Schnittgerade zweier Ebenen

27.09.2012, 19:52

frosch95

Schnittgerade zweier Ebenen

Meine Frage:
Gegeben sind die Ebenen E1 und E2.
a) Berechne die Schnittgerade.

$\begin{eqnarray*} E_{1} : 2*x_{1} -3*x_{2} +x_{3}=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: \vec{x} *\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich dachte an die beiden Gleichungen gleichsetzen oder so, aber das funktionier ja nicht so wirklich. Ich weiß echt nicht weiter.

27.09.2012, 23:54

riwe

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
der 1. schritt könnte es sein, die beiden gleichungen zu addieren Augenzwinkern

28.09.2012, 20:38

original

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
$\begin{eqnarray*} E_{1} : 2x_{1} -3x_{2} +x_{3}=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{2} : -x_{1} +3x_{2} +x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

um eine Gleichung für die Schnittgerade zu bekommen , kannst du eine der drei Variablen, als
Parameter t wählen und dann das 2x2-System lösen

zB:

$\begin{eqnarray*} x_{2}=t \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} 2x_{1} +x_{3}=6+3t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_{1} +x_{3}=0-3t \end{eqnarray*}$

probiers und schau, ob das stimmt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ t* \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.09.2012, 19:00

frosch95

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von original
$\begin{eqnarray*} E_{1} : 2x_{1} -3x_{2} +x_{3}=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{2} : -x_{1} +3x_{2} +x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

wie bist du denn auf die Gleichung von E2 gekommen?

Zitat:

Original von original
um eine Gleichung für die Schnittgerade zu bekommen , kannst du eine der drei Variablen, als
Parameter t wählen und dann das 2x2-System lösen

zB:

$\begin{eqnarray*} x_{2}=t \end{eqnarray*}$

Das hatten wir in der Schule auch, wir haben das aber immer mit x3gemacht. Es ist also egal mit welcher Variablen ich das mache.

Zitat:

Original von original

$\begin{eqnarray*} 2x_{1} +x_{3}=6+3t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_{1} +x_{3}=0-3t \end{eqnarray*}$

Die Umformung verstehe ich, aber ich weiß nicht wie ich dann weiter rechnen muss.
Ich habe einfach mal die beiden Gleichungen in den Taschenrechner (TI-89 Titanium) getippt:
$\begin{eqnarray*} solve(2*x_{1} *x_{3} =6*3*t AND -x_{1} *x_{3} =0-3*t,t) \end{eqnarray*}$
Dann habe ich als Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} t=-(x_{3}-2)AND x_{1} =-2*(y-3) \end{eqnarray*}$
was fenge ich damit an?

30.09.2012, 20:12

original

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von frosch95

wie bist du denn auf die Gleichung von E2 gekommen? ... einfach das Skalarprodukt ausrechnen

Das hatten wir in der Schule auch, wir haben das aber immer mit x3gemacht.
Es ist also egal mit welcher Variablen ich das mache. .. JA

Zitat:

Original von original

$\begin{eqnarray*} I:2x_{1} +x_{3}=6+3t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II:-x_{1} +x_{3}=0-3t \end{eqnarray*}$

Die Umformung verstehe ich, aber ich weiß nicht wie ich dann weiter rechnen muss. verwirrt

->

das System lösen, dh x1 und x3 berechnen (als Funktion von t)

zB so :

I.-II. ->
$\begin{eqnarray*} 3x_{1} =6+6t \end{eqnarray*}$ ...->... $\begin{eqnarray*} x_{1} =2+2t \end{eqnarray*}$

I.-2*II. ->
$\begin{eqnarray*} 3x_{3} =6-2t \end{eqnarray*}$ ...->... $\begin{eqnarray*} x_{3} =2-t \end{eqnarray*}$

und damit hast du dann die GeradenGleichung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2+2t \\ 0+t \\ 2 -t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ t* \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok?

30.09.2012, 20:25

frosch95

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ok. ich denke jetzt habe ich das verstanden. DAnke für die Hilfe

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