Lineares Gleichungssystem nach Bedingungen lösen |
| 27.09.2012, 15:56 | epsilonxyz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineares Gleichungssystem nach Bedingungen lösen Wir haben als eine Aufgabe in unserer ersten Serie in linearer Aufgabe, dass wir das System: x + ay + a^2z = 2 ax + y + a^2z = 2 a^2 + ay + z = 2 lösen, und zwar sollen wir die a so wählen, dass das Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. Den Begriff des Ranges haben wir noch nicht behandelt. Ich weiss, das eine Lösung bedeutet, dass man das System eindeutig lösen kann, unendlich viele bedeutet, dass man die Variablen teilweise frei wählen kann und keine Lösung heisst, dass man einen Widerspruch produziert. Man könnte das Ganze auch als Matrix aufschreiben, aber unser Assistent hat uns den Tipp gegeben, dass wir uns 1 - a^3 = (1-a)(a^2 + a +1) und 1-a^2 = (1-a)(1+a) anschauen sollen. Ich habe aber keine Ahnung, wie vorgehen. Habt ihr mir vielleicht einen Tipp? |
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| 27.09.2012, 18:10 | epsilonxyz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ihr könnt mir auch nur einen kleinen Tipp geben, ich werde es dann schon zu gut wie möglich selbstständig probieren! |
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| 27.09.2012, 20:50 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt schon eine ganze Menge. Wenn Du dann noch die erste und dritte nutzt, hast Du die Aufgabe schon fast gelöst. |
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| 29.09.2012, 17:08 | epsilonxyz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für den Tipp. Ich hab folgendes gerechnet - keine Ahnung ob es stimmt: Für die bereits oben genannten Gleichungen: (I) x + ay + a^2z = 2 (II) ax + y + a^2z = 2 (III) a^2 + ay + z = 2 hab ich zuerst (I) - (II) gerechnet und erhalte: x - ax + ay - y = 0 <-> x(1-a) + y(a-1) = 0 dann rechne ich (I) - (III) und erhalte x - a^2 + a^2z - z = 0 <-> x - a(a+z) - z = 0 Daraus schliesse ich folgendes: (i) Wenn a = 1, dann muss x = 1 sein - y und z jedoch können beliebig sein -> unendlich viele Lösungen. Wenn a = -1, dann müssen x und y = 0 sein. z darf beliebig sein, also haben wir wieder unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. (ii) Wenn a nicht -1 oder 1 ist, dann müssen x,y,z = 0 sein -> genau eine Lösung (iii) wenn (i) und (ii) nicht erfüllt sind, haben wir keine Lösung. Stimmt das? Danke euch! |
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| 30.09.2012, 00:20 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast Du Dich vertan (letzteres ist x-a²-az-z), wie vermutlich auch schon in der Aufgabenstellung. Ich gehe nämlich stark davon aus, dass in der dritten Gleichung ein x hinter dem a² fehlt. Ansonsten gäbe es ein sehr krummes (nur mit Näherungsverfahren zu berechnendes) a, das bei der Fallunterscheidung zu berücksichtigen ist. Bitte kläre das zunächst ab. |
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| 30.09.2012, 14:35 | epsilonxyz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ou ja, ich hab mich wirklich vertan, bitte entschuldige! Korrekt wäre es wie du sagst: (I) x + ay + a^2z = 2 (II) ax + y + a^2z = 2 (III) a^2x + ay + z = 2 Damit erhalte ich für (I) - (II): x(1-a)(1+a) + z(a-1)(a+1) = 0 und (I) - (III): x(1-a)(1+a) + z(a-1)(a+1) = 0 Woraus ich folgere, dass für a = 1 oder -1 x und z beliebig sein können. y steht bei meinen Ergebnissen zwar nirgends mehr, ist jedoch dennoch nicht beliebig sondern durchaus von den konkreten Werten von x und z abhängig, oder? ..y wäre damit (2-a^2x-z)/(a). Stimmt das soweit? Danke |
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| 01.10.2012, 11:23 | epsilonxyz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
..und? Stimmt das? |
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| 01.10.2012, 13:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist beides (I)-(III). Was deine Folgerung die "Beliebigkeit von x,z" bei a=+-1 betreffend: Das stimmt so nicht, es bedeutet zunächst nur, dass du aus der Differenz da keine Bedingung an x,z ableiten kannst - mehr nicht. Es ist sicher zweckmäßiger, wenn du das GLS per Gauß in Zeilenstufenform bringst. |
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