Endliche vs. unendliche Mengen in Gruppen

30.09.2012, 21:50

freedom

Endliche vs. unendliche Mengen in Gruppen

Hallo zusammen!

Mich beschäftigt gerade eine Aussage, die für endliche Gruppen wahr, für unendliche nicht notwendigerweise gilt. Da ich beim Beweis für endliche Gruppen nirgendwo benutzt habe, dass es sich um eine endliche Gruppe handelt, weiß ich gerade nicht weiter.

Also, sei A eine endliche Menge und B eine Untermenge von A. Sei $\begin{eqnarray*} S_A \end{eqnarray*}$ die Menge der Permutationen auf A und G die Untermenge der Permutationen f, für die $\begin{eqnarray*} f(b) \in B\quad \forall b\in B \end{eqnarray*}$ gilt. Dann kann man zeigen, dass G eine Untergruppe ist:

Abgeschlossenheit:
$\begin{eqnarray*} f,g \in G, b\in B: (f\circ g)(b)=f(g(b))=f(\hat{b})=\tilde{b} \end{eqnarray*}$ .

Inverse:
$\begin{eqnarray*} b=Id(b)=(f^{-1}\circ f)(b)=f^{-1}(f(b))=f^{-1}(\hat{b}) \end{eqnarray*}$

Warum soll das für unendliche Mengen A nicht gelten? Gegenbeispiele fallen mir spontan auch nicht ein... verwirrt

Freue mich auf Hilfe!

VG
freedom

01.10.2012, 00:27

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Inverse: $\begin{eqnarray*} b=Id(b)=(f^{-1}\circ f)(b)=f^{-1}(f(b))=f^{-1}(\hat{b}) \end{eqnarray*}$

woher weißt du dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Permutation auf B ist?
Dazu brauchst Du die Endlichkeit.

Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} A= \mathbb N, B=2 \mathbb N \end{eqnarray*}$ ,
f definiert durch:
f(x)= x+2 falls x gerade.
f(1)=0
f(x)=x-2 falls x>1 ungerade

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(0) =1 \notin B \end{eqnarray*}$ .

Das Problem ist, dass mit $\begin{eqnarray*} f(b) \in B\quad \forall b\in B \end{eqnarray*}$ f eine (injektive) Fkt. auf B wird aber nicht notwendig surjektiv.
Bei endlichen Mengen erzwingt das bereits die Injektivität.

01.10.2012, 01:00

freedom

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danke sehr!

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