Beweis einer Ungleichung für alle Indizes n

06.10.2012, 12:47

klaus1111

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Beweis einer Ungleichung für alle Indizes n

Hallo liebe Community,

ich bin am Ende, diese AUfgabe hat mich schon 1,5 Tage gekostet und ich komm einfach auf keinen Vernünftigen Ansatz.

Aufgabe:

Es ist für alle Indizes n die Ungleichung: |Xn+1 - Xn| <= 1/(4*16^n)

zu beweisen.

n+1 und n sind Indizes.

Meine bisherigen Versuche:
-)Einsetzten von n = 1, n = 2, ...
jedoch hilft das nicht, es sagt mir nur aus, das die rechte Seite immer kleiner wird.

-) Fall unterschieden:
(Xn+1 - Xn) >= 0 ...
(Xn+1 - Xn) < 0 ...

Jedoch nutzt mir das nicht.

Das Problem dass ich habe ist, dass es bei der Angabe keine Gesetzmäßigkeit gibt die mir sagt wie diese Folge ausschaut. Also meine Frage: Wie kann ich eine Behauptung beweisen wenn ich nicht weiß wie sich die Folge verhält?

Das ist doch einfach nicht möglich, allein deswegen schon, oder wie seht ihr das?

Bitte um Hilfe, denn Abgabe ist in 2 Tagen.

Ich verlange keine Lösung sondern nur einen Ansatz.

06.10.2012, 12:51

Iorek

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Du hast aber nicht zufällig auch noch irgendeine Definition für die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegeben, oder?

06.10.2012, 12:51

Helferlein

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Ohne die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ zu kennen wird Dir niemand weiterhelfen können.

Edit: Deiner Iorek. Wink

Wink

06.10.2012, 13:07

klaus1111

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Zitat:

Original von Iorek
Du hast aber nicht zufällig auch noch irgendeine Definition für die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegeben, oder?

So wie das hier da steht nicht!

Möglich wäre aber, dass es mit dem vorigen Beispiel zusammenhängt. Ich habs mir schon fast gedacht! Ich find das einfach sau blöd wie das da steht.

Ok, so wie im ANhang sieht das dann aus.

Dann hätte ich auch dementsprechend xn, jedoch hilft mir das nicht weiter, da ich dann eine Gleichung mit 3 unbekannten habe.
Beim ersten Beispiel steht dabei das x0 = 0 ist. Ich nehme an, das kann man auch hier verwenden. Bin mir aber nicht sicher.

Das hilft mir aber nicht weiter.

Das 7. Beispiel konnte ich bestätigen indem ich Xn+1 - Xn in die Ungleihung eingesetzt habe. Dann kürzt sich das Xn-1 - Xn heraus und es haut einigermaßen hin...

06.10.2012, 13:14

Iorek

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Das ist dann aber nicht die komplette Aufgabenstellung, oder? Wo kommt die Aufgabe denn her? Und was ist davor für die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ angegeben? Wenn das Teilaufgaben sind, dann sollte man natürlich auch die vorher aufgestellten Annahmen oder Anforderungen verwenden.

So wie es aktuell da steht, ohne irgendeine Angabe über die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist die Aufgabe nicht zu bearbeiten.

06.10.2012, 13:20

klaus1111

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Zitat:

Original von Iorek
Das ist dann aber nicht die komplette Aufgabenstellung, oder?

Ich dachte eigentlich schon, hmm.

siehe Anhang...

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06.10.2012, 14:02

Helferlein

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Da Iorek grad verhindert ist: Unter 2. ist die Folge klar definiert.

$\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac 1{4+x_n} \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du den gesuchten Term erst einmal durch $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ausdrücken. Danach versuchst Du die Abschätzung zu erreichen.

06.10.2012, 14:31

klaus1111

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Zitat:

Original von Helferlein
Da Iorek grad verhindert ist: Unter 2. ist die Folge klar definiert.

$\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac 1{4+x_n} \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du den gesuchten Term erst einmal durch $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ausdrücken. Danach versuchst Du die Abschätzung zu erreichen.

Hab jetzt einmal die Nummer 7 hergeleitet:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{ 1 }{ 4+x_{n} } \end{eqnarray*}$ --> (-xn auf beiden Saiten)

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} - x_{n} = \frac{ 1 }{ 4+x_{n} } - x_{n} \end{eqnarray*}$

wobei:

$\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{4+x_{n-1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} - x_{n} = \frac{ 1 }{ 4+x_{n} } - \frac{1}{4+ x_{n-1} } \end{eqnarray*}$

und schlussendlich nach Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} - x_{n} = \frac{x_{n-1} - x_{n}}{(4+x_{n})*(4 + x_{n-1})} \end{eqnarray*}$

Das würde einmal soweit passen.

Jetzt bleibt nur noch die Frage auf welcher Weise ich

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n}| \leq \frac{1}{16} * | x_{n} - x_{n-1}| \end{eqnarray*}$

beweise.

Ich denke es geht nur mit dem Induktionsverfahren, sprich ich setzte für n = 1, N = 2, n = 3 ein und schau ob es funktioniert. Bzw.: Das es funktioniert muss zutreffen, da nur die Beträge verglichen werden.

Liege ich da richtig?

06.10.2012, 15:06

Helferlein

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Eigentlich reicht es zu zeigen, dass alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ positiv sind und daraus geeignete Schlüsse zu ziehen.

06.10.2012, 15:23

klaus1111

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Habe jetzt bei 7 den "Beweis", jedoch weiß ich nicht wirklich ob das als Beweis gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq 1 + \frac{x_{n}}{4} + \frac{x_{n-1}}{4} + \frac{x_{n} * x_{n-1} }{16} \end{eqnarray*}$

x ist laut Angabe 0 < x < 1 , also rein mathematisch alles korrekt eigentlich.

Wobei mich das kleiner gleich schon irritiert, da es ja nie 1 ist...

06.10.2012, 15:35

Helferlein

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Hast Du da jetzt umgeformt? Mir ist nämlich total schleierhaft wo deine (Un)gleichung herkommt.

Zu ziegen ist doch $\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-x_n| \leq \frac 1{16} |x_n-x_{n-1}| \end{eqnarray*}$

die linke Seite hast Du im ersten Teil schon stehen, die zweite ergibt sich aus der Abschätzung des Nenners.

06.10.2012, 15:45

klaus1111

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Zitat:

Original von Helferlein
Hast Du da jetzt umgeformt? Mir ist nämlich total schleierhaft wo deine (Un)gleichung herkommt.

Ja, habe ich, da ich es bestätigen muss bzw. beweisen muss:

Wie du schon sagst muss ich einsetzen:
$\begin{eqnarray*} | \frac{x_{n-1} - x_{n}}{(4+x_{n})*(4 + x_{n-1})} | \leq \frac{1}{16} * |x_{n} - x_{n-1} | <br /> \end{eqnarray*}$

Dann kann ich den zähler auf der linken saite mit dem zähler auf der rechten saite kürzen, nachdem ich die Betragsstriche aufgelöst habe. -->

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(4+x_{n})*(4 + x_{n-1})} \leq \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

dann ausmultiplizieren, auf die andere Saite bringen usw...

jedoch kann die Ungleichung niemals gleich sein. Das sieht man an der Anordnung:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq 1 + \frac{x_{n}}{4} + \frac{x_{n-1}}{4} + \frac{x_{n} * x_{n-1} }{16} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Helferlein
Zu ziegen ist doch $\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-x_n| \leq \frac 1{16} |x_n-x_{n-1}| \end{eqnarray*}$

die linke Seite hast Du im ersten Teil schon stehen, die zweite ergibt sich aus der Abschätzung des Nenners.

Was meinst du mit schätzen? Was genau muss ich im Nenner abschätzen??

06.10.2012, 15:49

Helferlein

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Du kannst $\begin{eqnarray*} (4+x_n)\cdot (4+x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen. Das muss auf jeden Fall größer sein als ...?

06.10.2012, 15:54

klaus1111

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Zitat:

Original von Helferlein
Du kannst $\begin{eqnarray*} (4+x_n)\cdot (4+x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen. Das muss auf jeden Fall größer sein als ...?

ich weiß es nicht

06.10.2012, 15:56

klaus1111

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Zitat:

Original von Helferlein
Du kannst $\begin{eqnarray*} (4+x_n)\cdot (4+x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen. Das muss auf jeden Fall größer sein als ...?

es muss doch kleiner als 16 sein oder? Weil wenn größer als 16 wäre was auch für den Nenner richtig wäre, dann stimmt ja die Ungleichung nicht mehr...

06.10.2012, 16:01

Helferlein

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Achtung: Das steht in der Formel im Nenner, nicht im Zähler!
Wenn Du durch eine größere Zahl teilst, wird das Ergebnis kleiner.

06.10.2012, 16:08

klaus1111

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Zitat:

Original von Helferlein
Achtung: Das steht in der Formel im Nenner, nicht im Zähler!
Wenn Du durch eine größere Zahl teilst, wird das Ergebnis kleiner.

Stimmt!!

Trotzdem wird es nie gleich sein!

Weil Im Nenner ja steht: (4+xn-1)(4+xn). Das heißt es ist immer nur kleiner da in der FOlge ja nur ein einziges x = 0 ist und das ist das x0.

06.10.2012, 16:27

Helferlein

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Was die Aussage aber nicht falsch macht Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.10.2012, 16:40

klaus1111

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Zitat:

Original von Helferlein
Was die Aussage aber nicht falsch macht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eigentlich schon, da jetzt der Beweis für den Punkt 8 genau dadurch nicht funktioniert.

Weil wenn das hier gilt:
$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-x_n| \leq \frac 1{16} |x_n-x_{n-1}| \end{eqnarray*}$

und das hier gilt:
$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-x_n| \leq \frac{1}{14*16^{n} } \end{eqnarray*}$

dann muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac 1{16} |x_n-x_{n-1}| = \frac{1}{14*16^{n} } \end{eqnarray*}$
Was zwar für x0 noch stimmt aber sonst nicht.

Und deswegen scheitert mein Beweis für Punkt 8 aufgrund der Ungleichheit bei Punkt 7...

06.10.2012, 17:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von klaus1111
dann muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac 1{16} |x_n-x_{n-1}| = \frac{1}{14*16^{n} } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf, dass hier Gleichheit gelten muss - das stimmt natürlich nicht. unglücklich

unglücklich

06.10.2012, 17:54

klaus1111

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von klaus1111
dann muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac 1{16} |x_n-x_{n-1}| = \frac{1}{14*16^{n} } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf, dass hier Gleichheit gelten muss - das stimmt natürlich nicht. unglücklich

unglücklich

Weil bei beiden Ungleichungen links der selbe AUsdruck steht, und beide kleiner gleich 2 verschiedene Sachen sind, daher müssen doch logischer weise diese 2 gleich sein oder?

Ich wüsste nicht was noch kleiner gleich den selben Ausdruck ergibt???

06.10.2012, 17:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von klaus1111
Weil bei beiden Ungleichungen links der selbe AUsdruck steht, und beide kleiner gleich 2 verschiedene Sachen sind, daher müssen doch logischer weise diese 2 gleich sein oder?

Das ist ein mathematisch vollkommen unsinniger Satz. unglücklich

unglücklich

06.10.2012, 17:58

Guppi12

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Man kann sich für solche Überlegungen eigentlich immer gut selber Beispiele überlegen, um zu überprüfen, ob das stimmt.

Zb.

1 < 1000
2 < 1000

Beides richtig, ja?

1 = 2 ?

06.10.2012, 18:03

klaus1111

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von klaus1111
Weil bei beiden Ungleichungen links der selbe AUsdruck steht, und beide kleiner gleich 2 verschiedene Sachen sind, daher müssen doch logischer weise diese 2 gleich sein oder?

Das ist ein mathematisch vollkommen unsinniger Satz. unglücklich

unglücklich

Oder vielleicht so:
BSP:
Ich habe 2 ungleichungen. Die eine besagt, dass x0 - x1 < = 1/d - 4 (d gesucht)sein muss und die andere besagt dass x0 - x1 < = 16 sein muss. Vergiss dabei nicht das ist gleich =. Ohne dem hättest du recht und ich hätte keine Probleme, außer halt mit dem Beweis für das 8te den ich dann irgendwie anders hätte lösen müssen.

Aber es kann nur gleich sein, da kleiner gleich...

06.10.2012, 18:05

HAL 9000

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Du praktizierst eine Logik a la

$\begin{eqnarray*} a\leq c \,\wedge \, b\leq c \quad\Rightarrow\quad a=b \end{eqnarray*}$ ,

was wie gesagt vollkommener Unsinn ist: Betrachte nur mal das Beispiel von Guppi...

06.10.2012, 18:08

klaus1111

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du praktizierst eine Logik a la

$\begin{eqnarray*} a\leq c \,\wedge \, b\leq c \quad\Rightarrow\quad a=b \end{eqnarray*}$ ,

was wie gesagt vollkommener Unsinn ist: Betrachte nur mal das Beispiel von Guppi...

Nein, so ist das nicht gemeint. Denn ich vergleich da nicht was vor dem kleiner gleich steht sondern was danach steht. Verstehst du was ich mein?

06.10.2012, 18:09

klaus1111

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Du hast recht! Sry. Hab mich doch vertan

06.10.2012, 18:09

HAL 9000

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Ich weiß absolut nicht, was du damit bezweckst. Nutze mal lieber die Transitivität der Relation $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} a\leq b \,\wedge \, b\leq c \quad\Rightarrow\quad a \leq c \end{eqnarray*}$ ,

das ist es nämlich, was du im Induktionsschritt brauchst.

06.10.2012, 18:15

klaus1111

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich weiß absolut nicht, was du damit bezweckst. Nutze mal lieber die Transitivität der Relation $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} a\leq b \,\wedge \, b\leq c \quad\Rightarrow\quad a \leq c \end{eqnarray*}$ ,

das ist es nämlich, was du im Induktionsschritt brauchst.

Das kann ich nicht weil ich ja lt angabe :

$\begin{eqnarray*} c \leq a \wedge c \leq b \end{eqnarray*}$

habe.

06.10.2012, 18:23

HAL 9000

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Ich hatte an

$\begin{eqnarray*} a = \left|x_{n+1}-x_{n} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{16}\cdot \left|x_{n}-x_{n-1} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{4\cdot 16^{n}} \end{eqnarray*}$

gedacht, denn $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ gilt wegen 7., und $\begin{eqnarray*} b\leq c \end{eqnarray*}$ wegen der Induktionsvoraussetzung.

Worum deine Gedanken so kreisen, wird mir aber immer weniger klar. unglücklich

unglücklich

06.10.2012, 18:37

klaus1111

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hatte an

$\begin{eqnarray*} a = \left|x_{n+1}-x_{n} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{16}\cdot \left|x_{n}-x_{n-1} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{4\cdot 16^{n}} \end{eqnarray*}$

gedacht, denn $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ gilt wegen 7., und $\begin{eqnarray*} b\leq c \end{eqnarray*}$ wegen der Induktionsvoraussetzung.

Aber woher weißt du dass b < = c ist?
Ich höre vom Wort Induktion heute zum ersten mal.

Zitat:

Worum deine Gedanken so kreisen, wird mir aber immer weniger klar. unglücklich

unglücklich

ich sehe einfach keinen weg diese aussage zu beweisen ohne die einzelnen glieder einzusetzen

06.10.2012, 18:39

HAL 9000

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Du willst also 8. nicht mit vollständiger Induktion beweisen? Dann habe ich da was missverstanden.

06.10.2012, 18:44

klaus1111

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du willst also 8. nicht mit vollständiger Induktion beweisen? Dann habe ich da was missverstanden.

Anscheinend gehts ja nicht anders. Also verstehe ich das richtig: vollständige induktion ist wenn ich die ungleichung für alle n ausprobiere und schau ob es für die ersten passt? Wenn ja dann hätte ich schon den beweis fertig, hmm.

06.10.2012, 18:47

HAL 9000

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Also auf das Erklären des Prinzips der Vollständigen Induktion lasse ich mich hier nicht ein. Wenn du derart viel im Unterricht versäumt hast, dann musst du dich woanders belesen, z.B. hier

[WS] Vollständige Induktion

07.10.2012, 11:34

klaus1111

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Vom Unterricht habe ich ganz bestimmt nichts verpasst. Wie du weißt hat das Studium gerade angefangen, und ich bin wie 300 andere ein Erstsemestriger, und ich verstehe auch nicht, wieso wir Übungsaufgaben bekommen, ohne den Stoff vorher durchgemacht zu haben. Das ist mir bis her ein Rätsel. In der AHS lernten wir noch keine Vollständige Induktion, jedoch verstehe ich wie sie funktioniert nach gestern. Nur ich wüsste nicht wie ich diese auf mein Beispiel anwenden soll/kann. ALso habe ich einfach die Glieder eingesetzt und es passt, das heißt halt nur den IA. Aber wieso es für alle anderen Glieder passen muss kann man sich logisch überlegen...

Danke für die Hilfe!

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