PBZ mit x³

07.10.2012, 10:59

L.A.

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PBZ mit x³

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x³+7x²+7x+17}{x²+6x+8} \end{eqnarray*}$

nach Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} x+1 + \frac{-7x+9}{x²+6x+8} \end{eqnarray*}$

Nullstellen: -2 und -4

Faktorisierung: A(x+4) + B(x+2)

Gleichung:

-7 = A+B
9 = 4A+2B

=> A = 23/2 und B = -37/2

also: 23/2 (x+4) -37/2 (x+2)

Soweit müsste es richtig sein! Jedoch weiß ich jetzt nicht wie es weiter geht bei der PBZ! Vermutlich integrieren und die Brüche zusammenfassen. Aber so ganz verstehe ich das noch nicht wie es geht! smile

smile

07.10.2012, 11:04

Equester

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Ja eigentlich hast du alles richtig gemacht soweit und verstehe nicht ganz dein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du hast
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x³+7x²+7x+17}{x²+6x+8} ~dx \end{eqnarray*}$

was sich schwer integrieren lässt. Du nimmst die PBZ zur Hilfe und erhälst:

$\begin{eqnarray*} \int x+1 + \frac{23}{2(x+2)}-\frac{37}{2(x+4)} ~dx \end{eqnarray*}$

(Beachte, dass du A und B falschrum zugeordnet hast).

Das integriere nun. Dabei gehe Summandenweise vor.

07.10.2012, 11:13

L.A.

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ok. also x+1 integrieren bekomme ich noch hin 1/2 x² + x aber die anderen beiden Summanden...

07.10.2012, 11:17

Equester

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Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{23}{2(x+2)} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{23}{2}\cdot\frac{1}{x+2} \end{eqnarray*}$

Du siehst schon den Logarithmus? Verfahre genauso beim letzten Summanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.10.2012, 11:25

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x²+x + \frac{23}{2} * ln (x+2) - \frac{37}{2} * ln (x+4) + c \end{eqnarray*}$

Kann man die Brüche noch mit dem LN ausmultiplizieren?

07.10.2012, 11:26

Equester

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Wie meinst du das? Also so ist die Integration am einfachsten aufgeschrieben, wobei
das +c, also die Integrationskonstante, noch fehlt. Freude

Freude

Edit: Da ists sie ja. Perfekt Freude

Freude

.

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07.10.2012, 11:51

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \int \frac{x-5}{x²-6x+9}dx \end{eqnarray*}$

Hier muss ich keine Polynomdivison machen, da der Nenner schon größer als der Zähler ist, richtig?

Nullstellen des Nenners: 3

Faktor.: (x-3)*(x-3)

=>

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x-3)} \end{eqnarray*}$

= x-5 = (A+B)x + (-3A-3B)

Soweit richtig? Diesen Teil habe ich nur grob verstanden. Habe es aber versucht bei dieser Aufgabe anzuwenden.

07.10.2012, 12:19

Equester

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Sry ich war Essen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Dein Ansatz ist der falsche. Wie geht man bei einer doppelten Nullstelle vor?
Aber ja, eine Polynomdivision ist nicht nötig.

07.10.2012, 12:21

L.A.

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Ich bekomme nach dem Koeffizientenvergleich folgende Gleichung raus:

1 = A + B
5 = 3A + 3B

1 = A + B |*(-3)
5 = 3A + 3B

-3= -3A - 3B
5 = 3A + 3B

wenn ich jetzt addieren, fallen A und B weg :/

07.10.2012, 12:22

L.A.

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Zitat:

Original von L.A.
Ich bekomme nach dem Koeffizientenvergleich folgende Gleichung raus:

1 = A + B
5 = 3A + 3B

1 = A + B |*(-3)
5 = 3A + 3B

-3= -3A - 3B
5 = 3A + 3B

wenn ich jetzt addieren, fallen A und B weg :/

Zitat:

Original von Equester
Dein Ansatz ist der falsche. Wie geht man bei einer doppelten Nullstelle vor?

Kommt nicht (x-3)*(x-3) raus?

07.10.2012, 12:25

Equester

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Doch (x-3)² ist die richtige Linearfaktorzerlegung, doch lautet der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

(Muss nochmals eine Stunde weg, aber oben hatte es ja dann auch ganz gut geklappt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.)

Als Hinweis: Das Ergebnis hat wieder einen Logarithmus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.10.2012, 12:40

L.A.

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Dann bekomme ich raus:

x-5 = A * (x-3)² + B (x-3)

x-5 = A (x²-6x+9) + B (x-3)

x-5 = Ax² - A6x + A9 + Bx - B3

oha, evtl. das x bei A ausklammern:

x-5 = Ax(x-6) + A9 + Bx - B3

eh ?! verwirrt

verwirrt

07.10.2012, 13:13

Mystic

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Zitat:

Original von L.A.
Dann bekomme ich raus:

x-5 = A * (x-3)² + B (x-3)

Da Equester nicht da ist: Der "Wurm" steckt bereits in dieser Anfangszeile... unglücklich

unglücklich

07.10.2012, 13:31

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5*(x-3)(x-3)²}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A*(x-3)(x-3)²}{x-3} + \frac{B*(x-3)(x-3)²}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-5 = A*(x-3)² +B*(x-3) \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 14:00

Mystic

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Inwiefern ist das hier

Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x-5}{x²-6x+9}dx \end{eqnarray*}$

mit diesem Ansatz

Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

kompatibel? Oben steht im Nenner ein Polynom vom Grad 2 unten vom Grad 3... geschockt

geschockt

07.10.2012, 14:10

L.A.

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Equester meinte doch (x-3)² wegen doppelter Nullstelle.

Doch nur so:

Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-3} \end{eqnarray*}$

??

07.10.2012, 14:17

Mystic

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Doch, doch, der Ansatz von Equester war schon korrekt, nur was du daraus gemacht hast eben nicht... geschockt

geschockt

07.10.2012, 14:29

L.A.

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Das verstehe ich aber jetzt nicht. Equester meinte:

-doppelte Nullstelle also (x-3)*(x-3)²

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das hinschreibe und den Bruch zerlege:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

Was ist daran denn falsch?

07.10.2012, 14:39

Equester

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Da nun Mystic (bis hier her danke fürs Übernehmen) selbst weg ist und ich wieder da, mach ich mal weiter.

Zitat:

-doppelte Nullstelle also (x-3)*(x-3)²

Das ist eine dreifache Nullstelle.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz (er ist ja auch von mir Big Laugh

Big Laugh

) ist richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

Ebenfalls korrekt. Da rechne nun (richtig) weiter.
Zeig einfach mal den nächsten Schritt. Dann sehen wir gleich, wo der Fehler liegt.

07.10.2012, 14:49

L.A.

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5*(x-3)(x-3)²}{(x-3)(x-3)²} = \frac{A*(x-3)(x-3)²}{x-3} + \frac{B*(x-3)(x-3)²}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-5 = A*(x-3)² +B*(x-3) \end{eqnarray*}$

Wenn ich * (x-3)*(x-3)² rechne und kürze kommt immer das Ergebnis raus!

07.10.2012, 14:55

Equester

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Oh sry, mein Fehler, dass ich mich zu sehr auf die rechte Seite konzentriert hatte:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)²} \neq \frac{x-5}{x^2-6x+9}=\frac{x-5}{\underbrace{(x-3)(x-3)}_{(x-3)^2}} \end{eqnarray*}$

Du hast aus einer zweifachen Nullstelle eine dreifache Nullstelle gemacht.
Der Ansatz ist allerdings so richtig. Da haben wir einmal (x-3) im Nenner und durch ein
Summenzeichen getrennt ein (x-3)² im Nenner. Die Ordnung ist also immer noch
zwei Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.10.2012, 15:00

L.A.

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Bin jetzt grad selber eine Nullstelle... verstehe grad gar nichts mehr Big Laugh

Big Laugh

07.10.2012, 15:08

Equester

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Also nochmals langsam:

Wir haben zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x-5}{x²-6x+9}dx \end{eqnarray*}$

Wir nehmen die PBZ zur Hilfe und zerlegen dafür erst mal den Nenner: x²-6x+9=(x-3)²

Also unser Ansatz für PBZ:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)²}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

Das nun lösen. Klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auch nochmals zum Nachlesen (bzgl. Ansatz) -> Werbung

07.10.2012, 15:13

L.A.

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ok. löse ich gleich aber vorger; Warum ist unter B jetzt noch hoch 2... wir ziehen ja den Bruch auseinander. Ich hätte jetzt eher gesagt A/(x-3) + B (x-3) weil wenn man es wieder zusammenfasst kommt nach meiner Logik (x-3)²

Wenn jetzt unter B ein hoch2 ist und ich jetzt diese Gleichung zusammenfasse kommt x-5/(x-3)³ raus.

07.10.2012, 15:15

Equester

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Wir haben es hier mit einer Addition zu tun, nicht mit einer Multiplikation.

Du kannst du beiden Brüche nur zusammenzählen, wenn beide den gleichen Nenner
aufweisen. Das erreichst du, wenn du bei A mit (x-3) erweiterst.
Insgesamt, hast du dann einen Nenner mit der zweiten Ordnung -> (x-3)².
Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2012, 15:21

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)²}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-5)*(x-3)²}{(x-3)²}=\frac{A*(x-3)²}{x-3}+\frac{B*(x-3)²}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-5= A*(x-3)+ B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-5= Ax - 3A + B \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 15:22

Equester

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Jetzt passts Freude

Freude

.

07.10.2012, 15:43

L.A.

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Koeffizientenvergleich:

x= A - 3A also x = -2A
-5 = B

nicht sicher..

07.10.2012, 15:47

Equester

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Ist -3A ein Koeffizient von x?

07.10.2012, 15:52

L.A.

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ah Nein, weil kein x dran ist. Dann eher so:

x = A
-5 = B - 3A

Kann ich für x auch 1 schreiben?

1 = A
-5 = B - 3A
-5 = B - 3*1
-5 = - 3B | : -3
5/3 = B

07.10.2012, 15:58

Equester

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Du kannst nicht nur x als 1 schreiben, sondern du musst es sogar. Das ist der
Koeffizient von x, wie es auf der rechten Seite das A ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

-5 = B - 3*1
-5 = - 3B | : -3

Wie kommst du darauf? Du hast B-3 und kannst nicht einfach -3B daraus machen.
Klar?
Also addiere 3 und erhalte B Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.10.2012, 16:07

L.A.

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1 = A
-5 = -3 + B | +3
-2=B

07.10.2012, 16:13

Equester

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Das passt nun Freude

Freude

.

07.10.2012, 16:20

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \int \frac{x-5}{x²-6x+9} = \frac{1}{x-3} + \frac{-2}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ln (x-3) + (-2) * ln (x-3)² \end{eqnarray*}$

hoffe es passt! smile

smile

07.10.2012, 16:23

Equester

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Ersteres ist richtig, aber was ergibt die Integration von 1/x²?

und natürlich +c smile

smile

.

07.10.2012, 16:34

L.A.

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Ich habe ein Merblatt mit Aufleiten zu x², müsste vielleicht so sein:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x-5}{x²-6x+9} = \frac{1}{x-3} + \frac{-2}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ln (x-3) - \frac{1}{x-3} + c \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 16:37

Equester

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Ohne die -2 stimmt das. Aber die musst du auch berücksichtigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.10.2012, 16:45

L.A.

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$\begin{eqnarray*} = ln (x-3) + 2* \frac{-2}{x-3} + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ln (x-3) + \frac{-4}{x-3} + c \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 16:47

Equester

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Wo kommt jetzt die 2 her? Wo ist das Minus hin?

Integriere mal -2/x², nachdem du 1/x² integriert hast.
Genau genommen kannst du nämlich -2/x² als -2*1/x² schreiben...
Ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2012, 16:56

L.A.

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Ich rechne nach dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x-xb)^k} = \frac{1}{1-K} * \frac{1}{(x-xb)^{k-1}} + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{(x-3)²} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{1-2} * \frac{1}{(x-3)^{1}} + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{-1} * \frac{1}{(x-3)^{1}} + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{1}{(x-3)^{1}} + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(x-3)} + c \end{eqnarray*}$

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