Stückweise Hermite-Interpolation

04.10.2012, 10:32	FuzzyLogicGuy	Auf diesen Beitrag antworten »
Stückweise Hermite-Interpolation Hallo, Ich hab eine Frage zur stückweisen Hermite-Interpolation. Im einfachsten Fall betrachte ich nur das Teilintervall $\begin{eqnarray} [x_0,x_1] = [0,1] \end{eqnarray}$ . Meine Interpolationsbedingungen sind also: $\begin{eqnarray} p(x_0) = f(x_0) = y_0, \, p(x_1) = f(x_1) = y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p^\prime(x_0) = f^\prime(x_0) = y^\prime_0, \, p^\prime(x_1) = f^\prime(x_1) = y^\prime_1 \end{eqnarray}$ Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} p(t) = y_0 H_0(t) + y_1 H_1(t) + y^\prime_0 H_2(t) + y^\prime_1 H_3(t) \end{eqnarray}$ kann ich dann die hermiteschen Basispolynome $\begin{eqnarray} H_i(t) \end{eqnarray}$ bestimmen. Jetzt soll das ganze auf ein beliebiges Intervall $\begin{eqnarray} [x_i, x_{i+1}] \end{eqnarray}$ transformiert werden und zwar so, dass das lokale (auf $\begin{eqnarray} [x_i, x_{i+1}] \end{eqnarray}$ ) Interpolationspolynom $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ wieder die Basispolynome von oben benutzt. Dazu verwende ich eine Transformation $\begin{eqnarray} t_i(x) = \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i} \end{eqnarray}$ um den Wert $\begin{eqnarray} x \in [x_i, x_{i+1}] \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ abzubilden. Das Ergebnis für $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} p_i(t_i(x)) = y_i H_0(t_i(x)) + y_{i+1} H_1(t_i(x)) + h_i y^\prime_i H_2(t_i(x)) + h_i y^\prime_{i+1} H_3(t_i(x)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h_i = x_{i+1} - x_i \end{eqnarray}$ ("Maschenweite"). Was ich nicht verstehe, ist wo diese $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ herkommen. Ich vermute mal durch Ableitung und Verwendung der Kettenregel irgendwo...aber ich kanns mir leider nicht erklären. Hat da einer von euch vielleicht eine Idee?
20.10.2012, 12:23	Oteph	Auf diesen Beitrag antworten »
Darüber bin ich auch gestolpert als ich den mich mit den Splines befasst habe. Die Antwort ist aber relativ simpel: mit $\begin{eqnarray} t_i(x)%20=%20\frac{x%20-%20x_i}{x_{i+1}%20-%20x_i} \end{eqnarray}$ wird nichts anderes gemacht als die die gestammte Funktion zu strecken und zu verschieben. Also $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y ' \end{eqnarray}$ . Die Tangenten möchte man aber nicht strecken sondern nur verschieben deshalb dann $\begin{eqnarray} h_i%20=%20x_{i+1}%20-%20x_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_i(x)%20 h_i%20=%20\frac{x%20-%20x_i}{x_{i+1}%20-%20x_i}(%20x_{i+1}%20-%20x_i)={x%20-%20x_i} \end{eqnarray*}$ von der kombinierten Streckung + Verschiebung, bleibt so für die Steigungen nur die Verschiebung, da die Steigung eben nicht gestreckt werden muss(darf).

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