Probleme mit Untergruppe

27.09.2012, 20:28	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit Untergruppe Hallo zusammen! Ich hänge hier an einem Problem, wo ich mir schon die Zähne ausgebissen habe. Brauche einen kleinen Anstupser... G sei eine nicht-abelsche, finite Gruppe. $\begin{eqnarray} H=\{a\in G : (ax)^2=(xa)^2 \forall x\in G\} \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass H eine Untergruppe von G ist. Insbesondere muss ich also zeigen, dass für $\begin{eqnarray} a,b\in H \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} ab\in H \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (abx)^2=(xab)^2 \end{eqnarray}$ ist. Und da haperts. Ich habe es diirekt versucht, aber wenn ich ausmultipliziere kann ich nichts vertauschen und komme nicht weiter. Auch das einsetzen der Vorraussetzungen (z.B. $\begin{eqnarray} (ab)^2=(ba)^2 \end{eqnarray}$ ) halfen nicht weiter. Habe es auch schon indirekt versucht, aber das Zentrum ist z.B. nur eine Untergruppe von H, falls H eine Untergruppe ist. Kurzum ich brauche einen Gedankenanstoß. Vielen Dank! freedom
28.09.2012, 08:58	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast Recht, für $\begin{eqnarray} a,b \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in G \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (abx)^2=(xab)^2 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Dabei verwendet man, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ diese Eigenschaft für beliebiges $\begin{eqnarray} x\in G \end{eqnarray}$ erfüllen, und zwar wie folgt. $\begin{eqnarray} (abx)^2=(a(bx))^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ darf nun (innerhalb des Quadrats) auch mit $\begin{eqnarray} bx \end{eqnarray}$ vertauscht werden, dies ist ja sicherlich ein Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Damit kommst du ans Ziel.
28.09.2012, 13:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wozu wird die Endlichkeit der Gruppe vorausgesetzt? Gibt es Probleme mit der Inversenbildung? Gegenbeispiel?
28.09.2012, 22:39	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
@jester: ja, das ist es, vielen Dank! @Leopold: das habe ich versehentlich dazu gedichtet...zu viele ähnliche Beweise an dem Tag, da schreibt sich das wie von selbst.
28.09.2012, 23:00	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Inverse: $\begin{eqnarray} (a^{-1}x)^2=(a^{-1}xa^{-1}a)^2=(aa^{-1}xa^{-1})^2=(xa^{-1})^2 \end{eqnarray}$ Die zweite Gleichheit folgt wegen $\begin{eqnarray} a^{-1}xa^{-1}\in G \end{eqnarray}$ Richtig?
28.09.2012, 23:37	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt.
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