Differentialquotient bestimmen

30.09.2012, 15:53

Tipso

Differentialquotient bestimmen

Hi,

Hier die Aufgabe:

Leiten Sie für die Funktion f: y = x2 - x den allgemeinen Differentialquotienten her und
ermitteln Sie dann die Gleichungen der Tangenten in den Schnittpunkten des Grafen der
Funktion f mit der x-Achse.
Zeichnen Sie anschließend den Grafen der Funktion f im Intervall [-2,3] und die beiden
berechneten Tangenten!

lg

30.09.2012, 16:19

weisbrot

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RE: Differentialquotienten - Aufgabe - Hilfe
ideen?!? Wink

30.09.2012, 16:34

Tipso

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Hi,

ich lese mich gerade noch in das Thema nochmals ein und werde hier in ca 30min meine Ideen posten.

lg

30.09.2012, 16:49

Tipso

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Ich fange mal an smile

Leiten Sie für die Funktion f: y = x2 - x den allgemeinen Differentialquotienten

Dies ist doch immer gleich, die Tangentensteigung ist gesucht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\left(f(x_0)-f_{delta}\right) - f(x_0)}{f(x_{delta}} \end{eqnarray*}$

Danach erstelle ich eine Wertetabelle um meine x-Werte auszurechnen.

30.09.2012, 17:02

Tipso

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Wertetabelle

x| -4|-3|-2|-1|0
Y|20|12|6|2 |0

x| 1|2|3 |4|
Y|0 |2|6|12|

Schnittpunkten des Grafen der
Funktion f mit der x-Achse.

In diesem Fall stelle ich y auf null und erhalte die Nullstellen auf der x-Achse.
Wie würde es heißen wenn ich x auf 0 stellen müsste?

y = x^2 - x
0 = x^2 - x

Sie auf der Wertetabelle bei y = 0, also 0 und 1 sind die Punkte auf der x-Achse.

lg

30.09.2012, 17:11

weisbrot

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hmm, das sieht erstmal ziemlich komisch aus, und ist auch wahrscheinlich nicht der diff.quotient, welcher allgemein eher so geschrieben wird:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
das ding sollst du jetzt für deine gegebene funktion ausrechnen, du bekommst die erste ableitung der funktion, welche der steigung der tangente im entspr. punkt entspricht.
soweit erstmal, bekommst du sicher hin Augenzwinkern

30.09.2012, 17:19

Tipso

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Hi,

Dafür müsste ich wissen was x_0 und was h ist. Hammer

30.09.2012, 17:23

weisbrot

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na $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist variable, die du einsetzen kannst, sozus. der x-wert, an welchem du dich für die ableitung interessierst. h ist gebundene variable im limes.
lass dich nicht verwirren - das sind zwei "versionen" die ich da gegeben hab, wenn du nur die eine kennst dann nimm auch bitte die. lg

30.09.2012, 17:38

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Funktion f: y = x^2 - x

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2*x-(x_0)^2*x}{h} \end{eqnarray*}$

Warum mache ich das eigentlich?

lg

30.09.2012, 17:47

weisbrot

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Zitat:

Warum mache ich das eigentlich?

weil es in der aufgabe steht. warum du die lösen willst musst du wissen Augenzwinkern

also deine funktion ist doch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2-x \end{eqnarray*}$ (?)
woher kommt plötzlich das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wenn du sie in den d.q. einsetzt? es gibt nur $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ als freie variable (du kannst auch gern $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nehmen). jedenfalls ist hier z.b. $\begin{eqnarray*} f(x_0+h) = (x_0+h)^2-(x_0+h) \end{eqnarray*}$ . also nochmal richtig einsetzen bitte smile

30.09.2012, 17:58

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Verstehe:
x- die Variabel.
In unserer Formel haben wir die Variabel 2x, also muss ich diese auch zweimal einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2*\left(x_0 + h\right) -(x_0)^2*\left(x_0\right)}{h} \end{eqnarray*}$

lg

30.09.2012, 18:00

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2*\left(x_0 + h\right) -(x_0)^2*\left(x_0\right)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(x_0^2+2x_0h+h^2)*(x_0*h) - x_0^2*x_0/h \end{eqnarray*}$

30.09.2012, 18:28

weisbrot

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Zitat:

also deine funktion ist doch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2-x \end{eqnarray*}$ (?)

ist es so??
wenn ja verstehe ich nicht, warum du bei dir $\begin{eqnarray*} f(x_0)=x_0^2 * x \end{eqnarray*}$ ist......
lg

30.09.2012, 18:28

Tipso

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[quote]Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Ich glaube diesmal habe ich es verstanden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} (\left(x_0+h\right)^2 - \left(x_0+h\right) - (x_0)^2-x)/2 \end{eqnarray*}$

Schaue mir erstmal nur den Zähler an:

$\begin{eqnarray*} (x_0^2+2x_0h+h^2 -(x_0+h) -(x_0)^2-x) \end{eqnarray*}$

30.09.2012, 18:33

weisbrot

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fast! setze noch klammern und teile durch h anstatt 2. lg

30.09.2012, 18:35

Tipso

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$\begin{eqnarray*} (\left(x_0+h\right)^2 - \left(x_0+h\right) - (x_0)^2-x)/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_0^2+2x_0h+h^2 -(x_0+h) -(x_0)^2-x_0) \end{eqnarray*}$

jetzt streiche ich:

x_0^2 mit - x_0^2
2x_0 mit - x_0 = x_0
2h mit - h = h
x_0 mit -x_0

über bleibt:

h^2/h = h

lg

30.09.2012, 18:36

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} (\left(x_0+h\right)^2 - \left(x_0+h\right) - ((x_0)^2-x_0))/h \end{eqnarray*}$

30.09.2012, 18:53

Tipso

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2x_0h+h^2-x_0/h

Ist mein Ergebnis.

lg

30.09.2012, 19:29

Tipso

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2x_0h + h - x_0

Die Frage ist jetzt noch ob ich weiter kürzen kann bzw. darf und wie es danach weiter geht:

2x_0h - x_0 = möglich?

Dann hätte ich

2h + h übrig.

lg

30.09.2012, 20:30

Tipso

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Soweit richtig?

Was habe ich nun errechnet?

Die Steigung der Tangente?
Wie lese ich diese von dem Ergebnis ab?

Wie geht es weiter?

lg

30.09.2012, 20:43

weisbrot

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in deinem 3.letzten post steht der d.q. endlich richtig; was du raus bekommst ist aber noch nicht ganz richtig, rechne nochmal nach. lg

30.09.2012, 20:47

Tipso

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hi,

Weiß leider nicht wo mein Fehler ist:

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} (\left(x_0+h\right)^2 - \left(x_0+h\right) - ((x_0)^2-x_0))/h \end{eqnarray*}$

Nenner:

(x_0^2+2x_0h+h^2) - (x_0 + h) - ((x_0)^2 - x_0))

Wie geht es nun weiter?

kann ich weiter verkürzen auf:

(x_0^2 + x_0h + h^2) - (x_^2-x_0)

h + h^2/h

h^2

oder
(2x_0+h^2)-x_0+h+x_0
(2x_0h+h^2 + h /h

Darf ich nun h kürzen?
Es wird doch addiert?

(2x_0h+h^2+h

oder ich glaube ich darf es nicht mit diesem H
kürzen, demnach

2x_0*h+h^2+h

Ich sollte mir rechnen mit Potenzen und Bruchrechnen und Bruchumformungen ansehen.

Ps.
Muss gleich los. Werde heute erst wieder frühestens um Mitternacht online sein aber Morgen geht es weiter. Ich will die Aufgabe auf jeden Fall lösen und auch verstehen. Meine übrigen Schwächen auch aufholen, damit ich diese Themen alleine lösen kann.

01.10.2012, 10:48

Tipso

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Tipps?

Ich wüsste jetzt nicht mehr weiter. Forum Kloppe

01.10.2012, 11:21

AlphaCentauri

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Hallo,
da weisbrot gerade nicht online ist, denke ich, dass er kein problem damit hat, wenn ich hier weitermache.
Dein vorletzter Post ist etwas verwirrend und ich würde vorschlagen, dass wir das gemeinsam nochmal etwas geordneter angehen Augenzwinkern

Was wollen wir eigentlich tun? Gesucht (jetzt erstmal) ist die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in jedem möglichen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Wie bekommen wir die? In dem du dir den Differentialquotienten anschaust (= Ableitung deiner Funktion berechnest)
Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x_0+h)^2-(x_0+h)-\left(x_0^2 -x_0 \right) }{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x_0^2 + 2x_0 h + h^2 - x_0 -h - x_0^2+x_0 }{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{2x_0 h - h + h^2}{h} \end{eqnarray*}$
Und nun kannst du kürzen und mit den Grenzwertregel die Ableitung berechnen. Und damit gilt für die Steigung der Tangente?

01.10.2012, 11:34

Tipso

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Hi,

Thx für die Hilfe.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{2x_0 h - h + h^2}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2x_0 - h + h^2 \end{eqnarray*}$

Grenzwertregel= da h gegen 0 geht .. Leiten wir daraus

2*x_0

Haben damit die Steigung der Tangente an einem x-Beliebigen Punkt ausgerechnet.

Wie geht es weiter smile

01.10.2012, 11:41

AlphaCentauri

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Also noch stimmt der Grenzwert nicht! Beachte die Gesetzte bei der Bruchrechnung Augenzwinkern

Denn es ist ja $\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 x_0 h -h + h^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{2 x_0 h}{h} - \frac{h}{h} + \frac{h^2}{h} \right) = ... \end{eqnarray*}$

01.10.2012, 11:47

Tipso

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2*x_0 * h - h

h/h

h^2 /h = h

2*x_0*h/h =?

2x_0 + h oder 2x_0

Es heißt doch 2*x_0 und 2*h, wenn ich mich hier nicht täusche.

2x_0 - h ist das Ergebnis.

Unser Grenzwert ist demnach: 2*x_0

lg

01.10.2012, 11:54

AlphaCentauri

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Also erstmal etwas zur Form: Es wäre vielleicht nicht schlecht, wenn du LaTeX verwendest, denn dadurch werden deine Formeln leserlicher und ein paar Worte zur Erklärung deiner Rechnung schaden dem Verständnis sicher auch nicht Augenzwinkern

Aber gut: Dein Ergebnis lautet (wenn ich das richtig entziffert habe) also $\begin{eqnarray*} 2 x_0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2 h \end{eqnarray*}$ . Beides trifft nicht zu.
Dann sollten wir uns vielleicht nochmal kurz über einige Regeln der Bruchrechnung unterhalten:
Was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} \text{, } \frac{h^2}{h} \text{ bzw } \frac{2 x_0 h}{h} \end{eqnarray*}$ ?

01.10.2012, 12:00

Tipso

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Hi,

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} \text{, } \frac{h^2}{h} \text{ bzw } \frac{2 x_0 h}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{h^2}{h} = h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2 x_0 h}{h} = 2 x_0 \end{eqnarray*}$

Edit:
$\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Ergebnis : $\begin{eqnarray*} 2 x_0 - 1 + h \end{eqnarray*}$

lg

01.10.2012, 12:08

AlphaCentauri

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Also
$\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , schließlich gilt ja auch nicht: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2} = \frac{1+1}{2}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$
Der Rest ist korrekt. Damit ergibt sich dann für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{2 x_0 h}{h} - \frac{h}{h} + \frac{h^2}{h} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Jetzt stimmt das Ergebnis für $\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} \end{eqnarray*}$ Freude

01.10.2012, 12:11

Tipso

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Ergebnis : $\begin{eqnarray*} 2 x_0 - 1 + h \end{eqnarray*}$

Grenzwert: 2 x_0 - 1

01.10.2012, 12:16

AlphaCentauri

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Genau

Wir kennen nun also die Tangentensteigung in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Gesucht war ja aber ursprünglich nicht die Tangentensteigung, sondern die Tangentengleichung an den Schnittpunkten des Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit der x-Achse. Also ist es nun sicher Zeit, diese Schnittpunkte zu bestimmen und sich zu überlegen, wie wir daraus die Tangentengleichung bestimmen können

01.10.2012, 12:28

Tipso

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Das sind die Nullstellen auf der x-Achse.

Wir stellen in unserer Funktion y auf 0 und erhalten diese so.

$\begin{eqnarray*} f: y = x^2 - x \end{eqnarray*}$

In der Wertetabelle ist für $\begin{eqnarray*} y = 0; x = 0,1 \end{eqnarray*}$ abzulesen.

x | -4|-3|-2|-1|0
Y|20|12|6|2 |0

x| 1|2|3 |4|
Y|0 |2|6|12|

Stimmt es soweit?
Wie geht es weiter?

01.10.2012, 12:32

AlphaCentauri

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Das stimmt soweit.
Nun wollen wir die Tangentengleichung für die Punkte $\begin{eqnarray*} \left( 0,0 \right) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left( 1,0 \right) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wie lautet denn der allgemeine Ansatz für eine Tangentengleichung?

01.10.2012, 12:37

Tipso

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Da die Tangente eine Gerade ist:

y = kx + d

unsere Steigung ist y.

Wir wollen d ausrechnen?

lg

01.10.2012, 12:47

AlphaCentauri

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Die Tangentengleichung stimmt, allerdings ist nicht $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Steigung, sondern $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt also welche Gleichung?
Wir haben also jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Und dafür hilft es uns, dass wir wissen an welchen Punkten, wir die Tangente berechnen wollen Augenzwinkern

Am besten beschränken wir uns erstmal auf den Punkt $\begin{eqnarray*} \left( 0,0 \right) \end{eqnarray*}$ .

01.10.2012, 12:56

Tipso

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Für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt die Abgeleitete Steigung.
Warum?

$\begin{eqnarray*} 2 x_0 - 1 + h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * 0 - 1 + h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 1 + h \end{eqnarray*}$

lg

01.10.2012, 13:03

AlphaCentauri

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Die Idee ist richtig, aber du hast leider die falsche Formel verwendet. Wir hatten ja vorhin als Tangentensteigung im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gefunden: $\begin{eqnarray*} k = 2 x_0 -1 \end{eqnarray*}$ . Im Punkt $\begin{eqnarray*} \left ( 0,0 \right) \end{eqnarray*}$ gilt also $\begin{eqnarray*} k = 2 \cdot 0 -1 = -1 \end{eqnarray*}$ .
Also haben wir jetzt für unsere Tangentengleichung: $\begin{eqnarray*} y = -x + d \end{eqnarray*}$ . Damit fehlt jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Und wie könnten wir nun auf $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ kommen? Augenzwinkern

01.10.2012, 13:14

Tipso

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Tangentengleichung: $\begin{eqnarray*} y = -x + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = -0 + d \end{eqnarray*}$

y erhalte ich indem ich das dazugehörige x in die Funktion eingebe:

$\begin{eqnarray*} f : y = x2 - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : y = 0*2 - 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = -0 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -0 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 0 \end{eqnarray*}$

Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} y = -1*x \end{eqnarray*}$

lg

Ps.
Ich habe nebenbei eine Seite offen wo ich alles simultan nachsehe. Verstanden habe ich es noch nicht, werde es mir mehrmals durchlesen und wenn ich Fragen habe später hier stellen.

01.10.2012, 13:31

AlphaCentauri

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Ok, also das Ergebnis stimmt Freude

Aber ich versuche mal die Idee hinter diesem Vorgehen zu erläutern, dann wird es (hoffentlich) für dich ein bissle leichter es zu verstehen Augenzwinkern

Eine Tangente ist eine lineare Funktion, d.h. der allgemeine Ansatz lautet: $\begin{eqnarray*} t(x) = k \cdot x + d \end{eqnarray*}$ . Wir haben also stets 2 Unbekannte - brauchen also auch 2 Gleichungen, damit wir für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ konkrete Zahlen einsetzen können.
Meistens hat man einen Punkt $\begin{eqnarray*} \left( x_0, y_0 \right) \end{eqnarray*}$ gegeben und soll dort die Tangente an den Funktionsgraphen einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ berechnen. Damit hat man schonmal eine Gleichung gegeben, denn es gilt:
$\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = k \cdot x_0 + d \end{eqnarray*}$
Die zweite Gleichung erhält man durch die Information, dass es sich um die Tangente handelt. Daher weiß man, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gleich der Steigung der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} \left( x_0, y_0 \right) \end{eqnarray*}$ ist. Man kann also $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , so wie du das vorhin gemacht hast, durch den Differentialquotienten bestimmen.
Damit haben wir also die zwei gesuchten Gleichungen Augenzwinkern

Am besten du versuchst es gleich mal mit der Tangentengleichung am Punkt $\begin{eqnarray*} \left( 1,0 \right) \end{eqnarray*}$ . Solltest du Probleme haben, kannst du die ja hier posten Augenzwinkern

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