3)#(1,2,3) und (1,3,2)#(id) Eine andere Permutation finde ich nicht. zu b.) Eine symmetrische Gruppe S(n) für n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 3 ist nicht kommutativ. Aber bei mir kommt bei der Hintereinanderausführung von (4,5)# (1,3,2) dasselbe heraus wie (1,3,2)#(4,5). --> abelsche Gruppe ? Was muss ich beachten, damit es eine Gruppe ist? (Assoziativgesetz, Neutrales Element, Inverses Element, evtl. Kommutativgesetz) Falls nein, kann ich also nicht beantworten, da ja eine Gruppe existiert. Habe ich einen Denkfehler? zu c.) Ich habe jeweils das Signum berechnet. id = sign= 1 (1,2,3)= sign= 1 (1,3,2)= sign= -1 (4,5) = sign= -1 Eine alternierende Gruppe ist diejenige, die aus einer geraden Permutation besteht: gefunden habe ich: {id, (1,2,3)} Ich weiß nicht weiter Kann mir jemand helfen? LG Claritia
26.09.2012, 09:02	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Permutationen der Zahlenfolge (1,2,3,4,5) ad a) Inverse bildet man in Zyklenschreibweise anders, nämlich so (123) -> (321) (Reihenfolge umdrehen) -> (132) (die 1 wieder vorne hingeben!) ansonsten ist es richtig... ad b) Beliebige zwei Permutationen sollten im Fall der Kommutativität vertauschbar sein, nicht zwei selbst ausgesuchte!!! ad c) Deine "Untergruppe" {id, (1,2,3)} ist gar keine, da die Verknüpfung (1,2,3)(1,2,3) aus ihr hinausführt...
26.09.2012, 12:10	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hinweise und Tipps zu a.) ok, ich werde es anders schreiben. zu b.) Ich habe alle Kriterien für eine Gruppe durchgerechnet. Es gilt überall das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz, ebenso das neutrale und das inverse Element. Auch mit Variablen werden die Kriterien für eine Gruppe erfüllt. Damit habe ich nicht nur zwei ausgesuchte Permutationen betrachtet. Ich weiß nicht, welche Elemente fehlen und es müssen welche fehlen, sonst würde die zweite Frage bei b) keinen Sinn machen. zu c.) In einem Übungsblatt sollten wir auch Untergruppen von S3 herausfinden. Dort gab es die alternierende Gruppe S3 { id, (1,3,2), (1,2,3)}. In der aktuellen Aufgabe gibt es auch eine alternierende Gruppe: { id, (1,2,3)} Eine weitere Untergruppe: {id, (4,5), (1,3,2)}. Deren Signum ist -1 und damit eine ungerade Permutation. Ordnung 1: S1 (id) Ordnung 2: S2 (id, (1,2,3)) Ordnung 3: S3 (id, (4,5), (1,3,2)) Ordnung 4: S4 (id, (1,2,3), (1,3,2), (4,5)) Welche Untergruppe ist dann isomorph? Ich bitte um Hilfe, da ich mich auf eine Klausur (nicht vertieft) Lineare Algebra II vorbereite. Liebe Grüße Claritia
26.09.2012, 13:01	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo claritia, ich glaube, dass du z.B. bei b) die frage nicht richtig verstanden hast, es geht hier darum, welche elemente man noch hinzufügen muss, um eine gruppe zu erhalten, was ist z.B., wenn man (1,2,3) und (4,5) miteinander verknüpft, ist das ergebnis schon in der menge drin? gruss ollie3
26.09.2012, 14:32	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo olli3, wenn man (1,2,3) mit (4,5) verknüpft, ist das Ergebnis (123) wieder in der Menge. Alle anderen Verknüpfungen sind auch wieder in der Menge. Also ist die Menge mit der Verknüpfung "Hintereinanderausführung" abgeschlossen (aber ein Untergruppenkriterium). Mir ist folgender Gedanke gekommen: - Alle Kriterien einer Gruppe gelten. Somit ist die Menge II eine Gruppe. - Allerdings ist bei einer Verknüpfung „Hintereinanderausführung“ neutrales Element und inverses Element nicht notwendig. Damit ist die Menge II keine Gruppe, da inverses und neutrales Elemente fehlen. Deshalb ist dies keine Gruppe. Ist die Antwort richtig? LG claritia
26.09.2012, 15:19	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, das stimmt leider nicht, wenn man (1,2,3) und (4,5) mit einander verknüpft, ist das ergebnis nicht (1,2,3), sondern eben (1,2,3)(4,5), denn man muss ja bei den permutationen alle 5 stellen berücksichtigen, das heisst man muss also mindestens noch (1,2,3)(4,5) hinzufügen. Jetzt muss man noch überlegen, ob das ausreicht... gruss ollie3
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26.09.2012, 15:56	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
danke da habe ich einen Fehler gemacht. Ja, das Ergebnis muss richtig lauten: (1,2,3)#(4,5) - dieses Ergebnis ist nicht in der Gruppe drin. Deshalb muss man es ergänzen. Ein weiteres Ergebnis lautet: (1,3,2)#(4,5). Dies muss man auch noch ergänzen. Alle anderen Ergebnisse sind Elemente der Menge. Ich habe das bei der Überprüfung der Kommutativität herausgefunden. Bei der Prüfung der Assoziativität sind alle Ergebnisse Elemente der Menge. Insgesamt muss die Menge II nur um diese zwei Elemente erweitert werden. Stimmt das? LG Claritia
26.09.2012, 16:29	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, das müsste stimmen. Übrigens, bei einer gruppe muss das kommutativgesetz nicht unbedingt gelten, wichtig ist, das es ein neutrales element (das wäre hier id) und zu jedem ein inverses element gibt (auch zu unseren" neuen" beiden elementen (1,2,3)(4,5) und (1,3,2)(4,5)). gruss ollie3
26.09.2012, 17:26	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
danke --> hilfe zur selbsthilfe ...anstrengend aber funktioniert jetzt fehlt mir "nur" noch die c) Meine Überlegungen: Es gibt eine alternierende Gruppe: {id, (1,2,3)} Eine weitere Gruppe: {id, (4,5), (1,3,2)}. Deren Signum ist -1 und damit eine ungerade Permutation. Die trivialen Gruppen sind (id) und (id, (1,2,3), (1,3,2), (4,5)) Muss ich die in b) hinzugefügten Elemente auch hinzu fügen? Sind die Untergruppen in diesem Zusammenhang verlangt? Ordnung 1: S1 (id) Ordnung 2: S2 (id, (1,2,3)) Ordnung 3: S3 (id, (4,5), (1,3,2)) Ordnung 4: S4 (id, (1,2,3), (1,3,2), (4,5)) LG claritia
27.09.2012, 08:38	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, dann können wir das ja noch zu ende führen. Also, bei der letzten aufgabe dürfen die neuen elemente nicht benutzt werden, und es gibt tatsächlich nur 3 gruppen. Einmal die triviale einelementige gruppe, die nur aus id besteht, dann geht noch ( id, (1,2,3), (1,3,2) ) und ( id, (4,5) ). Das ist deswegen so, weil (1,3,2) das inverse zu (1,2,3) ist und (4,5) zu sich selbst invers ist. Andere möglichkeiten gibt es nicht. weil z.b. bei (id,(1,2,3)) das inverse element zu (1,2,3) fehlen würde und wir dann keine gruppe hätten.. So, jetzt hast du ja einen echten intensivkurs von mir bekommen, hoffe, das dir das was gebracht hat. Viele grüsse, ollie3
27.09.2012, 10:40	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Deine Hilfe! Du hast es gut erklärt und ich werde es nocheinmal durchdenken. Auf jeden Fall ist meine Angst vor der Klausur geschrumpft. Liebe Grüße Claritia
27.09.2012, 14:26	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ich habe die Aufgabe noch einmal durchdacht... Bei der c) ist mir aufgefallen, dass bei der Gruppe S3 {(id), (1,2,3),(1,3,2)} auch (1,3,2) zu sich selbst invers ist. Könnte dann auch S= {id, (1,3,2)} eine eigene Gruppe sein? Die Gruppenkriterien werden erfüllt: - (1,3,2) hat als neutrales Element (id) - (1,3,2) hat als inverses Element (1,3,2), also sich selbst - das Assoziativgesetz gilt: nach b) - das Kommutativgesetz gilt auch nach b) Damit wäre es auch eine abelsche Gruppe. So gäbe es vier Gruppen, die in der Menge II versteckt sind. Wenn es stimmt, hätte ich das Thema verstanden...ja? LG Claritia
27.09.2012, 14:43	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, nein, das ist leider falsch, (1,3,2) ist nicht zu sich selbst invers, sondern nur zu (1,2,3). Du kannst ja mal nachrechnen, was passiert, wenn man 2 mal hintereinander (1,3,2) anwendet, da kommt nicht id raus... Die 3 gruppen sind also doch schon vollständig. gruss ollie3
27.09.2012, 15:24	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
ok...also ich habe es nachgerechnet. Du hast Recht, es gibt nur 3 Gruppen. Da das Ergebnis der Verknüpfung (1,3,2)#(1,3,2) = (1,2,3) nicht in meiner vierten "Gruppe" drin war, ist es keine Gruppe. Jedoch würd mich noch interessieren, was das Inverse zu (1,3,2) ist. Nach meiner Rechnung kommt komischerweise $\begin{eqnarray} \pi =(1,3,2)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \pi = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 4 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi^-1 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} = (1,3,2) \end{eqnarray}$ heraus. Habe ich einen Fehler? LG Claritia
27.09.2012, 15:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benennst es zwar (in der Reihenfolge) $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi^{-1} \end{eqnarray}$ , aber die Permutationen, die du da aufgeschrieben hast gehören zu $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi^{-1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (\pi^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ Doppelt invertiert bist du natürlich wieder bei der Ausgangspermutation $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Bleiben wir beim zweiten, richtigen: $\begin{eqnarray} \pi^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 4 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ letzteres nur durch Umordnen der Spalten, so dass in der Kopfzeile 1,2,3,4,5 steht.
27.09.2012, 15:49	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
prima hab den Fehler bei mir gefunden ...hätte ich ohne Deine klare Aufstellung und Hilfe nicht gesehen. Jetzt hätte ich am liebsten noch einmal ein Übungsaufgabe für dieses Thema....kennt jemand eine Aufgabe oder ein Buch mit solch einer Aufgabenstellung? Ihr seid soo gut! LG Claritia

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