Dgl !?

07.10.2012, 17:27

Matze1991

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Dgl !?

Meine Frage:
Hallo, ich brauche dringend Hilfe bei der Berechnung folgender DGL:

$\begin{eqnarray*} (1-x)y''+xy'-y=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zuerst wollte ich mit y'=z substituieren, aber das haut dann ja mit dem y nicht so richtig hin. Nun weiß ich leider garnicht, was hier das Problem löst. Ich hoffe, es hat jemand Ahnung davon und kann mir helfen ....

07.10.2012, 17:35

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Hallo,

eine erste Lösung kannst du sehen bzw. durch scharfes (oder langes) Hinsehen finden.
Danach kannst du mit d'Alembert weitermachen.
Oder du rätst weiter, die zweite Lösung sieht auch gar nicht so abwegig aus.

mfg,
Ché

07.10.2012, 17:38

Matze1991

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RE: Dgl !?
Wie genau muss ich denn vorgehen mit d'Alembert. Das sagt mir leider garnichts unglücklich

unglücklich

zumindest nicht im Zusammenhang mit DGLen.

07.10.2012, 17:42

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Vielleicht ist das als Reduktionsverfahren bekannt?
Eine Lösung ist bekannt, man macht einen bestimmten Ansatz und erhält eine DGL niedrigerer Ordnung.

07.10.2012, 17:45

Matze1991

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RE: Dgl !?
Hm nee auch nicht wirklich unglücklich

unglücklich

. Aber wie kann ich denn überhaupt die erste Lösung raten ?
Also in der Lösung steht
$\begin{eqnarray*} (1-x)C''+(2-x)C'=0 \end{eqnarray*}$ . Wie gelange ich denn zu diesem Ausdruck, das würde mir enorm weiterhelfen :P

07.10.2012, 17:48

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Na gut, dann lasse ich mir etwas anderes einfallen.
Zur ersten Lösung:
Betrachte mal nur $\begin{eqnarray*} xy'-y=0 \end{eqnarray*}$ .

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07.10.2012, 17:51

Matze1991

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RE: Dgl !?
Ja da kommt raus: $\begin{eqnarray*} y=Cx \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 17:52

Monoid

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RE: Dgl !?
Hallo,

Was ist eigentlich mit dem Verfahren, in dem $\begin{eqnarray*} y=e^{r x} \end{eqnarray*}$ setzt?

07.10.2012, 17:54

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Ja, die erste Lösung stimmt.
@Mmm:
Wenn man darauf kommt, das hier anzuwenden, kann man es natürlich auch damit versuchen.

07.10.2012, 17:54

Monoid

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RE: Dgl !?
Und dann die cgarakteristiche lösung findet etc. ? Macht man das heutzutage noch?

07.10.2012, 17:56

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Charakteristische Lösung?

Wenn du meinst, dass man die charakteristische Gleichung löst; ja, das macht man "heutzutage" noch.
Hier ist das allerdings eine andere Situation, da die Koeffizienten nicht konstant sind.

07.10.2012, 17:56

Matze1991

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RE: Dgl !?
Also in der Lösung bei uns steht:
$\begin{eqnarray*} (1-x)C''+(2-x)C'=0 \end{eqnarray*}$ .
Wie kommt man denn darauf ? Ab dann ist es ja nicht mehr so schwer ..

07.10.2012, 17:58

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Das sieht mir nach dem Reduktionsverfahren von d'Alembert aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du machst dann den Ansatz $\begin{eqnarray*} y=x C(x) \end{eqnarray*}$ .

07.10.2012, 17:59

Matze1991

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RE: Dgl !?
Komisch, das hatten wir garnicht. Also leite ich das dann 2x ab und setzte es in die DGL ein ?

07.10.2012, 18:00

Che Netzer

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RE: Dgl !?
Ja, dann erhältst du eine DGL erster Ordnung für $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ .

Sicher, dass das nicht irgendwo im Skript steht oder in der Übung besprochen wurde?

07.10.2012, 18:00

HAL 9000

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RE: Dgl !?

Zitat:

Original von Matze1991
Also in der Lösung bei uns steht:
$\begin{eqnarray*} (1-x)C''+(2-x)C'=0 \end{eqnarray*}$ .

Das sieht eher nach Ansatz $\begin{eqnarray*} y=Ce^x \end{eqnarray*}$ aus - was Matze1991 nicht für nötig befunden hat, zu erwähnen...

07.10.2012, 18:01

Monoid

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RE: Dgl !?
Ja, du musst ablEiten und einsetzen.

07.10.2012, 18:02

Matze1991

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RE: Dgl !?
Ja, ganz sicher. Also nochmal allgemein, falls sowas vorliegt, suche/rate/finde ich eine Lösung und der Ansatz lautet dann y=(Lösung)C(x) ?

07.10.2012, 18:02

Matze1991

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RE: Dgl !?

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Matze1991
Also in der Lösung bei uns steht:
$\begin{eqnarray*} (1-x)C''+(2-x)C'=0 \end{eqnarray*}$ .

Das sieht eher nach Ansatz $\begin{eqnarray*} y=Ce^x \end{eqnarray*}$ aus - was Matze1991 nicht für nötig befunden hat, zu erwähnen...

Was habe ich nicht für nötig befunden, lies doch mal weiter, bevor du beginnst Schlüsse zu ziehen.

07.10.2012, 18:05

Che Netzer

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RE: Dgl !?
@Matze1991:
Ja, den Ansatz zumindest kann man immer machen.
Wenn eine Lösung $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ kennt, kann man $\begin{eqnarray*} y_2(x)=y_1(x)C(x) \end{eqnarray*}$ als Ansatz wählen und sehen, ob man $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auch bestimmen kann.

07.10.2012, 18:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matze1991
Was habe ich nicht für nötig befunden, lies doch mal weiter, bevor du beginnst Schlüsse zu ziehen.

Hab ich: Da steht NICHTS von $\begin{eqnarray*} y=Ce^x \end{eqnarray*}$ .

Andererseits führt der Alternativ-Ansatz $\begin{eqnarray*} y=Cx \end{eqnarray*}$ NICHT auf $\begin{eqnarray*} (1-x)C''+(2-x)C'=0 \end{eqnarray*}$ , sondern auf eine andere Gleichung. Also zieh DU mal bitte die richtigen Schlüsse.

07.10.2012, 18:09

Matze1991

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Ja, das wusste ich ja auch nicht. Ich habe die Frage gestellt um letztendlich zu erfahren, dass y=xC(x) ist. Denkst du ich stelle die Frage, obwohl ich vorher schon diesen Lösungsansatz kenne ? Und soweit bin ich noch nicht mit meiner Rechnung, dass ich wissen kann, dass der Ansatz nicht auf das, von mir gepostete, führt.

07.10.2012, 18:14

HAL 9000

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Wenn du aus der Lösung zitierst, was steht denn da VOR dieser DGL in der Lösung? Das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kann ja wohl schlecht vom Himmel fallen. unglücklich

unglücklich

07.10.2012, 18:15

Matze1991

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Was ist jetzt dein Problem, ich komme irgendwie nicht mehr mit Freude

Freude

07.10.2012, 18:16

Monoid

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Ja dann stritet euch nicht, sondern matze sollte den Rat con Che Netzer befolgen!

07.10.2012, 18:19

HAL 9000

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Ich hab Matze1991 schon als vollkommen uneinsichtig in anderen Threads erlebt, insofern wundere ich mich kein bisschen.

Na macht mal schön weiter, ich beende meine Einmischung. Wink

Wink

07.10.2012, 18:19

Matze1991

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Hab ich getan und es hat geklappt.

07.10.2012, 18:22

Matze1991

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hab Matze1991 schon als vollkommen uneinsichtig in anderen Threads erlebt, insofern wundere ich mich kein bisschen.

Na macht mal schön weiter, ich beende meine Einmischung. Wink

Wink

Ja, da hattest du recht, hatte mich nur verlesen und dann vertippt. Das war keine gute Grundlage, um zu argumentieren Big Laugh

Big Laugh

07.10.2012, 18:24

Che Netzer

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Ich versuche mal, zu vermitteln:
Was Hal kritisiert, ist, dass du nur eine Gleichung zusammenhangslos aus der Lösung hier reingeschrieben hast.
Und es ist unwahrscheinlich, dass der Ansatz $\begin{eqnarray*} y=\mathrm e^xC(x) \end{eqnarray*}$ nie erwähnt wurde.
Von daher steht a) vor der Gleichung noch ein erklärender Satz oder ihr habt b) den Ansatz bereits besprochen.

Der übliche wäre wie gesagt (soweit mir bekannt), die Lösung mit einem $\begin{eqnarray*} C(x) \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.

Beides führt hier jedenfalls zu einer DGL erster Ordnung für $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ .
Da die Lösung das so vorgesehen hat, schlage ich vor, mit $\begin{eqnarray*} y=\mathrm e^xC(x) \end{eqnarray*}$ weiterzuarbeiten. Hast du inzwischen schon die allgemeine Lösung oder meinst du mit "es hat geklappt" nur, dass du die angegebene DGL erhältst?

07.10.2012, 18:29

Matze1991

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Ne ich meinte, dass ich inzwischen schon die allgemeine Lösung habe. Danke für deine Hilfe smile

smile

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