Aussagenlogik, Diskrete Mathematik

05.10.2012, 20:01

LiebingKe

Aussagenlogik, Diskrete Mathematik

Guten Abend,

folgende Aufgaben bereiten mir etwas Kopfzerbrechen; für ein paar Hilfestellungen bin ich daher sehr sehr dankbar:

Hallo, ich habe folgende Fragen:
1.) ist das eine Aussage?

"Ein Masseur massiert alle, die sich nicht selbst massieren"

Meine Antwort lautet ja, da man diese Formulierung mit einem Wahrheitsgehalt versehen kann,
entweder es stimmt, oder es stimmt nicht. Auch ist diese Aussage ja nicht von etwas abhängig wie
z.b. der Satz "Heute ist Montag", was ja abhängig ist vom heutigen Tag

2.) Negiere diese Aussage:

"Wenn es schneit, trägt sie einen Schirm, aber keine Mütze"

Meine Antwort lautet:

P := Es schneit
Q := Sie trägt einen Schirm
R := Sie trägt keine Mütze

$\begin{eqnarray*} P -> Q\wedge R \end{eqnarray*}$
Diese Implikation ist ja äquivalent zu folgender Umformung:

$\begin{eqnarray*} Nicht-P \vee (Q\wedge R) \end{eqnarray*}$

Und diese Aussage entspricht noch der Anfangsaussage. Diese soll nun verneint werden:

$\begin{eqnarray*} Nicht (Nicht-P \vee (Q\wedge R)) \end{eqnarray*}$

Nach den Gesetzen von De-Morgan:

$\begin{eqnarray*} P \wedge Nicht-(Q \wedge R) \end{eqnarray*}$

Nochmal De-Morgan:

$\begin{eqnarray*} P \wedge (Nicht-Q \vee Nicht-R) \end{eqnarray*}$

Sprachlich ausgedrückt sollte dies bedeuten:

Es schneit und sie trägt entweder keinen Schirm oder keine Mütze.

Ist dies korrekt?

3.) Vereinfachen mit Hilfe der Rechenregeln:
"Es ist nicht wahr, dass ihre Schwester Franzosin und ihr Bruder Amerikaner ist."

=> P (Schwester Franzosin)
=> Q (Bruder Amerikaner)

$\begin{eqnarray*} Nicht-(P \wedge Q) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Nicht-P \vee Nicht-Q \end{eqnarray*}$
= Entweder ist die Schwester keine Franzosin oder der Bruder kein Amerikaner

4.) Vereinfachen einer Aussageform.

$\begin{eqnarray*} (P\Rightarrow Q)\Rightarrow ((P\Rightarrow NichtQ)\Rightarrow NichtP \end{eqnarray*}$

erneut Dank des Wissens dass eine Implikation äquivalent ist in diesem Sinne: $\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} NichtP\vee Q \end{eqnarray*}$ bedeutet dies für diese Aussageform:

$\begin{eqnarray*} (NichtP\vee Q) \Rightarrow ((NichtP\vee NichtQ)\Rightarrow NichtP) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (NichtP\vee Q)\Rightarrow ((Nicht(NichtP\vee NichtQ)\vee NichtP)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (De Morgan) (NichtP\vee Q)\Rightarrow ((P\wedge Q)\vee NichtP \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Nicht(NichtP\vee Q)\vee (P\wedge Q)\vee NichtP \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (P\wedge NichtQ)\vee ((P\wedge Q)\vee NichtP \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht..

5. Äquivalenz nachweisen durch Umformung
$\begin{eqnarray*} Nicht(P\vee Q)\vee (NichtP\wedge Q) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} NichtP \end{eqnarray*}$ sind äquivalent. Dies gilt es durch Umformen zu beweisen.

1. $\begin{eqnarray*} (NichtP\wedge NichtQ)\vee (NichtP\wedge Q) \end{eqnarray*}$

Mir ist an dieser Stelle, logischerweise bewusst, dass dies mit NichtP identisch ist. Allerdings komme ich bei der Verkürzung nicht weiter. Geht evtl. das Distributivgesetz?

2.) $\begin{eqnarray*} ((NichtP\wedge NichtQ)\vee NichtP)\wedge ((NichtP\wedge NichtQ)\vee Q) \end{eqnarray*}$

05.10.2012, 21:19

Math1986

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RE: Aussagenlogik, Diskrete Mathematik

Zitat:

Original von LiebingKe
1.) ist das eine Aussage?

"Ein Masseur massiert alle, die sich nicht selbst massieren"

Meine Antwort lautet ja, da man diese Formulierung mit einem Wahrheitsgehalt versehen kann,
entweder es stimmt, oder es stimmt nicht. Auch ist diese Aussage ja nicht von etwas abhängig wie
z.b. der Satz "Heute ist Montag", was ja abhängig ist vom heutigen Tag

Massiert sich der Masseur selbst?

Zitat:

Original von LiebingKe
Sprachlich ausgedrückt sollte dies bedeuten:

Es schneit und sie trägt entweder keinen Schirm oder keine Mütze.

Ist dies korrekt?

Die Umformungsschritte sind korrekt, nur die Aussage " Es schneit und sie trägt entweder keinen Schirm oder keine Mütze." stimmt so nicht. Negiere "Sie trägt keine Mütze"

Zitat:

Original von LiebingKe
3.) Vereinfachen mit Hilfe der Rechenregeln:
"Es ist nicht wahr, dass ihre Schwester Franzosin und ihr Bruder Amerikaner ist."

=> P (Schwester Franzosin)
=> Q (Bruder Amerikaner)

$\begin{eqnarray*} Nicht-(P \wedge Q) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Nicht-P \vee Nicht-Q \end{eqnarray*}$
= Entweder ist die Schwester keine Franzosin oder der Bruder kein Amerikaner

Richtig

Zum Rest: Die negation kannst du dirch \neg darstellen.

08.10.2012, 13:06

liebingke

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Noch ein Versuch. Zu vereinfachen ist folgendes:.

$\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q\Rightarrow ((P\Rightarrow \neg Q)\Rightarrow \neg P) \end{eqnarray*}$

durch erste Umformung:

$\begin{eqnarray*} (\neg P \vee Q) \Rightarrow (\neg (\neg P \vee \neg Q) \vee \neg P) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neg (\neg P \vee Q) \vee ((P \wedge Q) \vee \neg P)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (P \wedge \neg Q) \vee ((P \vee \neg P) \wedge (Q \vee \neg P) \end{eqnarray*}$

Tja, so weit so gut. Kann ich denn hier, insofern richtig, nun auf der rechten Seite des logischen "Oder" das Absorptionsgesetz anwenden? Wenn nicht, weiß ich nicht weiter. Wenn ja, gehts hier weiter:

=>
$\begin{eqnarray*} (P \wedge \neg Q) \vee \neg P \end{eqnarray*}$

Fertig.

Bitte um Hilfestellung smile

Danke für den \neg Tipp!

12.10.2012, 21:13

Abakus

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Hallo!

Zitat:

Original von liebingke
$\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q\Rightarrow ((P\Rightarrow \neg Q)\Rightarrow \neg P) \end{eqnarray*}$

durch erste Umformung:

$\begin{eqnarray*} (\neg P \vee Q) \Rightarrow (\neg (\neg P \vee \neg Q) \vee \neg P) \end{eqnarray*}$

Warum lässt du die Klammern um das erste P folgt Q - wie in der Aufgabe oben - weg? So ist es falsch, denn das Q ist dann mit dem rechten Folgepfeil assoziiert.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (P \wedge \neg Q) \vee ((P \vee \neg P) \wedge (Q \vee \neg P) \end{eqnarray*}$

Tja, so weit so gut. Kann ich denn hier, insofern richtig, nun auf der rechten Seite des logischen "Oder" das Absorptionsgesetz anwenden? Wenn nicht, weiß ich nicht weiter.

Das "P oder nicht P" ist immer True, wenn du das einsetzt, bist du einen Schritt weiter. Und hier fehlt noch eine Klammer.

Abakus smile

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