Seltsames Ergebnis Logarithmen

27.09.2012, 17:48

Silas.H

Seltsames Ergebnis Logarithmen

Wenn ich $\begin{eqnarray*} 2^{x}=8 \end{eqnarray*}$ rechne, indem ich den $\begin{eqnarray*} log_{2} \end{eqnarray*}$ nehme, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} x=\frac{8}{log_{2}2}=8 \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber den Zehnerlogarithmus nehme, komme ich auf die richtige Zahl für x, nämlich 3.
Wieso geht das oben nicht mit der Basis 2, das sollte doch gehen?

27.09.2012, 17:50

kgV

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Warum hast du auf die 8 nicht den Logarithmus angewandt verwirrt

Da würde es dann klappen Augenzwinkern

Lg
kgV

27.09.2012, 17:53

Silas.H

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Natürlich würde es dann klappen Augenzwinkern

Ich habe einfach vergessen, $\begin{eqnarray*} log_{2} \end{eqnarray*}$ auf die 8 anzuwenden.
Mensch ich bin zu müde, tut mir leid^^

27.09.2012, 17:54

tom75

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RE: Seltsames Ergebnis Logarithmen
Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x=\frac{8}{log_{2}2}=8 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2^{x}=8 \end{eqnarray*}$

(auf beiden Seiten) mit $\begin{eqnarray*} log_{2} \end{eqnarray*}$ logarithmierst, steht

$\begin{eqnarray*} x={log_{2}8}=3 \end{eqnarray*}$ da.

27.09.2012, 17:54

kgV

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Gern geschehen smile

27.09.2012, 18:01

Silas.H

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Andere Frage, warum darf die Basis bei einer Exponentialfunktion nicht 0 oder negativ sein?
Die Vorschrift ist doch f(x)=a^x (a grösser 0)

27.09.2012, 18:17

kgV

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Bei 0^x oder negativen basen würdest du Probleme bekommen, wenn es um die Logarithmen geht, denn die sind nur für positive Zahlen definiert

27.09.2012, 19:14

Silas.H

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Ach so

27.09.2012, 21:38

Silas.H

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Ich habe hier eine Exponentialgleichung, die ich beim besten Willen nicht lösen kann...
Erst ein mal im Vornherein: Wie ist allgemein das Vorgehen, wenn ich mit solchen Gleichungen und Logarithmen arbeite, ich weiss schon mal gar nicht, wie man anfangen muss und wie man auf die einzelnen Schritte kommt, damit ich x ausrechnen kann????

Die Gleichung ist:

$\begin{eqnarray*} x^{log_{10}x}=x*10^{12} \end{eqnarray*}$

27.09.2012, 22:34

Equester

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Hi Silas,

Also zu Beginn: Ein allgemeines Rezept gibt es nicht.
Speziell diese hier ist sehr speziell^^.

Beginnen würd ich hier ganz schlicht -> Logarithmus anwenden.

27.09.2012, 22:36

Silas.H

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Ich weiss eben nicht, ob ich jetzt ln oder log10 nehmen soll

27.09.2012, 22:37

Equester

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Das ist prinzipiell egal. Es muss nur der gleiche auf beiden Seiten sein.
Allerdings sollte man immer Ausschau halten was für einer denn sinnvoll ist.
Da wir hier $\begin{eqnarray*} 10^{12} \end{eqnarray*}$ mit im Spiel haben, empfehle ich den Logarithmus zur Basis 10 Augenzwinkern

.
Das gereicht auch im nächsten Schritt zum Vorteil.

27.09.2012, 22:44

Silas.H

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$\begin{eqnarray*} log_{10}x^{log_{10}x}=log_{10}x \cdot log_{10}10^{12} \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich iwie nicht

27.09.2012, 22:45

Equester

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Jetzt die Logarithmengesetze Augenzwinkern

27.09.2012, 22:50

Silas.H

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$\begin{eqnarray*} log_{10}x \cdot log_{10}x=log_{10}x \cdot \left(12 \cdot log_{10}10\right) \end{eqnarray*}$

richtig??

27.09.2012, 22:51

Equester

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Korrekt.
Fasse nun zusammen. Du wirst schnell merken, dass das auf etwas quadratisches hinausläuft.
Versuche es mit einer Substitution Augenzwinkern

27.09.2012, 22:55

Silas.H

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Ich habe leider keinen blassen Schimmer, was eine Substitution ist.^^

27.09.2012, 23:01

Equester

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Noch nie substituiert?
Etwas ersetzt durch etwas einfacheres?
Dann probieren wir es mal zusammen Augenzwinkern

. Ist ganz einfach.

Wir haben:
lg²(x)-lg(x)-12=0

(Die 12 kommt ja aus $\begin{eqnarray*} 12\cdot lg(10) \end{eqnarray*}$ mit lg(10)=1)

Wo ich die Klammer gerade schreibe fällt mir noch ein Fehler auf.
Du schreibst:

$\begin{eqnarray*} log_{10}x \cdot log_{10}x=log_{10}x \color{red}\cdot\color{black} \left(12 \cdot log_{10}10\right) \end{eqnarray*}$

Beachte aber hier die Logarithmengesetze -> da kommt ein + hin.

Also hier:
lg²(x)-lg(x)-12=0

Du konntest bis hierher folgen?
Dann sag jetzt einfach -> Substitution: lg(x)=u
Ersetze das oben und rechne das durch. Dann sprechen wir uns wieder smile

27.09.2012, 23:10

Silas.H

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Ich glaube, ich habe das Prinzip verstanden, aber ich weiss nicht so recht, was ich jetzt bei mir durch was ersetzen soll?

Sorry, bin im Mathe nicht die hellste Leuchte^^

27.09.2012, 23:14

Equester

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Kein Problem, deswegen helfe ich dir ja smile

.

Also bis hierher ist klar?
lg²(x)-lg(x)-12=0

Dann war ja mein Hinweis lg(x)=u zu setzen.

-> u²-u-12=0
Das löse mal smile

27.09.2012, 23:17

Silas.H

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Also, es ist mir gerade noch mal etwas klarer geworden, aber wieso stehen da bei den lgs keine Basen und warum ist das x in Klammern?

27.09.2012, 23:22

Equester

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Oh verzeih die Verwirrung.

Du schreibst $\begin{eqnarray*} log_{a} \end{eqnarray*}$ für den Logarithmus zur Basis a.
Bei uns ist das eben 10. Wie aber auch ln hat der 10er-Logarithmus eine spezielle
Bezeichnung, da er oft verwendet wird. Das ist schlicht lg smile

.

Und normal kommen immer Klammern drum rum.
Es heißt ja "Logarithmus von".

27.09.2012, 23:24

Silas.H

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Ach so ist das...
Wir haben das ohne Klammern gelernt, deshalb werde ich mal so weitermachen, wenn's nicht allzu sehr stört^^

Und beim Beispiel oben hätten wir dann eine quadratisch Gleichung.
Versuch die jetzt mal zu lösen

27.09.2012, 23:26

Equester

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Ja passt schon, mit Klammern ists halt eindeutiger Augenzwinkern

.

Genau, löse die mal smile

27.09.2012, 23:27

Silas.H

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Das gäbe dann (u-4)*(u+3)=0, also u1=4, u2=-3

27.09.2012, 23:30

Equester

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Richtig

.

So wir hatten ja einfach gesagt lg(x)=u.
Wir wollen ja aber x haben! Löse jetzt also nach x auf smile

27.09.2012, 23:34

Silas.H

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Was genau davon muss ich nach x auflösen?
Ach so nein, ich glaube ich hab's rausgefunden...einen Moment

27.09.2012, 23:36

Equester

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Wir haben ja lg(x)=u gesetzt und habens durchgerechnet.
Wir haben so getan, als hätten wir mit lg(x) gerechnet. Deswegen müssen wir das
u wieder loswerden. u kennen wir, also können wir lg(x)=u nach dem noch unbekannten
x auflösen smile

.

Edit: Ok, versuch es smile

27.09.2012, 23:43

Silas.H

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lg(x)1=4, lg(x)2=-3, da Logarithmen aber nur für positive Zahlen definiert sind, kommt nur 4 in Frage

dann

$\begin{eqnarray*} log_{10}x=4 \end{eqnarray*}$

iwie weiss ich trotzdem nicht mehr weiter

27.09.2012, 23:45

Equester

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Oh der Logarithmus kann durchaus eine negative Zahl ergeben.
Nur der Numerus (der "Inhalt") darf nicht negativ sein Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} log_{10}x=4 \end{eqnarray*}$
Was machst du um links den Logarithmus wegzubekommen? Augenzwinkern

27.09.2012, 23:48

Silas.H

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Das weiss ich eben nicht, was ich machen muss, um den Logarithmus links wegzubekommen, jedenfalls will es mir nicht in den Sinn kommen.

27.09.2012, 23:54

Equester

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Setze auf beiden Seiten die 10 an.

$\begin{eqnarray*} 10^{lg(x)}=10^4 \end{eqnarray*}$

x=10^4 Augenzwinkern

Jetzt du für u=-3

27.09.2012, 23:57

Silas.H

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Warum kann man jetzt einfach die 10 hinzunehmen als Basis und was wir vorher hatten steht im Exponenten? Wusste nicht, dass man das kann. Wie nennt sich das?
Und ich verstehe nicht, wie man nachher direkt x=10^4 als Lösung ablesen kann?

28.09.2012, 00:02

Equester

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Dafür, dass das dein erstes Mal zu sein scheint ist die Aufgabe aber nicht gerade einfach Augenzwinkern

.
Das nennt sich Exponenzieren (gut den Begriff muss man nicht kennen) und ist
Grundbestandteil beim Rechnen mit Logarithmen smile

.

Anwenden kannst du dies, weil Exponenzieren das "Gegenteil" von Logarithmieren ist.
Das eine ist die Umkehrfunktion des anderen: http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus.

Ok? smile

Zitat:

Original von Silas.H
Und ich verstehe nicht, wie man nachher direkt x=10^4 als Lösung ablesen kann?

Wann "nacher"?

28.09.2012, 00:17

Silas.H

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Mir leuchtet iwie nicht ein, warum der $\begin{eqnarray*} log_{b}x \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} b^{x} \end{eqnarray*}$ ist.

28.09.2012, 00:22

Equester

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Da lies mal den ersten Satz aus der wikipedia:

Als Logarithmus einer Zahl x zur Basis b bezeichnet man die Zahl y, welche die Gleichung x = b^y löst. Das Logarithmieren ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens.

28.09.2012, 00:33

Silas.H

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Jetzt habe ich es glaube ich verstanden, aber warum ausgerechnet die 10 (oben)?

28.09.2012, 00:36

Equester

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Das liegt daran, dass wir es mit dem 10er-Logarithmus zu tun haben.
Hätten wir den ln gehabt, hätten wir mit e gearbeitet etc Augenzwinkern

28.09.2012, 00:46

Silas.H

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Ach so...

$\begin{eqnarray*} log_{10}x \cdot log_{10}x=log_{10}x+\left(12 \cdot log_{10}10\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich hier also genau gleich sagen: $\begin{eqnarray*} log_{10}x=u \end{eqnarray*}$

28.09.2012, 00:50

Equester

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Yup genau.
Allerdings ist ein Umstellen vorher natürlich sinnvoll. So hast du direkt deine
quadratische Funktion Augenzwinkern

.

Ich schreib die Schritte nochmals schnell und grob als Übersicht hin:

$\begin{eqnarray*} x^{log_{10}x}=x*10^{12} \end{eqnarray*}$

Logarithmieren:

$\begin{eqnarray*} log_{10}x \cdot log_{10}x=log_{10}x+\left(12 \cdot log_{10}10\right) \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen und Substitution mit $\begin{eqnarray*} log_{10}(x)=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u²-u-12=0 \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisse $\begin{eqnarray*} u_{1,2} \end{eqnarray*}$ resubstituieren -> $\begin{eqnarray*} x=10^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=10^{-3} \end{eqnarray*}$

Und damit sind wir fertig smile

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