Wo sind die Funktionen stetig?

26.09.2012, 19:36

nerd18000

Wo sind die Funktionen stetig?

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe hier folgende Funktionen $\begin{eqnarray*} (g,h:\mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} g(x,y) := \begin{cases}<br /> \frac{xy^{2} }{x^{2}-8x+16+y^{2}} , & y \ne 0 \\<br /> 0, & y=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} h(x,y) := \begin{cases}<br /> \frac{(xy+3y)(4xy^{2}+3y^{3}+12y^{2}) }{(x+3)^{4}+y^{4} } , & (x,y) \ne (-3,0) \\<br /> 0, & (x,y)=(-3,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
g und h sind außer in den Punkten (x,0) bzw. (-3,0) stetig weil es nur Hintereinanderausführungen von stetigen Funktionen sind.

Ich habe hierzu Lösungen, aber weil sie mir nicht richtig erscheinen wollte ich fragen ob es wirklich so ist, dass g im Punkt (x,0) nicht stetig und h im Punkt (-3,0) stetig ist

Danke für eure Antworten!

26.09.2012, 21:39

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wo sind die Funktionen stetig?
Hallo,

den Bruch in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann man umschreiben zu
$\begin{eqnarray*} \frac{xy^2}{(x-4)^2+y^2}\,. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} x\neq4 \end{eqnarray*}$ kannst du den Nenner per $\begin{eqnarray*} (x-4)^2+y^2\geq(x-4)^2 \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen. Der Rest ist klar?

In $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ kannst du ähnlich abschätzen, verwende, dass $\begin{eqnarray*} \max\{x-3,y\}\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x-3,y)\to(0,0) \end{eqnarray*}$ .

mfg,
Ché Netzer

26.09.2012, 21:45

nerd18000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wo sind die Funktionen stetig?
Danke! Freude

das heißt beide sind stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ?

26.09.2012, 21:47

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wo sind die Funktionen stetig?
Nein, die erste nicht überall. Wie hast du da denn gerechnet?

26.09.2012, 22:35

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite ist auch nicht überall stetig, betrachte dazu mal

$\begin{eqnarray*} h\left(\frac 1n -3, \frac 1n\right) \end{eqnarray*}$

26.09.2012, 22:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist
$\begin{eqnarray*} h(x,y)=\frac{y^3(x+3)(4(x+3)+3y)}{(x+3)^4+y^4} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x,y\neq(-3,0) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist
$\begin{eqnarray*} h\left((\tfrac1n-3,\tfrac1n\right)=\frac{\tfrac1{n^3}\tfrac1n(4\tfrac1n+3\tfrac1n)}{\tfrac1{n^4}+\tfrac1{n^4}}=\frac{7\tfrac1{n^5}}{2\tfrac1{n^4}}\to0\,. \end{eqnarray*}$
Oder?

26.09.2012, 23:38

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, du hast natürlich recht. Ich war beim Einsetzen der Folge ein wenig unachtsam. Sorry, für das Dazwischenquatschen.

27.09.2012, 10:48

nerd18000

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei a) habe ich das so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ( \frac{xy^2}{(x-4)^2+y^2} )= 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \text{für} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x\neq 4 \end{eqnarray*}$

für (x,y) = (4,0) ist die Funktion nicht definiert, daher stellt sich die Frage der Stetigkeit nicht.

meinst du diesen Punkt von g oder gibt es noch einen Punkt wo g nicht stetig ist?

mfg

27.09.2012, 10:56

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Definition ist doch aber $\begin{eqnarray*} g(4,0)=0 \end{eqnarray*}$ , an der Stelle ist die Funktion also sehr wohl definiert.

Aber du kannst auch nicht einfach nur EINE Variable gegen Null laufen lassen.

27.09.2012, 11:13

nerd18000

Auf diesen Beitrag antworten »

achso:

g(4,0) = 0 aber g(4,1/n) = 4 => nicht stetig im Punkt (4,0)

(...und beim Limes wollt ich natürlich y gegen 0 gehen lassen, aber das kann man so anscheinend eh nicht machen.)

27.09.2012, 11:16

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht das schon eher.
Wenn du Unstetigkeit zeigen willst, genügt aber wiederum eine Folge, d.h. hier könntest du auch $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to0}g(4,y) \end{eqnarray*}$ verwenden.

27.09.2012, 12:00

nerd18000

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich es mir gerade nochmal angeschaut und ich komm leider unglücklich

noch nicht drauf, was ich von folgender Abschätzung habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^{2} }{(x-4)^{2}+y^{2} } \leq \frac{xy^{2}}{(x-4)^{2}} \end{eqnarray*}$

bitte gib mir noch einen (hoffentlich letzten ;-) Wink in die richtige Richtung.

27.09.2012, 12:03

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \frac x{(x-4)^2}y^2\,? \end{eqnarray*}$
Du sollst dich an einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x,0)\neq(4,0) \end{eqnarray*}$ annähern und zeigen, dass der Grenzwert dann Null ist.

01.10.2012, 10:26

nerd18000

Auf diesen Beitrag antworten »

okey, mir sind hier leider noch ein paar sachen unklar unglücklich

also wäre es, super wenn mir noch jemand folgendes beantworten könnte.

1)
$\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow x\neq 4 \wedge b_{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

dann versteh ich nicht wieso man folgendes nicht machen kann. schließlich ist ja jede reelle zahl mal 0 immer 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x-4)^{2}} \end{eqnarray*}$ ist ja bloß eine reelle zahl

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } g(a_{n} ,b_{n}) = \lim_{n \to \infty }(\frac{a_{n} }{(a_{n} -4)^{2} +b_{n} ^{2} }* b_{n} ^{2})= \frac{x}{(x-4)^{2}} * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

2)

Zitat:

Original von Che Netzer
den Bruch in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann man umschreiben zu $\begin{eqnarray*} \frac{xy^2}{(x-4)^2+y^2}\,. \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} x\neq4 \end{eqnarray*}$ kannst du den Nenner per $\begin{eqnarray*} (x-4)^2+y^2\geq(x-4)^2 \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen. Der Rest ist klar? In $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ kannst du ähnlich abschätzen, verwende, dass $\begin{eqnarray*} \max\{x-3,y\}\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x-3,y)\to(0,0) \end{eqnarray*}$ .

hier ist mir unklar wieso es anscheined ausreicht, dass man dass ganze nur nach oben abschätzt. wenn man eine grenzwert haben will, muss man doch nach oben und nach unten abschätzen, um den grenzwert "einzuschachteln".

...und außerdem sollte es bei $\begin{eqnarray*} \max\{x-3,y\} \end{eqnarray*}$ nicht zufällig $\begin{eqnarray*} \max\{x+3,y\} \end{eqnarray*}$ heißen. das würde für mich mehr sinn ergeben?

01.10.2012, 10:29

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von nerd18000
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } g(a_{n} ,b_{n}) = \lim_{n \to \infty }(\frac{a_{n} }{(a_{n} -4)^{2} +b_{n} ^{2} }* b_{n} ^{2})= \frac{x}{(x-4)^{2}} * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Ja, so ginge das auch.

Zitat:

hier ist mir unklar wieso es anscheined ausreicht, dass man dass ganze nur nach oben abschätzt.

Betrachte $\begin{eqnarray*} \lvert h(x,y)\rvert \end{eqnarray*}$ .
Und ja, das sollte $\begin{eqnarray*} x{\color{red}+}3 \end{eqnarray*}$ sein smile

02.10.2012, 12:19

nerd18000

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo che,

danke erstmal für deine geduld!!

geht das ganze so:

$\begin{eqnarray*} (x,y) \rightarrow (-3,0) \Rightarrow |(x,y) - (-3,0)| < \delta \Rightarrow |x+3|< \delta \wedge |y|< \delta \Rightarrow m:=max\left\{ x+3,y\right\} \rightarrow 0 \Rightarrow |m|< \delta \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \leq \frac{ \epsilon}{7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |h(x,y)-h(-3,0)|= |\frac{y^{3} (x+3)(4(x+3)+3y)}{(x+3)^{4}+y^{4} } |\leq |\frac{m^{4}(7m) }{m^{4}} |= 7|m|\leq 7 \delta \leq \frac{7 \epsilon}{7} = \epsilon \end{eqnarray*}$

oder ist es so besser:

$\begin{eqnarray*} |h(x,y)|\leq 7|m| \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \rightarrow (-3,0) \end{eqnarray*}$

mfg

02.10.2012, 12:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...
Das sieht aus, als würde es in die richtige Richtung gehen, aber irgendwie werden da nur Gleichungen aneinandergereiht.

Aus $\begin{eqnarray*} (x+3,y)\to0 \end{eqnarray*}$ folgt recht eindeutig $\begin{eqnarray*} m:=\max\{\lvert x+3\rvert,\lvert y\rvert\}\to0 \end{eqnarray*}$ . Das muss eigentlich nicht großartig begründet werden... Ansonsten kann man meinetwegen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die Maximumsnorm verwenden.

Dann ist für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lvert h(x,y)\rvert\leq\frac{\lvert y^3(x+3)\rvert}{(x+3)^4+y^4}\left(\lvert 4(x+3)\rvert+\lvert 3y\rvert\right) \end{eqnarray*}$
Den Nenner schätzt man folgendermaßen ab:
$\begin{eqnarray*} (x+3)^4+y^4=\left(\min\{x+3,y\}\right)^4+\left(\max\{x+3,y\}\right)^4\geq m^4\,. \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} \lvert h(x,y)\rvert\leq\frac{m^3m}{m^4}\left(4m+3m\right)=7m\to0=h(-3,0),\ (x,y)\to(-3,0)\,. \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Wo sind die Funktionen stetig?

Verwandte Themen