Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom

03.10.2012, 20:00

Svea_007

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Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom

Meine Frage:
Wie lautet die Stammfunktion folgender Funktion?

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^3+x^2-6x-16}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich denke, dass ich mit Polynomdivision weiter komme, aber irgendwo hängt es da.
Bei der Polynomdivision kommt raus: $\begin{eqnarray*} x-3+(2x-4) \end{eqnarray*}$
Die Ableitung des Nenners ist: $\begin{eqnarray*} 2x+4 \end{eqnarray*}$ .
Das sieht ja zum Teil schon sehr ähnlich aus, so dass man da irgendwie zu einem Logarithmus kommen kann. Aber das Vorzeichen ist anders und es stehen noch paar andere Zahlen dabei.
Danke für eure Hilfe.

03.10.2012, 20:53

original

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RE: Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom

Zitat:

Original von Svea_007
[

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^3+x^2-6x-16}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

Bei der Polynomdivision kommt raus: $\begin{eqnarray*} x-3+(2x-4) \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

unglücklich

->

..Bei der Polynomdivision kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^3+x^2-6x-16}{x^2+4x+4} = x-3+\frac{2x-4}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

mach nun damit weiter ->...
.

03.10.2012, 20:55

Mathe-Maus

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RE: Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom
Dein Ergebnis der Polynomdivision ist unvollständig aufgeschrieben.

Sollte sicherlich heissen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x-3 + \frac{2x+4}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

Jetzt schaue Dir den NENNER an. Klammere 2 aus.
Jetzt schaue Dir den Zähler an: 2.Binomische Formel !

Nun kannst Du kürzen.

Wie sieht Dein Zwischergebnis aus ?

LG Mathe-Maus Wink

Wink

@original: Zu spät ... an Dich zurück ...

03.10.2012, 21:01

original

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RE: Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom
$\begin{eqnarray*} f(x)= x-3 + \frac{2x+4}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Mathe-Maus , du hast da ein falsches Vorzeichen im Zähler ... Wink

Wink

... und da ist dann deshalb auch nichts mit "kürzen" usw...

03.10.2012, 21:01

Stefan_TM

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RE: Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom
Hallo Svea,
es ist richtig, dass der Quotient der Polinomdivision x-3 ist und der Rest
2x-4.
Wie kannst Du den Ausdruck Rest/Divisor weiter zerlegen?

@original:
Mach bitte weiter, ich habe zu spät gemerkt, dass Du inzwischen mit der Beantwortung der Frage angefangen hast.

03.10.2012, 21:32

original

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RE: Bruch integrieren - Zähler und Nenner Polynom

Zitat:

Original von Stefan_TM

@original:
Mach bitte weiter,

smile

nett gedacht von dir, Stefan_TM ,

aber die unregistrierte ..._007 interessiert sich ja eh nicht für unsere Mühen , also da bin ich dann auch weg.. Wink

Wink

.............

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04.10.2012, 02:48

Svea_007

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Hallo,
vielen Dank für die vielen hilfreichen Antworten. Natürlich interessiere ich mich für eure Mühen. Bloß direkt nach der Beitragserstellung kam keine Antwort und später war ich nicht mehr zu Hause.

Das Zwischenergebnis lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=x-3+\dfrac{2}{x+2} \end{eqnarray*}$

Bestimmt komme ich jetzt auch alleine weiter, aber jetzt gehe ich erstmal schlafen und gucke mir die Aufgabe morgen Nachmittag weiter an.

04.10.2012, 19:41

original

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Zitat:

Original von Svea_007

Das Zwischenergebnis lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=x-3+\dfrac{2}{x+2} \end{eqnarray*}$ <-- geschockt

geschockt

NEIN

na ja,
also hier nun nochmal ein Versuch:

geschockt

geschockt

-> du hast da halt nicht alles richtig gelesen:

leider hat dir Mathe-Maus ja einen falschen Tipp gegeben,
deshalb hier nochmal das oben zu Beginn schon notierte richtige Ergebnis :

..Bei der Polynomdivision kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^3+x^2-6x-16}{x^2+4x+4} = x-3+\frac{2x-4}{x^2+4x+4} = x-3 +\frac{2(x-2)}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

....................................................................und da kannst du bei dem Bruch eben nicht kürzen Wink

Wink

ok?
und wie geht das nun weiter?

07.10.2012, 22:09

Svea_007

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Danke original!
Ich habe bis zum letzten Schritt alles nach gerechnet und auch verstanden.
Wie geht es nun weiter?
Normal würde ich sagen durch Substitution. Ich habe es mit dem kompletten Nenner ( $\begin{eqnarray*} (x+2)^2 \end{eqnarray*}$ probiert, sowie mit nur $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ .
Bei beiden Varianten lässt sich am Ende nichts vor das Integral ziehen, da man nichts kürzen kann.
Würde mich über Hilfe zum nächsten Schritt sehr freuen.

08.10.2012, 11:15

original

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$\begin{eqnarray*} x-3+\frac{2x-4}{x^2+4x+4} = x-3 +\frac{2(x-2)}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Tipp:
schreibe den Bruch in dieser Form auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-2)}{(x+2)^2} = \frac{2x+4}{x^2+4x+4} - \frac{8}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

-> beim ersten Bruch steht nun im Zähler die Ableitung des Nenners..
..weisst du, wie die Stammfunktion solcher Brüche aussieht? -> .... ?

-> zur Integration des zweiten Bruches wirst du einfach substituieren : z=x+2
..usw

.. jetzt alles klar ? smile

smile

.

08.10.2012, 16:27

Svea_007

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Ich habe echt lange geguckt, wie ich aus dem Zähler die Ableitung hinbekomme, dass es so simpel ist, daran habe ich natürlich nicht gedacht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-3+\dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}-\dfrac{8}{(x+2)^2}=x-3+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{8}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int x-3+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{8}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2}{2}-3x+ 2\cdot ln (x+2)-\dfrac{8}{x+2}+C \end{eqnarray*}$

So müsste es glaube ich richtig sein.

08.10.2012, 19:32

original

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Zitat:

Original von Svea_007

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-3+\dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}-\dfrac{8}{(x+2)^2}=x-3+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{8}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int x-3+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{8}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2}{2}-3x+ 2\cdot ln (x+2)-\dfrac{8}{x+2}+C \end{eqnarray*}$
....................................................................................................................................... unglücklich

unglücklich

So müsste es glaube ich richtig sein.

hm
wenn einer glaubt, dann hat es meist kaum eine Chance dem die "Wahrheit" zu verkaufen ..

gut, fast alles hast du prima richtig gemacht,
aber vielleicht findest du ja selbst noch den Vorzeichenfehler verwirrt

verwirrt

? -> ..

und ausserdem fehlt links beim Integral noch das Wichtigste traurig

traurig

.

08.10.2012, 20:08

Svea_007

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-3+\dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}-\dfrac{8}{(x+2)^2}=x-3+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{8}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int x-3+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{8}{(x+2)^2} ~dx=\dfrac{x^2}{2}-3x+ 2\cdot ln (x+2)+\dfrac{8}{x+2}+C \end{eqnarray*}$

So ist es jetzt aber endlich mal richtig Big Laugh

Big Laugh

Vielen lieben Dank original Mit Zunge

Mit Zunge

02.01.2014, 14:35

Regionmontanus

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Ich verstehe nicht ganz warum $\begin{eqnarray*} \frac{8}{(x+2)²} \end{eqnarray*}$ integriert $\begin{eqnarray*} \frac{8}{x+2} +C \end{eqnarray*}$ ergibt. Wenn ich versuche dieses Ergebnis wieder abzuleiten mit der Quotientenregel komme ich nicht auf das erwartete Ergebnis.
Kann mir da jemand helfen?

02.01.2014, 14:56

klarsoweit

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Bei genauem Hinsehen findest du in dem Integral ein Minus vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{8}{(x+2)²} \end{eqnarray*}$ . Und dann paßt das auch mit der Stammfunktion. smile

smile

02.01.2014, 14:58

grosserloewe

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Wink

Weil beim Ergebnis ein Minus steht .

-8 / (x+2)

Und Minus Minus ergebt dann Plus.

EDIT : zu spät

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