Abbildung - Injektivität, Surjektivität

06.10.2012, 14:30

mbbm

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Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Hallo,

ich brauche bitte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Sei f: N->Z definiert durch

f(n)=n/2 für n gerade
f(n)=(1-n)/2 sonst

Ist f wohldefiniert? Wenn ja, welche der Aussagen "f injektiv", "f surjektiv" treffen zu?

Also ich erkenne, dass die Abbildung wohldefiniert und surjektiv ist, aber wie beweise ich das?

Die Injektivität habe ich folgendermaßen gezeigt:

1. Fall n gerade:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)<br /> \frac {x} {2}=\frac{y} {2}<br /> x=y \end{eqnarray*}$

2. Fall n ungerade:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)<br /> \frac {(1-x)} {2}=\frac {(1-y)} {2}<br /> x=y \end{eqnarray*}$

Somit ist gezeigt das f injektiv ist. Liege ich damit richtig?

mfg

06.10.2012, 14:35

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Dass die Abbildung wohldefiniert ist folgt schon daraus, dass jedes Element eine eindeutige Darstellung hat und somit auch eindeutig abgebildet wird.

Zitat:

Original von mbbm

Die Injektivität habe ich folgendermaßen gezeigt:

1. Fall n gerade:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)<br /> \frac {x} {2}=\frac{y} {2}<br /> x=y \end{eqnarray*}$

2. Fall n ungerade:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)<br /> \frac {(1-x)} {2}=\frac {(1-y)} {2}<br /> x=y \end{eqnarray*}$

Somit ist gezeigt das f injektiv ist. Liege ich damit richtig?

mfg

Nein, das geht so nicht.

Es ist zum ersten falsch, von "1. Fall n gerade" und "2. Fall n ungerade:" zu sprechen, wenn n dort nicht auftaucht.
Zweitens willst du ja gerade zeigen, dass x,y beide gleich sind, du musst also noch die Fälle betrachten, in denen ein Argument gerade, das andere ungerade ist.

Nachtrag:
Entscheidend ist hier auch die frage, ob 0 bei eich eine natürliche Zahl ist oder nicht.

06.10.2012, 15:10

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ok, ist es dann richtig wenn ich schreibe x, y gerade bzw. x, y ungerade?

Zum dritten Fall x gerade, y ungerade:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}=\frac{1-n/2}{2}<br /> x=1-y \end{eqnarray*}$

Dann ist aber x ungleich y.

PS: 0 gehört bei meinemProfessor zu den natürlichen Zahlen

06.10.2012, 15:52

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Zitat:

Original von mbbm
PS: 0 gehört bei meinemProfessor zu den natürlichen Zahlen

Dann berechne mal f(0) und f(1)

06.10.2012, 15:58

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
f(0)=0
f(1)=0

Also ist die Abbildung nicht injektiv

06.10.2012, 16:01

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Jep

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06.10.2012, 16:03

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ok und das haben wir also durch die drei beobachteten Fälle bewiesen richtig?

Wie zeige ich nun aber die Surjektivität?

06.10.2012, 16:07

Monoid

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Wie ist die Surjektivität definiert? Dann einfach einsetzen. Aber schreib wie gesagt erst mal ihre Definition hin.

06.10.2012, 16:10

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Also die Surjektivität ist definiert als

bi(f)=Z (in unserem Fall)

06.10.2012, 16:12

Monoid

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Meinst du mit bi(f) das Bild von f?

06.10.2012, 16:12

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ja genau. Entschuldige ich hätte es wohl besser ausschreiben sollen

06.10.2012, 16:13

Monoid

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Nichts zu entschuldigen
Setz die Definition für bi(f) in unserem Fall ein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.10.2012, 16:23

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ich vermute ich muss wieder eine Fallunterscheidung machen.

Sei x gerade, dann ist $\begin{eqnarray*} bi(f)=bi(\frac{x} {2}) \end{eqnarray*}$

Sei y ungerade, dann ist $\begin{eqnarray*} bi(f)=bi(\frac{1-y} {2}) \end{eqnarray*}$

Ich sehe schon, dass im ersten Fall das Bild gleich den natürlichen Zahlen ist und im zweiten das Bild den negativen ganzen Zahlen entspricht, aber das wird wohl nicht reichen oder?

06.10.2012, 16:30

Monoid

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
$\begin{eqnarray*} im(f):=\{f(x) | x \in D_{f} \}=... \end{eqnarray*}$ ?

06.10.2012, 16:36

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Zitat:

Original von mbbm

Sei x gerade, dann ist $\begin{eqnarray*} bi(f)=bi(\frac{x} {2}) \end{eqnarray*}$

Sei y ungerade, dann ist $\begin{eqnarray*} bi(f)=bi(\frac{1-y} {2}) \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist so nicht definiert.

Zitat:

Original von mbbm
Ich sehe schon, dass im ersten Fall das Bild gleich den natürlichen Zahlen ist und im zweiten das Bild den negativen ganzen Zahlen entspricht, aber das wird wohl nicht reichen oder?

Doch. Genau diese Erkenntnis ist eben sehr entscheidend. nimm dir ein $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und baue da eine Fallunterscheidung nach $\begin{eqnarray*} z<0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ ein. Gib dann in jedem Falle ein Urbild an.

06.10.2012, 16:38

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ich weiß es nicht traurig

traurig

06.10.2012, 16:40

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Zitat:

Original von mbbm
Ich weiß es nicht traurig

traurig

Wen meinst du? Hast du meinen Beitrag gelesen?

Die Definition von Mathemathemathe bringt dich so auch nicht sonderlich weit, ignorier seine Beiträge einfach smile

smile

06.10.2012, 16:46

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
@Math1986

Nein deinen Beitrag habe ich nicht gesehen, aber ich komme trotzdem nicht weiter.

06.10.2012, 16:49

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Zitat:

Original von mbbm
@Math1986

Nein deinen Beitrag habe ich nicht gesehen, aber ich komme trotzdem nicht weiter.

Dabei war dein Ansatz doch schonmal richtig.

Nimm mal ein $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Wenn nun $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ ist, kannst du dann mal ein konkretes Urbild angeben?

06.10.2012, 16:56

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Das Urbild wäre dann 2*z, also 2,4,6,8,...

06.10.2012, 16:59

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Zitat:

Original von mbbm
Das Urbild wäre dann 2*z, also 2,4,6,8,...

Ja.
Also für $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist das Urbild gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(2z)=z \end{eqnarray*}$
Nun machst du das selbe Vorgehen im Falle $\begin{eqnarray*} z<0 \end{eqnarray*}$ .
Dann bist du mit der Surjektivität schon fertig.

06.10.2012, 17:15

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ok, könntest du mir nun bitte die komplette Lösung für die Surjektivität hinschreiben, damit ich weiß wie man das richtig macht?

Nachtrag: Also ich meine wie man das nun schön als Lösung formuliert

06.10.2012, 17:22

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Für den ersten Fall nimmst du das, was ich oben geschrieben habe:

Zitat:

Also für $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist das Urbild gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(2z)=z \end{eqnarray*}$

Was hast du für den zweiten Fall raus?

06.10.2012, 17:24

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
$\begin{eqnarray*} <br /> f(1-2z)=z<br /> \end{eqnarray*}$

06.10.2012, 17:30

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität

Zitat:

Original von mbbm
$\begin{eqnarray*} <br /> f(1-2z)=z<br /> \end{eqnarray*}$

Richtig.

Nun hast du ja einfach eine Fallunterscheidung in zwei Fällen. Versuch damit mal selbst eine Lösung zu formulieren.

06.10.2012, 17:45

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
$\begin{eqnarray*} f^{-1}=2z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1-2z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z<0 \end{eqnarray*}$

Somit hat jedes z aus Z ein Urbild.

Ist das so ok?

06.10.2012, 18:21

Math1986

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} f^{-1}=2z \end{eqnarray*}$ ist formal nicht korrekt.

Schreib es doch so:
Nimm $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$
1) Für $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist ein Urbild gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(2z)=z \end{eqnarray*}$
2) Für $\begin{eqnarray*} z< 0 \end{eqnarray*}$ ist das Urbild gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(1-2z)=z \end{eqnarray*}$

06.10.2012, 18:36

mbbm

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RE: Abbildung - Injektivität, Surjektivität
Ok, dann mach ich es so. Danke für deine Hilfe Freude

Freude

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