Dreiecksfläche optimieren |
| 07.10.2012, 19:28 | Spooky123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dreiecksfläche optimieren Hallo! Kann mir einer bei folgender Aufgabe helfen? Zu jedem Punkt P des Graphen von p3 ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten o(0/0), Q(u/0) und P(u/p3(u)). Untersuchen sie für welchen Wert von u dieses Dreieck den größten Flächeninhalt hat. Entwickeln sie zunächst den funktionsterm der flächeninhaltsfunktion A(u), mit dem zu jeden Wert von u(0<u<6) der Flächeninhalt des Dreiecks OQP berechnet werden kann. (auf dem Bild ist eine umgekehrte normalparabel zu sehen. Meine Ideen: Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. Habe leider keine Idee. Vielen dank für die Hilfe! |
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| 08.10.2012, 08:20 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Dreiecksfläche optimieren
Es könnte hier eventuell von Vorteil sein, wenn man wüßte, wie die Funktionsgleichung von p3(u) lautet. Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 14:57 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die hauptbedingung lautet: 1/2*g*h Lg |
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| 08.10.2012, 15:03 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, dann gehört es zur Aufgabe, die rauszufinden.
Gut. Also p3(u)=u²
Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 15:10 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich meine das sie nach unten hin geöffnet ist und vertikal verschoben ist sodass es die nullstellen 0/0 und 6/0 gibt. Horizontal verschoben sodass es den hochpunkt 3/9 gibt. Hoffe das ist hilfreich? |
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| 08.10.2012, 15:15 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt alles! Dann kannst Du mir auch bestimmt die Werte a, b und c für sagen? Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 15:20 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Von dem Dreieck a,b,c? |
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| 08.10.2012, 15:24 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, für die Zahlen a, b und c in der Gleichung, die ich hingeschrieben habe. Das c zum Beispiel verschiebt einen Graphen vertikal. So etwas solltet Ihr gehabt haben, sonst könnt Ihr diese Aufgabe nicht lösen. Erst wenn p3(u) bekannt ist, kannst Du den Flächeninhalt A(u) überhaupt ausrechnen und maximieren. Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 15:35 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir leid das weiß ich nicht! |
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| 08.10.2012, 15:47 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Uff. Ok, dann mach ich mal einen Schnellkurs in Graphenverschieben. Wir brauchen p3(u) einfach, damit steht und fällt die ganze Aufgabe. Wenn eine Normalparabel nach unten geöffnet sein soll, multipliziert man sie einfach mit -1. Aus f(x)=x² wird dann f(x)=-x²: Und jetzt wollen wir diese umgedrehte Parabel nach links und nach oben verschieben. Ich verschieb mal um 1 nach links und um 3 nach oben. Aus wird dann Siehst Du, wo die 1 und die 3 in der Formel gelandet sind? Jetzt bist Du dran: verschieb die Parabel so, daß sie so liegt, wie es die Aufgabe verlangt. Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 15:54 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso... Ok dann lautet die Funktion -(x-3)^2+9 Danke!!!!!!!!!! 
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| 08.10.2012, 16:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima! Jetzt brauchen wir die Flächenfunktion. Also von einem beliebigen Punkt auf dieser Parabel senkrecht runter auf die x-Achse, zum Ursprung und wieder zurück. Welche Fläche hat dieses Dreieck? Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 16:05 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Dreieck verläuft von dem Punkt P aus(ca bei (4,8/6,1)) senkrecht zur x Achse zum Ursprung und wieder zum Punkt P zurück! Also A ist ja 1/2 g*h |
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| 08.10.2012, 16:11 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meine von jedem beliebigem Punkt, nicht von irgendeinem bestimmten. Die Parabelgleichung, die Du richtig bestimmt hast, ist ja, wenn man statt f(x) jetzt p3(u) schreibt: Das heißt, jeder Punkt P der Parabel hat die Koordinaten Das sind die beiden Katheten des Dreiecks. Nun läßt sich die Fläche recht leicht bestimmen, oder? Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 16:18 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist es dann 1/2*u*-(u-3)^2+9 Denn u ist doch unsere Grundwerte und die höhe ist die andere Kathete oder? |
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| 08.10.2012, 16:21 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit etwas mehr Klammern ist das richtig: Gut! Und dieses A(u) soll jetzt maximal werden. Wat nu? Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 16:26 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt muss ich diesen funktionsterm ableiten? |
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| 08.10.2012, 16:30 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig! Und dann nullsetzen, damit Du das u herausbekommst, für das A(u) maximal wird. Multiplizier A(u) am besten erst einmal vollständig aus, dann wird's recht einfach. Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 16:36 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, vielen dank! Werde mich da nachher noch mal ran setzen muss jetzt leider zur Arbeit! Wenn ich eine Lösung raus bekommen habe stelle ich die hier noch mal ein. Vielen dank für die gute, geduldige Hilfe 
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| 08.10.2012, 16:40 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Falls ich nicht da sein sollte, hilft jemand anderes bestimmt gerne aus. Viele Grüße Steffen |
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| 08.10.2012, 21:23 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, ich habe jetzt von der 1/2*u [-(u-3)^2+9] erst mal die Klammer ausmultipliziert. Dann erhalte ich 1/2*u*-u^2+18 Das ist dann -1u+9u ? |
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| 09.10.2012, 09:18 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, hat sich wohl keiner rangetraut ...
Leider nein. Mal gaaanz langsam: Erst die Klammer in der Klammer. Das ist der zweite Binom: Jetzt vorsichtig das Minus vor der Klammer reinmultiplizieren: Jetzt kannst Du weitermachen. Viele Grüße Steffen |
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| 09.10.2012, 15:01 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach ich habe den Binom nicht gesehen!!!!!! Danke!!! |
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| 09.10.2012, 15:15 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist es -1/2u^2+3u-4,5u+4,5u Die 4,5u fallen weg und dann lautet die Ableitung -1u+3 und u ist dann 3 Oder? |
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| 09.10.2012, 15:39 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vor der eckigen Klammer steht noch ein u, das hast Du unterschlagen. Viele Grüße Steffen |
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| 09.10.2012, 16:02 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh nein! Also -1/2u^3+3u^2 Und die Ableitung -3/2u^2+6u Hoffe das stimmt jetzt... Lg |
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| 09.10.2012, 16:05 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, jetzt paßt alles. Und die Lösung ist ... Viele Grüße Steffen |
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| 09.10.2012, 16:13 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe jetzt erst : (-3/2) Dann 0= u^2-4 u : (-4) -4=u^2-u Also u=-4 |
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| 09.10.2012, 16:22 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bis hierher völlig in Ordnung. Beim Rest bist Du a bissl vom Weg abgekommen. Das ist eine quadratische Gleichung! Viele Grüße Steffen |
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| 09.10.2012, 16:48 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber u muss alleine stehen? |
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| 09.10.2012, 16:52 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das geht bei einer solchen Gleichung nicht. Es gibt zwei Lösungen. Nimm die pq-Formel. Viele Grüße Steffen |
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| 09.10.2012, 16:56 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok vielen dank für die Super Hilfe!!!!!! Dann habe ich 4 und Null raus! Das setzte ich in die ausgangsformel und bin fertig!!!!! Vielen dank!!!!! |
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| 09.10.2012, 17:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Mit Null ergibt sich die minimale Fläche (jaja, wir hätten eigentlich noch die zweite Ableitung prüfen müssen), und bei 4 tatsächlich die maximale Fläche. Das war's, gratuliere. Eigentlich eine fast zu einfache Lösung für die viele Rechnerei, so eine glatte Zahl. Interessant außerdem, ich hätte auf den ersten Blick nicht gedacht, daß da die Fläche am größten wird. Eher bei 3, sollte man meinen, aber so kann man sich täuschen. Viele Grüße Steffen |
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| 09.10.2012, 17:25 | Geisly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin dir sehr dankbar für die tolle Unterstützung!!!!! Danke und vielleicht bis zum nächsten mal :-) |
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