Gewinnfunktion (Unternehmen mit 3 Produkten) |
| 01.10.2012, 11:35 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gewinnfunktion (Unternehmen mit 3 Produkten) Ich habe eine Frage an euch : Geg ; Unternehmen mit 3 Produkten ( x , y , z ) mit dieser Gewinnfunktion Zurzeit werden von jedem Produkt 2 Einheiten erzeugt . 1) In welchem Verhältnis sollten "zusätzliche" Ausbringungsmengen der 3 Produkte stehen, damit der Gewinn möglichst groß wird? (b) Wie ändert sich G näherungsweise, wenn, ausgehend von der aktuellen Produk- tionsmenge, eine marginale Produktionssteigerung im Verhältnis 2:1:2 veranlasst wird ? (c) Hesse-Matrix von G(x, y, z) an der Stelle (1, 0, 1)? Was lässt sich über die Definitheit dieser Matrix behaupten ? Meine Überlegung war zuallererst jeweils nach x , dann nach y und dann nach z abzuleiten . nach x´ nach y´ nach z´ aber ich verstehe zugegeben nicht so ganz , wie es jetzt weitergehen könnte ... und ich wette es ist garantiert sehr einfach ! Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen oder einen "Denkanstoß" geben lg !!! |
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| 01.10.2012, 16:16 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, einen Denkanstoß kann ich schon mal geben. Wenn du nach x ableitest, dann fällt und einfach weg. In beiden Ausdrücken ist ja kein x enthalten. Nichtsdestotrotz würde ich deine Funktion noch mal überprüfen. Ich bin auf keine "schöne" Lösung gekommen. Hast du die Funktion richtig wiedergegeben? Mit freundlichen Grüßen. |
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| 01.10.2012, 16:35 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Kasen , vorerst mal "danke" für deine Antwort !
In der Angabe hat sich aber auch kein Fehler eingeschlichen ... ich bin irgendwie sehr ratlos , weil ich solche Aufgaben eigentlich immer irgendwie schaffe . |
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| 01.10.2012, 16:41 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der zweite Schritt ist, dass du auch die Ableitungen nach y und z überprüfst. Da hast du den gleichen Fehler gemacht wie bei der Ableitung nach x. Die Ausdrücke die nicht die Variable enthalten nach der abgeleitet wird, fallen bei der Ableitung einfach weg. Vielleicht sieht man klarer. 
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| 01.10.2012, 16:46 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe es auch gerade 
Wieso mach ich sowas nur
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| 01.10.2012, 16:52 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hoffe ich hab´ zumindest jetzt nichts übersehen 
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| 01.10.2012, 16:58 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wie kann man mit Hilfe der ersten Ableitung auf ein "Verhältnis" kommen ? |
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| 01.10.2012, 17:08 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Ableitungen sehen jetzt schon mal gut aus. Wenn ich versuche dieses Gleichungssystem zu lösen, dann ist mindestens eine Variable negativ. Das darf ja nicht sein. Mengen sind ja nie negativ. Wie gesagt viel weiter komme ich jetzt auch nicht. Meiner Meinung nach kann man die Aufgabe mit dieser Funktion nicht adäquat bearbeiten. Somit kannst du auch kein Verhältnis bestimmen. |
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| 02.10.2012, 00:57 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also da mich die Aufgabe interessiert hat, habe ich mich auch mal ein wenig damit beschäftigt. Weiß allerdings auch nicht wie die zu lösen ist, aber werde da morgen mal etwas nachlesen, vielleicht hilft das. Was ich aber jetzt schon sagen kann: Das Gleichungssytem hat doch z.B. eine einfache Lösung mit x=0 und y=0 und z =0 Klar aber auch, dass dies kein maximaler Gewinn ist. Und wenn man sich die Gewinnfunktion anschaut, sieht man auch, dass es kein absolutes Maximum gibt. Das ist aber auch gar nicht gefragt, sondern es geht ja darum die aktuelle Ausbringungsmenge (x=2 ; y=2 ;z=2 ) in einem bestimmten Verhältnis zu erhöhen. |
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| 02.10.2012, 02:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das System ist richtig. Man erkennt jedoch, dass auf jeden Fall nicht alle Lösungen positiv sein können und diese somit nicht sinnvoll sind (--> negative ME). Also ist die Aufgabenstellung - wie schon verlangt - nochmals zu kontrollieren. mY+ |
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| 02.10.2012, 02:52 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabenstellung verlangt, denke ich, auch nicht das Lösen dieses Gleichungssystems. Betrachtet man die Gewinnfunktion sieht man, dass wenn man x, y und z erhöht (von 2 ME je Produkt ausgehend) sich der Gewinn immer erhöht. Und die Fragestellung dazu ist ja in welchem Verhältnis erhöhe ich x, y, z |
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| 02.10.2012, 02:52 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Ricardo87 der Hinweis von chris_78, dass nicht der maximale Gewinn gesucht ist, war gut. Die partiellen Ableitungen der Gewinnfunktion zeigen somit, um wieviel sich der Gewinn erhöht, wenn sich das Produkt x,y oder z um eine marginale Einheit erhöht. Mit den vorgegebenen Werten (2,2,2) kann man den Grenzgewinn errechnen. Trotzdem stört mich noch das Verhältnis, das in der Aufgabe gefordert wird. Ich würde ja einfach die Menge jenes Produkts erhöhen, welches den größten Grenzgewinn hat. Die anderen beiden Produktmengen, würde ich erstmal gar nicht erhöhen. Scheint aber auch nicht richtig zu sein. 
@chris_78 Kannst du weitermachen? Wie du lesen kannst, bin ich ziemlich ratlos. Mit freundlichen Grüßen. |
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| 02.10.2012, 03:11 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke man muss in die partiellen Ableitungen jeweils die Werte (2, 2, 2) einsetzen Also: Als Verhältnis x:y:z hat man dann 1:2,6:2 |
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| 02.10.2012, 12:48 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab die Aufgabe im Internet genau so in einer alten Uni Klausur mit Lösungen gefunden und dort wird für a) als Lösung genau wie ich es schon sagte 1:2,6:2 angegeben. |
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| 03.10.2012, 17:24 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo ! Hatte bis jetzt immer viel zu tun , möchte mich aber vorerst einmal bedanken für das Erklären und aufstellen der Gleichungen ! |
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| 04.10.2012, 19:18 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank vorerst ! Bin allerdings erneut am grübeln ... hab die Schritte bis hierhin jetzt verstanden , konnte sie ws lediglich nicht erkennen. Eine marginale Änderung bedeutet eine kleinstmögliche Änderung soweit ich weiß ; Aber ich kann ja nicht einfach jetzt die jeweiligen Ableitungen nehmen und einfach deren Verhältnis umformen , das geht ja nicht . Meine Überlegung wäre folgende : 10*2 26*1 20*2 Das ergibt 86 durch die "3 jeweiligen Produkte" ... und um diesen Wert müsste es sich im Geringsten dann auch verändern ( bei diesem Verhältnis ) so , und nun komme ich ws bei Hessematrix und definitheit nicht vorran :/ |
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| 04.10.2012, 19:30 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
b) würde ich genauso sehen und 86/3 finden sich auch in der Musterlösung. zur Hessematrix: So schwer ist das gar nicht. Weißt Du denn wie die Hesse-Matrix auf gestellt wird? |
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| 04.10.2012, 19:42 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sie müsste so aussehen : xx xy xz yx yy yz zx zy zz aber irgendwie will es noch nicht so richtig :/ |
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| 04.10.2012, 19:57 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh doch , ich komme glaube ich dahinter .... also jeweils nach dem Schema ableiten , oder ? und dann dafür die werte 1,0,1 einsetzten , richtig ? |
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| 04.10.2012, 19:58 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn Du z.B. mit xy meinst, dass das dann die partielle Ableitung nach y hin ist von dann ist das soweit richtig. z.B. ist Und nun musst Du nur noch die Werte (1, 0, 1) für x, y und z einsetzen. |
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| 04.10.2012, 20:12 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm... 2x = "2" ....... x²+2z-1="1" .......2y="0" x²+2z-1 = "1" ......."10" ....... 2x="2" 2y="0" ....... 2x="2" ....... 6z="6" |
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| 04.10.2012, 20:14 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also 2 1 0 1 10 2 0 2 6 an der stelle 1,0,1 ? |
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| 04.10.2012, 20:25 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber was sage ich über die Definitheit ? und wenn ich es sage , warum sage ich es
?ich würde sie beispielsweiße einfach aufteilen in 2 2 1 1 10 2 1 0 1 10 2 0 2 6 und wenn bei den drei stück alle Positiv sind ... sprich ; 2 ---> + (2*10)-1 --->+ { [(2*10*6)+(0)+(0)] - ((0)+(2*2*2) + (6*1*1) } ---> + ist sie doch positiv definit , oder ? |
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| 04.10.2012, 20:58 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja passt auch soweit. Definitheit hätte ich ganz genauso gemacht |
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| 04.10.2012, 21:04 | Riccardo78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super , ich danke euch vielmals für die Hilfe !!! |
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