Vollständige Induktion

26.09.2012, 22:35

test123

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Vollständige Induktion

hallo ich hab mich etwas mit vollständiger induktion beschäftigt aber so richtig ist der groschen nicht gefallen! mittlerweile weiss ich das das prinzip darauf berhuht das wenn es für n gilt das es auch für n+1 gelten muss/ sollte .
iA ist klar man setzt das kleinste n ein und überprüft die aussage stimmt sie kann man weiter gehen und erstellt eine induktionsschritt mit der induktionsannahme und der vorraussetzung! soweit das theoretische!

so fangen wir mal mit einer leichten aufgabe an
n^{2}> n+1 n^{2}\geq 2

nun erst überprüfen wir die bedingung und es kommt
4>3 raus und das ganze stimmz schon mal!

nun macht man den IS indem man für alle n = n+1 setzt
(n+1)^{2}>(n+1)+1
ab diesem zeitpunkt verstehe ich nicht ganz was ich machen soll! bzw wo genau der beweis liegen muss! wenn ich weiter rechne kommt nach der binomischen formel
n^{2}+2n+1>(n+1)+1 raus ! das der erste teil grösser als der zweite teil ist sieht man schon. aber ich glaube nicht das es jetzt schon bewiesen ist!
man könnte die 1 subtrahieren !
aber ist das schon der beweiss????

26.09.2012, 22:40

test123

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es heist n^{2}> n+1

n^{2}\geq 2

26.09.2012, 22:42

lgrizu

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von test123

$\begin{eqnarray*} n^{2}> n+1 n^{2}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Das willst du zeigen? Stimmt nicht, es ist docheigentlich klar, dass n² stets kleiner ist, als n² mit irgendeiner natürlichen Zahl addiert, oder? verwirrt

verwirrt

Zitat:

nun macht man den IS indem man für alle n = n+1 setzt
(n+1)^{2}>(n+1)+1

Das ist auch Blödsinn, dass man einfach überall wo ein n steht, einfach n+1 einsetzt....
Dann wäre das ganze witzlos.

Aber poste vielleicht erst mal die richtige Aufgabe, dann können wir ja schauen...

Edit: Okay...

Zitat:

Original von test123
es heist $\begin{eqnarray*} n^{2}> n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{2}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Stimmt aber beides auch nicht für n=1.....

Also, was willst du zeigen?

26.09.2012, 22:45

test123

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der formeleditor zeigt mir das ganze richtig an aber irgendwie bekomme ich einen falschen output

26.09.2012, 22:47

lgrizu

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Du musst das ganze, damit es in den Beiträgen interpretiert werden kann als Latex code auch entsprechend kennzeichnen, sprich, in Latex-tags einbinden, also folgendermaßen:

code:
1:	[latex] Hier kommt der Code hin [/latex]

26.09.2012, 22:47

test123

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das n^2 soll ja auch >= 2 sein

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26.09.2012, 22:49

lgrizu

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Ja, das habe ich gesehen, aber für n=1 stimmt das einfach nicht, denn es ist $\begin{eqnarray*} 1^2 =1 \end{eqnarray*}$ und das ist mit Sicherheit nicht größer oder gleich 2.....

26.09.2012, 22:51

test123

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$\begin{eqnarray*} n^{2}>n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall n^{2}\geq 2 \end{eqnarray*}$

26.09.2012, 22:57

lgrizu

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Versuch es doch einfach mit folgender Aussage:

$\begin{eqnarray*} n^2 > n+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , das sollte dann auch passen.

Okay, haben wir schon mal die Aussage, die bewiesen werden soll.

Nun mach die Induktion einmal sauber vor, jedenfalls so weit du kommst.

26.09.2012, 23:07

test123

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$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}>(n+1)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{2} +2n+1^{2}>(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ da könnte man dann noch die 1 subtrahieren, aber ob es sinn macht weiss ich nicht da es eigentlich schon ersichtlich ist das $\begin{eqnarray*} n^{2} +2n+1 \end{eqnarray*}$ grösser als $\begin{eqnarray*} (n+1)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{2} +2n^{2}>(n+1) \end{eqnarray*}$ würde übrig bleiben

die frage bleibt ist es damit bewiesen??

26.09.2012, 23:09

lgrizu

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Ich habe absichtlich sauber fett und kursiv gedruckt, das ist allenfalls hingeschmiert, eine Induktion beginnt immer mit dem Induktionsanfang, wie schuat der aus?

Und nein, bewiesen hast du nichts, du hast einfach n+1 überall eingesetzt, das beweist gar nichts....

Der Induktionsschluss geht von n--> n+1 unter der Annahme, dass es bereits für ein festes aber beliebiges n gezeigt wurde.

Jetzt bitte mal sauber anfangen!

26.09.2012, 23:29

test123

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beweis mit der vollständigen induktion

$\begin{eqnarray*} n^{2}>n+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n^{2}\geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{2} > 2+1 = 4>3 \end{eqnarray*}$ diese aussage ist somit richtig

nun gehen wir über zum IS aus n wird n+1
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}>(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

wir rechnen das ganze aus im ersten teil ist es eine binomische formel und wir erhalten
$\begin{eqnarray*} n^{2} +2n+1^{2}>(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

so wir könnten nun die 1 subtrahieren und würden
$\begin{eqnarray*} n^{2} +2n>(n+1) \end{eqnarray*}$
erhalten!
ich hoffe ich hab es halbwegs gut ausführen können, so das die schritte verständlich sind!
möchte auch nicht die aufgaben gelöst bekommen, sondern verstehen was ich dort mache!

26.09.2012, 23:34

lgrizu

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Zitat:

Original von test123

nun gehen wir über zum IS aus n wird n+1
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}>(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

Du hast auf beiden Seiten einfach n+1 eingesetzt, das geht so nicht.

Setze einmal auf der linken Seite n+1 ein und rechne das aus bis zu einem Punkt, an dem die die Annahme benutzen kannst.

26.09.2012, 23:47

test123

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jetzt verstehe ich nicht genau was von mir gewünscht ist!

$\begin{eqnarray*} n^{2} +2n \end{eqnarray*}$ kann ich doch benutzen(???) könnte da doch irgendeine natürliche zahl einsetzen und gegenrechnen ob meine IS in kombination mit der annahme stimmt??

es dauert etwas länger, versuche deinen hinweis zu verstehen

26.09.2012, 23:57

test123

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$\begin{eqnarray*} ( n+1)^{2} +2(n+1)=( n+1)^{2} +2n+2=( n+1)^{2}+((n+1)+1) \end{eqnarray*}$
sollte das etwa so aussehen??

26.09.2012, 23:58

lgrizu

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Also, wir nehmen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir die Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} n^2>n+1 \end{eqnarray*}$ , also ist nach Vorraussetzung

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 > (n+1)+2n+1=((n+1)+1)+2n \end{eqnarray*}$

So, nun noch den letzten Schritt.....

27.09.2012, 00:06

test123

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verstehe ich grad nett!!! jetzt bitte ich mal um eine genauere ausführung was da jetzt passiert ist! wo genau der beweis sein soll. bitte einmal für idioten die um die uhrzeit sich mit mathe rumschlagen

27.09.2012, 00:18

test123

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wieso wird das n^{2} zu (n+1) mit welcher begründung??

27.09.2012, 00:23

lgrizu

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Als Hinweis: setze dich einmal ausführlich mit dem Beweismittel der vollständigen Induktion auseinander, das kann dieses Forum nicht leisten.

Aber isch gebe mir einmal Mühe und mache dir den Beweis mit Erklärung vor.

Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} n^2 \geq n+1 \end{eqnarray*}$ für n>1

Induktionsanfang: n=2

$\begin{eqnarray*} 2^2 =4 \geq 3=2+1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss: n --> n+1

Die Annahme sei für ein festes aber beliebiges n bewiesen.

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Nun ist nach Annahme $\begin{eqnarray*} n^2 \geq n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{n^2}_{\textbf{Dieses }n^2}+2n+1 \geq \underbrace{(n+1)}_{\textbf{....ist größer als dieses n+1.}} + 2n +1 \end{eqnarray*}$

da alle Summanden positiv sind und wie gesagt $\begin{eqnarray*} n^2>n+1 \end{eqnarray*}$ ist (nach annahme).

Umstellen auf der rechten Seite ergibt $\begin{eqnarray*} \underbrace{((n+1)+1)}_{\textbf{Das ist das, was wir haben wollen}}+2n \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} 2n>0 \end{eqnarray*}$ für alle n, also ist $\begin{eqnarray*} ((n+1)+1)+2n>(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, das ist verständlich.

Allgemein muss man immer einen Punkt finden, an dem man die Induktionsvorraussetzung benutzt unter der Annahme, dass es für ein festes aber beliebiges n bewreits gezeigt wurde.
Das Prinzip ist zählen.

Es gilt für n=2, dann auch für n=3.
Es gilt für n=3, dann auch für n=4 usw.

Also gilt es für alle n>1.

27.09.2012, 00:37

test123

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ich danke dir erst mal!!!!! vielen vielen dank das du dir die zeit nimmst!!!!
so wie ich es momentan verstanden habe muss ich versuchen beide seiten "gleich " zu bekommen und wenn dann auf der grösseren seite + irgendwas steht hat man das bewiesen das es grösser ist ! ich lass es jetzt erst mal ruhen und schau es mir morgen abend nochmal genauer an! fals du ne kleine übüng für mich hast kannst sie gerne reinschreiben!!irgendwann muss ich es verstehen!!
danke gute nacht

27.09.2012, 11:29

lgrizu

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Okay, diese Ausführungen verstehe ich nicht.

Induktion benutzt man, um eine Aussage zu beweisen.

Genausogut kann man die Aussage beweisen, dass die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ist, dass also die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Elemente hat.

....oder halt andere Aussagen, wie zum Beispiel den Fundamentalsatz der Arithmetik (ausgenommen der Eindeutigkeit) lassen sich prima mit Induktion beweisen.

Sind auch zwei ganz interessante Übungen, weil nicht soooo trivial, wie die von dir gestellten Aufgaben.

27.09.2012, 21:25

test123

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mal schauen ob ich es ansatzweise verstanden habe!

$\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n+3~\forall n^{2} \geq 3 \end{eqnarray*}$

induktionanfang

$\begin{eqnarray*} 3^{2} \geq 2*3+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9 \geq 9 \end{eqnarray*}$ somit stimmt diese aussage

induktionsschritt n wird zu n+1
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}= n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$

nun kommt der part wo die erleuchtung noch etwas fehlt!!!
für $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}= n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$ darf ich 2n+3 einsetzen weil $\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n+3 \end{eqnarray*}$ das unsere vorraussetzung ist und es dafür bewiesen ist!

dann kommt raus (2n+3)+2n+1
$\begin{eqnarray*} (2n+3)+2n+1\geq 2n+3 \end{eqnarray*}$ da 2n+1>0 ist für alle n

oder?

EDIT(Helferlein): Latexcode korrigiert. Umlaute versteht Latex nicht.
Prinzipiell würde ich empfehlen auf Text in der Latexklammer zu verzichten, da dies meistens unschön aussieht.

27.09.2012, 22:00

test123

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für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ soll es heissen !!!

danke an den mod der es korriegiert hat! meine korrektur ging voll daneben

27.09.2012, 22:32

lgrizu

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Zitat:

Original von test123
mal schauen ob ich es ansatzweise verstanden habe!

$\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n+3~\forall n^{2} \geq 3 \end{eqnarray*}$

induktionanfang

$\begin{eqnarray*} 3^{2} \geq 2*3+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9 \geq 9 \end{eqnarray*}$ somit stimmt diese aussage

induktionsschritt n wird zu n+1
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}= n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal in Ordnung, wenn es oben $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ heißen soll.

Zitat:

Original von test123
nun kommt der part wo die erleuchtung noch etwas fehlt!!!
für $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}= n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$ darf ich 2n+3 einsetzen weil $\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n+3 \end{eqnarray*}$ das unsere vorraussetzung ist und es dafür bewiesen ist!

dann kommt raus (2n+3)+2n+1
$\begin{eqnarray*} (2n+3)+2n+1\geq 2n+3 \end{eqnarray*}$ da 2n+1>0 ist für alle n

oder?

Das ganze ist sehr konfus, und am Ende möchte man dann haben $\begin{eqnarray*} ... \geq 2(n+1)+3 \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also die Ungleichungs- bzw. Gleichungskette

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \underbrace{ \geq }_{\textbf{nach Induktionsvorraussetzung ist }n^2 \geq 2n+3 \textbf{ und alle anderen Summanden sind positiv}} 2n+3+2n+1 \geq ...... \geq 2(n+1)+3=2n+5 \end{eqnarray*}$

Da, wo die Punkte sind fehlt noch ein bisschen, ist aber ganz einfach:
$\begin{eqnarray*} n \geq 3 \Rightarrow 2n \geq 6 \end{eqnarray*}$ , und damit haben wir das gewünschte.

Ein bisschen mehr Sorgfalt.....

27.09.2012, 23:25

test123

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naklar jetzt sehe ich auch den fehler hab vergessen die rechte seite n wird zu n+1 zu machen!! Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} (2n+3)+2n+1\geq 2(n+1)+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2n+3)+2n+1\geq 2n+2+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2n+3)+2n+1\geq 2n+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2n+4+2n \geq 2n+5 \end{eqnarray*}$ so wenn ich nun -2n und -4 mache bleibt
doch $\begin{eqnarray*} 2n \geq 1 \end{eqnarray*}$ oder bin ich mit dem schritt total falsch und überflüssig??

hat mich etwas verwirrt das
$\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ (ok ist gegeben)
$\begin{eqnarray*} 2n \geq 6 \end{eqnarray*}$ ( woher kommt das einfach mal 2 genommen oder irgenwo ausgerechnet?)

27.09.2012, 23:38

lgrizu

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Genau, einfach mit 2 multipliziert.

Jetzt nicht großartig umformen, wir hatten es doch bereits.

Wir beginnen links und setzen da n+1 ein, dann formen wir so lange um, bis wir rechts auch den Ausdruck haben, in dem n+1 anstelle von n steht, das war es dann schon.

Also:

Induktionsanfang:

Ist klar

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \underbrace{ \geq}_{\begin{matrix} \textbf{hier wenden wir} \\ \textbf{die Induktionsvorraussetzung an} \\ n^2 \geq 2n+3 \\ \textbf{alle anderen Summanden sind positiv}\end{matrix}} (2n+3)+2n+1=2n+4+2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2(n+1)+2+2n \underbrace{ \geq}_{ \begin{matrix} \textbf{Nun ist } n \geq 3 \\ \textbf{und damit } 2n \geq 6 \end{matrix}}2(n+1)+2+6 \geq \underbrace{2(n+1)+3}_{\begin{matrix}\textbf{und das ist die rechte Seite} \\ \textbf{wo n+1 anstelle von n steht}\end{matrix}} \end{eqnarray*}$

28.09.2012, 00:36

test123

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das prinzip ist im groben klar, meine ausführung einfach nur ungenügend!
forme falsch um bzw erkenne nicht wie das ergebnis auszusehen hat!

weiss nicht ob ich mich jetzt blöd anstelle oder ob es normal ist, am anfang ! auch üben ist etwas schwierig da man aufgaben sich nicht einfach so aus den ärmeln schütteln kann! werde mal etwas im www schauen !

ich danke das du dir die zeit genommen hast und dir die mühe gemacht hast mir das prinzip etwas näher zu bringen!! Freude

Freude

28.09.2012, 11:31

lgrizu

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Zitat:

Original von lgrizu
Genausogut kann man die Aussage beweisen, dass die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ist, dass also die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Elemente hat.

....oder halt andere Aussagen, wie zum Beispiel den Fundamentalsatz der Arithmetik (ausgenommen der Eindeutigkeit) lassen sich prima mit Induktion beweisen.

Hier sind doch bereits zwei mögliche Aussagen, die man mit Induktion beweisen könnte...

28.09.2012, 20:03

test123

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wenn du mir das ganze als aufgabe formulierst versuche ich es!

28.09.2012, 20:32

Math1986

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Zitat:

Original von test123
wenn du mir das ganze als aufgabe formulierst versuche ich es!

Zu zeigen:
Die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge ist $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Dies kann man altervativ auch ohne Indunktion zeigen (Binomialkoeffizient + Binomischer Lehrsatz).

01.10.2012, 23:15

test123

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da ich keinen mathemathischen ausdruck bekommen habe versuche ich es selbst zu definieren

lautet die aufgabe $\begin{eqnarray*} 2n=2^{n} \end{eqnarray*}$ ??
möchte das prinzip wirklich verinnerlichen, verstehen und auch anwenden können!! bitte um hilfe

02.10.2012, 00:17

DarthVader

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Zitat:

Zu zeigen:
Die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge ist $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$

Das kann man auch so schreiben, wenn du einen mathematischen Ausdruck haben willst:

$\begin{eqnarray*} |P(X)|=2^{|X|} \end{eqnarray*}$

Dabei ist X eine beliebige Menge mit n-Elementen. P(X) ist die Menge aller Teilmengen von X (auch Potenzmenge genannt). Und mit |X|=n ist die Anzahl gemeint.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} X=\left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow | X |=n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X)=\left\{ \left\{ \right\}, \left\{ 1\right\}, \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\}, \left\{ 1,2\right\}, \left\{ 1,3\right\}, \left\{ 2,3\right\}, \left\{1,2,3\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow | P(X) |=8=2^{3} \end{eqnarray*}$

Du sollst nun zeigen, dass dies für alle Mengen mit n Elementen gilt.

02.10.2012, 20:21

test123

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weiss grad nicht wie ich anfangen soll ! bin mit der aufgabenstellung etwas überfordert aber ich versuche es mal!

$\begin{eqnarray*} | P(n) | =2^{|n|} \end{eqnarray*}$ so nun muss ich doch den nachfolger bestimmen n wird zu n+1

$\begin{eqnarray*} | P(n+1) | =2^{|n+1|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | P(n)+p | =2^{|n+1|} \end{eqnarray*}$
laut vorraussetzung ist
$\begin{eqnarray*} |2^{|n|}+ p | =2^{|n+1|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |2^{|n|}+ p | =2^{|n|}+ 2^{|+1|} \end{eqnarray*}$
soweit mein ansatz wie es weiter geht kann ich grad nicht sehen nach den vorherigen mustern sollte ich jetzt irgendwas für p einsetzen können,
um eine gleichnung zu bekommen! da die vorraussetzung( = )i st müste dort irgendwie
$\begin{eqnarray*} 2^{|+1|} \end{eqnarray*}$ eingesetzt werden!

02.10.2012, 20:39

test123

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$\begin{eqnarray*} |2^{|n|}+ p | =2^{|n|}+ 2^{|+1|} \end{eqnarray*}$ ist so nicht richtig
es muss
$\begin{eqnarray*} |2^{|n|}+ p | =2^{|n|}* 2^{|+1|} \end{eqnarray*}$ heissen
oder??
somit wäre mein ansatz völlig falsch

03.10.2012, 17:49

DarthVader

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Hallo,

entschuldige die späte Antwort. Wo kommt denn das p bei dir her? Mach dir klar das X eine Menge mit n Elementen ist und nun konstruiere eine Menge X' mit n+1 Elementen. Dann solltest du schauen wie man die Induktionsvoraussetzung da einbauen kann. Da du in die Hochschulmathematik gepostet hast sollten dir die Mengenoperationen klar sein.

Btw:
Ich finde die Aufgabe übrigens recht kniffelig, wenn man das Prinzip der Induktion noch nicht verinnerlicht hat. Aber bleib am Ball =)

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